Ausgleichungsrechnung Einleitung Stochastisches Modell a priori Ausgleichungsverfahren Stochastisches

Ausgleichungsrechnung • • Einleitung Stochastisches Modell a priori Ausgleichungsverfahren Stochastisches Modell a posteriori Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ziele • Kontrolle: Aufdecken von (groben) Fehlern • Plausibilität: Wahrscheinlichste Schätzwerte für die wahren Werte der Unbekannten bzw. Messwerte • Qualität: Angabe von Standardabweichungen für die Unbekannten und Messwerte Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Verteilung zufälliger Messabweichungen (1) • Lambert: Theorie der Zuverlässigkeit der Beobachtungen und Versuche – zufällige Abweichungen gleicher Größe nach beiden Seiten möglich – geringe Abweichungen häufiger als große – Kurve mit Wahrscheinlichkeit der Abweichungen ist • • symmetrisch Abweichung Null hat höchste Wahrscheinlichkeit Wendepunkt auf beiden Seiten beidseitig asymptotische Annäherung an Null • Weitere Untersuchung durch Gauß Normalverteilung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Verteilung zufälliger Messabweichungen (2) • Bedingung: • oder in Matrizenschreibweise • Gewichte pi umgekehrt proportional zu den Varianzen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stochastisches Modell a priori Die Gewichtsmatrix • Beschreibung der stochastischen Zusammenhänge in einem Zufallsvektor: Kovarianzmatrix • Für einen Beobachtungsvektor: – Hauptdiagonale: Varianz der Beobachtung – Außerhalb der Hauptdiagonale: Kovarianz oder Null wenn stochastisch unabhängig • Bezeichnet mit SLL Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Festlegung von Gewichten (1) • Gewichtung der Verbesserungen umgekehrt proportional zu den Varianzen • Oft nur relative Genauigkeiten vorhanden • Wir wählen Bezugsvarianz: Varianz der Gewichtseinheit a priori oder Varianzfaktor • Kofaktormatrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Festlegung von Gewichten (2) • Elemente der Kofaktormatrix: Kofaktoren oder Gewichtsreziproke • Gewichtung ist umgekehrt proportional zu den Varianzen bzw. Kofaktoren, also Inversion der Matrix • Festlegung geschieht vor der Messung a priori Varianzen Varianz der Gewichtseinheit a priori stochastisches Modell a priori Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Funktionales Modell (1) • n Beobachtungen L um u Unbekannte X (Parametervektor) zu bestimmen • Realisierungen L 1, … Ln sind Näherungen des wahren Wertes • Wir geben Schätzwert für den wahren Wert an: Ausgeglichene Beobachtungen • Auch Parametervektor hat wahren Wert Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Funktionales Modell (2) • Oft Parameter näherungsweise bekannt: Genäherter Parametervektor X 0 • Differenz ausgeglichener – genäherter Parametervektor: gekürzter Parametervektor x • Funktionaler Zusammenhang: r Funktionen j 1, … jr mit den Parametern L und X Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Beziehungen (ursprüngliches) funktionales Modell Widerspruchsvektor genäherter Beobachtungsvektor gekürzter Beobachtungsvektor ‚gemessen minus gerechnet‘ Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Linearisiertes funktionales Modell • Funktionen j 1, … jr von beliebigem Typ • Annahme: x und v klein gegenüber X 0 und L • Linearisierung über Taylor-Entwicklung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Jacobi-Matrix • Modellmatrix (Designmatrix) A • Matrix B Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Funktionales Modell Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Allgemeine Auflösung (1) • Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen Lösung mit Lagrange‘schen Vektoren • Partielle Ableitungen bilden und gleich Null setzen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Allgemeine Auflösung (2) Ableitung nach v: Gleich Null setzen: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Allgemeine Auflösung (3) Ableitung nach x analog und es ergibt sich: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Allgemeine Auflösung (4) • Gemeinsames Gleichungssystem: • Auflösung durch Inversion: Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Unbekannten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Hauptprobe • Annahme war, dass x und v klein gegenüber X 0 und L sind • Annahme muss überprüft werden! • Einsetzen in ursprüngliches (nicht linearisiertes) Gleichungssystem • Wenn nicht genügend genau erfüllt? Iteration – Näherungswerte nicht gut genug Neu aufstellen – Funktionales Modell fehlerhaft Geprüfte Programme verwenden – Rechenfehler Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Fehler im funktionalen Modell • Hauptprobe zeigt Fehler im funktionalen Modell an • Kandidat für Fehler ist die Funktion, bei der die Hauptprobe nicht aufgeht • z. B. 3. Gleichung geht nicht auf – möglicherweise 3. Zeile der A-Matrix oder 3. Element des w-Vektors fehlerhaft Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Iterative Ausgleichung • Ergebnis der Ausgleichung als Näherung für eine neuerliche Ausgleichung verwendet • L, SLL und B bleiben erhalten • A und w werden neu berechnet (hier kommen die Näherungswerte der Unbekannten vor) • Iteration so lange, bis Hauptprobe aufgeht • Iteration muss nicht konvergieren! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Sonderfälle 1. In jeder Gleichung ji kommt jeweils nur eine Beobachtung vor: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen 2. Es treten keine unbekannten Parameter auf, die Gleichungen ji beschreiben nur den funktionalen Zusammenhang der Beobachtungen: Ausgleichung bedingter Beobachtungen 3. In n Gleichungen tritt jeweils nur eine Beobachtung auf und in den übrigen r-n Gleichungen treten nur Unbekannte auf: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen • Pro Gleichung nur eine Beobachtung • Gleichungen explizit nach Li auflösbar • n Messgrößen, r=n Gleichungen, u Unbekannte • Überschüssige Beobachtungen: nfv=n-u Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Art des Problems Unterscheidung über die Redundanz: • Redundanz < 0: unterbestimmt, nicht eindeutig lösbar • Redundanz = 0: Problem eindeutig lösbar • Redundanz > 0: Ausgleichungsaufgabe Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Funktionales Modell Taylorentwicklung: B= –I Modellmatrix A wie bisher weiters: bzw. Verbesserungsgleichung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Gewichtsmatrix • Anwendung des Varianzfortpflanzungsgesetzes auf gibt für die Kovarianzmatrix des gekürzten Beobachtungsvektors: • Die Kofaktormatrix ergibt sich somit zu • Somit erhalten wir dieselbe Gewichtsmatrix P wie bisher. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Lösung • Das Gleichungssystem vereinfacht sich zu • Die Auflösung ergibt • Normalgleichungsmatrix Normalgleichung • Verbesserungen: • Ausgeglichene Beobachtungen: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Hauptprobe • Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell? • Einsetzen in Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Sonderfall: Lineare Verbesserungsgleichungen • • z. B. Koordinatendifferenzen (Nivellement) Verbesserungsgleichungen sind linear Keine Linearisierung notwendig Keine Näherungswerte für die Parameter notwendig (oft trotzdem aus numerischen Gründen verwendet – kleine Werte in x und l) • Hauptprobe: Nur aufgestelltes Modell und Rechnung können falsch sein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Sonderfall: Ausgleichung direkter Beobachtungen • z. B. Ausgleichung direkt und mehrfach gemessener Größen (Strecke) • A-Matrix ist ein 1 -Vektor • Auflösung: • Gewichtsmatrix Einheitsmatrix: einfaches arithmetisches Mittel • Gewichtsmatrix Diagonalmatrix: gewogenes arithmetisches Mittel • Sonst: allgemeines arithmetisches Mittel Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichung bedingter Beobachtungen • Keine unbekannten Parameter • n Beobachtungen sollen so verbessert werden, dass sie r Bedingungen (sind aufzustellen) erfüllen • r = n – n 0 mit n 0 = Anzahl der notwendigen Beobachtungen für eine eindeutige Lösung • nfb=r Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) • Das Problem vereinfacht sich zu Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Funktionales Modell • Widerspruchsvektor: • Ableitungen nach X alle Null, somit AMatrix eine Nullmatrix, also • Korrelaten: • Verbesserungen: • Normalgleichungsmatrix der bedingten Ausgleichung: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Hauptprobe • Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen das ursprüngliche funktionale Modell? • Einsetzen in Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen • Pro Gleichung nur eine Beobachtung • Zusätzlich Bedingungen zwischen den Unbekannten • n Beobachtungen, u Unbekannte, r Bedingungen • nfvb = n – u + nb Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Lösungsansätze • Elimination von Unbekannten: r Unbekannte werden mit Hilfe der Bedingungen eliminiert • Strenge Lösung: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen • Fiktive Beobachtungen: Bedingungen werden als (fiktive) Beobachtungen mit großem Gewicht eingeführt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Wann Ausgleichungsproblem? • nfvb = n – u + nb • Ausgleichungsproblem, wenn nfvb > 0 • Somit: n + nb > u Die Summe aus Beobachtungen und Bedingungen muss größer als die Anzahl der Unbekannten sein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Funktionales Modell • Funktionales Modell der vermittelnden Ausgleichung • und die Bedingungen • Getrennte Betrachtung der beiden Teile: • Beobachtungen • Bedingungen • Keine Bedingungen zwischen den Beobachtungen B ist eine Nullmatrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Lösung (1) • Methode von Langrange: • Differenziert und gleich Null gesetzt: • Einsetzen von gibt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Lösung (2) • 1. Gleichung: • Kombiniert mit 2. Gleichung: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Hauptprobe • Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell? • Erfüllen die ausgeglichenen Parameter die Bedingungen? • Einsetzen in Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Unbekannten • Entspricht dem Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung • n Beobachtungen, n 0 Beobachtungen zur eindeutigen Lösung notwendig, u Unbekannte • Anzahl der aufzustellenden Bedingungen: r = (n – n 0) + u = nfa + u • Lösung: siehe Allgemeinfall Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Stochastisches Modell a posteriori • a posteriori: nach der Ausgleichung • Beim stochastischen Modell a priori Ausgangspunkt Kovarianzmatrix, aber schließlich verwendet die Kofaktormatrix • Kovarianzfortpflanzungsgesetz angewendet auf Gleichungssystem f=Fx gibt Kofaktorfortpflanzungsgesetz Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (1) • gekürzter Beobachtungsvektor: • Ausgeglichene Beobachtungen aus • Somit gilt: • Nun können wir l, x, l und v als Funktion von l ausdrücken. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (2) Das Kofaktorfortpflanzungsgesetz liefert: Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (3) Und weiters: Grund: Unterscheiden sich nur durch konstante Faktoren Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Probe • Gewichtsreziprokenprobe nach Ansermet • Die Summe der Hauptdiagonalglieder Produktmatrix muss gleich der Anzahl der Unbekannten sein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der bedingten Ausgleichung Das Kovarianzfortpflanzungsgesetz liefert: Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnde Ausgleichung mit Bed. • Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix: • Und weiters: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Kofaktoren a posteriori bei der bed. Ausgleichung mit Unbekannten • Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix: • Und weiters: Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (1) • Im stochastischen Modell s 02 herausgehoben und die Kofaktormatrix Q erhalten • Somit Übergang auf relative Genauigkeitsangaben (ausreichend für Gewichtung) • Ausgleichung liefert Kofaktormatrizen für ausgeglichene Parameter etc. • Gesucht: Kovarianzmatrizen • Multiplikation mit Varianz der Gewichtseinheit a posteriori Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (2) • Parameter aus den empirischen Beobachtungen bestimmt auch Varianz der Gewichtseinheit a posteriori empirisch bestimmt • Definition der Varianz: Quadratsumme der Verbesserungen durch Anzahl der Freiheitsgrade Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Varianzen, Kovarianzen und Standardabweichungen • Aus Kofaktormatrizen durch Multiplikation mit der Varianz der Gewichtseinheit a posteriori • z. B. • Varianz einer Funktion Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil

Zusammenfassung • Lösung überbestimmter Probleme durch Einführen einer Bedingung: v. Tv min • Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung • Sonderfälle bedingte/vermittelnde Ausgleichung – vermittelnd: einfach zu automatisieren, oft aufwändige Rechnung – bedingt: schwer aufzustellen, einfach zu rechnen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil