OCENJIVANJE PARAMETARA RASPODELE Jedan od osnovnih zadataka sa

OCENJIVANJE PARAMETARA RASPODELE

• Jedan od osnovnih zadataka sa kojim se sreće matematička statistika je ocena parametara raspodele verovatnoća osnovne populacije, obeležja X, pomoću nekog njenog nezavisnog uzorka • Na osnovu iskustva ili poznavanja prirode posmatranog problema ponekad smo u mogućnosti da prepoznamo o kojoj je raspodeli reč, ali neznamo paramerte raspodele • Najčešće ne poznajemo ni raspodelu i vrednosti njenih odgovarajućih parametara.

• Primer: Ako ispitujemo visinu svih ljudi jedne države, možemo pretpostaviti da ova promenljiva ima normalnu raspodelu. Međutim, mi ne znamo unapred koliko je matematičko očekivanje- srednja vrednost visine. Ovaj parametar moramo da ga ocenimo na osnovu statističkih podataka. • Primer: Pretpostavimo da znamo broj uspešnih eksperimenata koji se nezavisno ponavljaju. U pitanju je binomna raspodela, ali mi ne znamo verovatnoću p. • Primer: Ako želite da predvidite rezultate izbora, vi neznate proporcionalno broj ljudi koji će da pruže podršku nekom određenom kandidatu. Ne znamo ni raspodelu ni parametre. U mogućnosti smo da izaberemo slučajan uzorak u pokušaju da ocenimo taj broj

• Problem se dakle sastoji u nalaženju numeričkih karakteristika populacije, odnosno vrednosti nepoznatih parametara, na osnovu uzorka ili kako se obično kaže, ocenjivanje ili estimacija parametara raspodele. • Parametri raspodela koji se nalaze približno na osnovu uzorka nazivamo ocenom parametara. • Neka je • Onda se na osnovu uzorka obima n, izvodi se ocena nepoznatog parametra u obliku funkcije skup svih mogućih vrednosti parametra cele populacije.

• • U raspodelama koje smo do sada proučavali sretali smo se sa različitim parametrima. Veličine p, n u binomnoj raspodeli, u Poasonovoj raspodeli, u normalnoj raspodeli, su parametri tih raspodela.

• Definicija: Svaka slučajna promenljiva koja je funkcija uzorka naziva se statistika. • Znači, parametri populacije • Na osnovu zakona velikih brojeva, za dovoljno veliko n, po verovatnoći Greška ove ocene može se učiniti proizvoljno malom ako je uzorak dovoljno veliki. • odnosno uzorka , su statistike.

• Postoje 2 vrste ocene parametara: 1. Tačkaste ocene Tačkasta ocena je broj koji se izračunava iz uzorka i služi za aproksimaciju nepoznate vrednosti parametra raspodele verovatnoća populacije 2. Intervalne ocene Ocene su izražene intervalima, sa unapred datom verovatnoćom

TAČKASTE OCENE • Posmatrajmo neko obeležje X populacije i neka je parametar posmatrane populacije, a vrednost uočenog parametra dobijenog na osnovu uzorka • Definicija: Slučajna promenljiva koja se koristi za ocenu nepoznatog parametra zove se tačkasta ocena

• DEF: Tačkaste ocene • Tačkasta ocena je broj (vrednost parametara) koji se izračunavaja na osnovu jednog uzorka i služi kao aproksimacija nepoznate vrednosti parametara raspodele osnovne populacije iz koje je uzorak uzet. Tačkasta ocena je slučajna promenljiva sa istom raspodelom kao slučajna veličina uzeta iz populacije. Ako je uzorak sa konačnim brojem podataka, moguća su velika ostupanja procene od stvarne vrednosti. Ova definicija dopušta da se na mnogo različitih načina definišu ocene za isti parametar. Na primer ako hoćemo da ocenimo matematičko očekivanje osnovne populacije, kao ocenu možemo da koristimo: aritmetičku sredinu uzorka, modu, medijanu, geometrijsku sredinu, harmonijsku sredinu i sl. • •

OSOBINE TAČKASTIH OCENA • centrirana ili nepristrasna Centriranost znači da ne postoji odstupanje procene od prave vrednosti. • efikasna je ona ocena koja ima min varijansu. • Za dve centrirane ocene, efikasnija je ona ocena koja ima manju varijansu

TAČKASTE OCENE MATEMATIČKOG OČEKIVANJA • • Standardna tačkasta ocena matematičkog očekivanja je aritmetička sredina Definisan je na uzorku veličine n nezavisnih slučajnih promenljivih sa istom raspodelom kao osnovna populacija

TAČKASTE OCENE VARIJANSE • Ocena varijanse nezavisnih slučajnih promenljivih data je izrazom • Može se dokazati da ova ocena nije centrirana, pa se zato koristi druga ocena

TAČKASTE OCENE VEROVATNOĆE • Ako se eksperiment dodađaja A se ponavlja n puta onda dobijamo n slučajnih promenljivih koje imaju Bernulijevu raspodelu , sa poznatim parametrom n i nepoznatim parametrom p. • Parametrom raspodele obeležja X može se smatrati i verovatnoća p ostvarivanja nekog slučajnog događaja A koji se može opisati pomoću slučajne promenljive X. • Definicija: Kao ocena parametra p uzima se relativna frekvenca događaja A u uzorku pojavljivanja

INTERVALI POVERENJA • Umesto tačkastih ocena mnogo je preciznije koristiti intervalne ocene. • Intervali poverenja su intervali u kojima se sa nekom verovatnoćom nalazi nepoznati parametar • Nazivaju se i intervali pouzdanosti

• Definicija: Neka je uzorak obeležja X sa raspodelom i neka su dve statistike koje ne zavise od nepoznatog parametra Tako da je gde je unapred zadata verovatnoća i i zove se nivo poverenja. Tada se slučajni interval koji zavisi od uzorka Naziva interval poverenja za parametar

• Da bi se odredio interval poverenja, dakle treba odrediti površinu čija je vrednost a zaklapa je kriva gustine sa x-osom. • Verovatnoća , nivo poverenja i najčešće se uzima da iznosi 0. 9, 0. 95 ili 0. 99. • Kako intervali poverenja treba da budu što uži, a nivo poverenja što veći , dobijamo dva suprotna uslova, koji se rešava povećavanjem obima uzorka.

INTERVAL POVERENJA ZA MATEMATIČKO OČEKIVANJE, KADA JE POZNATA DISPERZIJA • • • Mi znamo raspodelu od aritmetičke sredine. Mi takođe znamo da je blisko matemtičkom očekivanju , ali koliko je? ? ? Mi želimo da znamo verovatnoću da rastojanje ove dve vrednosti bude manje od nekog zadatog broja c. U suštini mi želimo da znamo verovarnoću da slučajni interval pokriva nepoznatu vrednost

• Aritmetička sredina • Statistika uzorka ima normalnu raspodelu N(0, 1) Definišimo veličinu z, takvu da je ova vrednost se čita iz tablica

• Dvostrani interval poverenja je

• Primer: Neka je godišnji prinos neke poljoprivredne kulture slučajna promenljiva sa standradnom devijacijom od 16 jedinica. Na 100 kontrolnih parcela izmeren je srednji prinos od 175 jedinica. Odrediti 99% interval poverenja za očekivani prinos poljoprivredne kulture.

• • • Primer: U cilju izračunavanja srednje dužine rada lampi iz jedne serije uzet je uzorak od 400 komada X 1200 1210 1220 1230 1240 F 20 30 30 20 Sa nivoom poverenja 0, 9974, odrediti interval poverenja za dužinu rada cele populacije, ako se zna da je varijansa rada lampi 1225

• Interval poverenja za matematičko očekivanje ako je disperzija nepoznata Studentova t raspodela Teorema: Ako je X 1, X 2, . . Xn uzorak iz normalne raspodele nepoznate, n je malo n<30 dvostrani interval poverenja je Za n>30 t raspodela se aproksimira normalnom i varijansa

• Primer: Uočen je uzorak od 10 proizvoda. Na osnovu izmerenih vrednosti uzorka dobijena je sredina i ocena disperzije Odrediti interval poverenja za nepoznato matematičko očekivanje za verovatnoćom od

Primer: Izmerene su dužine nekog proizvoda i dobijeni su sledeći rezultati Dužina proizvoda je slučajna promenljiva sa normalnom raspodelom Odrediti 90% interval poverenja za nepoznato matematičko očekivanje.

Rešenje: Kako je a iz tablica dobijamo • Interval poverenja

Intervali poverenja za disperziju • Za određeni stepen slobode i zadatu verovatnoću p na osnovu tablica se izračunava pozitivna vrednost tako da je Grafik predstavlja funkciju gustine, a osenčena površina verovatnoću p za koju važi da je jednostrani interval ili ,

Interval poverenja za disperziju • Teorema: Ako je X 1, X 2, . . Xn uzorak iz normalne raspodele varijansa nepoznate, dvostrani interval poverenja je pri čemu je

• Primer: Odrediti 95% interval poverenja za disperziju, ako zahtevana vrednost merenja uglova iznosi 1“. Obavljeno je 20 merenja i standardno odstupanje dobijeno u ovom uzorku iznosi

• Ispitivan je vek trajanja jedne sijalice. Uzorak od 16 komada imao je srednji vek trajanja 1686 časova i standardno odstupanja od 108 časova. Odrediti 90% interval poverenja za varijansu populacije