Normalna raspodela 20082009 1 Raspodele verovatnoe Raspodela diskretne

Normalna raspodela 2008/2009 1

Raspodele verovatnoće Raspodela diskretne verovatnoće Binomna Normalna Poisson-ova Uniformna Hipergeometrijska 2008/2009 Raspodela kontinuirane verovatnoće Eksponencijalna 2

Normalna raspodela Ø Normalna gustina raspodele verovatnoće: srednja vrednost standardna devijacija 2008/2009 3

Osobine normalne raspodele Ø zvonastog” oblika Ø simetrična Ø unimodalna Ø asimptotska Ø srednja vrednost, medijana i modus su jednaki Ø Raspodelu definišu srednja vrednost, m, i standardna devijacija, . Srednja vrednost kontroliše centar, a standardna devijacija širinu Ø 2008/2009 4

Osobine normalne raspodele Ø Standardna devijacija je rastojanje od srednje vrednosti do tačke gde kriva menja oblik od konkavne na dole u konkavnu na gore 2008/2009 5

Mnogo normalnih raspodela Postoji beskonačan broj normalnih raspodela Promenom parametara μ i σ, dobijaju se različite normalne raspodele 2008/2009 6

Primeri podataka sa normalnom raspodelom Ø Ø Ø Ø očekivani životni vek osoba u populaciji visina težina IQ visina plata parametri vremenske prognoze podaci iz proizvodnje društvenih nauka i dr. 2008/2009 7

Standardizovano odstupanje (z-score) Ø Odstupanje posmatrane vrednosti od srednje vrednosti izraženo u broju standardnih devijacija Ø z-score je razlika između posmatrane vrednosti i srednje vrednosti podeljena sa standardnom devijacijom v na primer: ako je z = 2, vrednost je udaljena 2 standardne devijacije od srednje vrednosti Ø Ako je -3, 0 > z-score > 3, 0 vrednost se smatra ekstremnom 2008/2009 8

Z-score - primer Ø Ø Prosečan unos proteina 77 g/dan, Sd = 8 g, N = 500 Gde se nalazi osoba koja unosi 93 g/dan ? Osoba koja unosi 93 g/dan ima vrednost koja je za 2 Sd veća od prosečnog unosa proteina Negativan z-score znači da je vrednost manja od srednje vrednosti 2008/2009 9

Standardizovana normalna raspodela • z-score je normalno distribuiran sa srednjom vrednošću 0 i standardnom devijacijom 1 • standardizovana normalna raspodela m= 0 =1 standardizovana normalna kriva m≠ 0 ≠ 1 • standardizovana normalna kriva je simetrična oko nule • najveći deo površine ispod krive leži izmedju -3 z i 3 z • površina ispod standardne normalne krive je 1 • krajevi krive se asimptotski približavaju x-osi 2008/2009 10

Primer Ø Ako je varijabla x normalno distribuirana sa srednjom vrednošću μ = 5 i standardnom devijacijom σ = 2, z vrednost za x = 6, 2 je Ø Ovo znači da se vrednost x = 6, 2 nalazi 0, 6 standardnih devijacija (0, 6 inkremenata od 2 jedinice) iznad srednje vrednosti 2008/2009 11

Primer Standardizovana normalna raspodela Normalna raspodela σ=2 σz = 1 6, 2 μ=5 2008/2009 x 0, 6 z μz = 0 12

Primer Standardizovana normalna raspodela Normalna raspodela σ=2 σz = 1 2, 5 7, 5 μ=5 2008/2009 x -1, 25 z μz = 0 13

Nalaženje verovatnoće Verovatnoća je površina ispod krive! f(x) c 2008/2009 d x 14

Verovatnoća kao površina ispod krive Ukupna površina ispod krive je 1, 0 Raspodela je simetrična f(x) 0, 5 μ 2008/2009 x 15

Tabela standardizovane normalne raspodele Tablica standardizovane normalne raspodele daje verovatnoću, odnosno površinu za vrednosti manje od željene vrednosti z (od - ∞ do z) Ø primer: P(z < 2, 00) = 0, 9772 0 2008/2009 2, 00 z 16

Tabela standardne normalne raspodele U kolonama su vrednosti z na drugom decimalnom mestu Z U redovima su vrednosti z do prvog decimalnog mesta 0, 00 0, 01 0, 02 … 0, 0 0, 1 . . . 2, 0 0, 9772 Verovatnoća/površina za vrednosti manje z manje od željene vrednosti z P(z < 2, 00) = 02. 0 , 9772 2008/2009 17

Procedura za određivanje verovatnoće Ø Za određivanje P(x < b) kada je varijabla x normalno distribuirana: v varijabla x se prevede u z v koristi se tabela standardne normalne raspodele Primer: Odrediti P(x < 8, 6), ako je varijabla x normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8, 0 i standardnom devijacijom 2, 5 x 8, 0 8, 6 2008/2009 18

Određivanje verovatnoće levo od z - Primer Ø Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8, 0 i standardnom devijacijom 2, 5. v Ako je potrebno 8, 6 poena da se ispit položi, koji procenat studenata nije položio ispit? v Ako je ispit je polagalo 250 studenata, koji broj studenata nije položio ispit? Ø 1. Izračunati vrednost z 2. Odrediti površinu levo od z i izraziti je u procentima 3. Izračunati broj studenata iz dobijenog procenta Ø Ø 2008/2009 19

Određivanje površine za z < 0, 64 μ=8 σ = 2, 5 μ=0 σ=1 x 8 8, 6 P(x < 8, 6) 2008/2009 z 0 0, 64 P(z < 0, 64) 20

Površina za z < 0, 64) Tabela standardizovane normalne raspodele Z P(x < 8, 6) ) = P(z < 0, 64) = 0, 7389 , 00 . . 0, 0 0, 5000 . . 0, 5080 0, 1 0, 5398 . . 0, 5478 . . . 0, 7389 . . 0, 6 . . 0, 7257 0, 7389 , 04 z 0, 00 0, 64 73, 89% studenata ima manje od 8, 6 poena 185 (250 x 0, 7389) studenata ima manje od 8, 6 poena 2008/2009 21

Površina i. e. verovatnoća Koja je verovatnoća da student ima tačno 8, 6 poena? P(x = 8, 6) ) = P(z = 0, 64) = 0 Ø 2008/2009 22

Određivanje površine desno od z Ø Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8, 0 i standardnom devijacijom 2, 5. Ø Odrediti P(x > 8, 6) x 8, 0 8, 6 2008/2009 23

Određivanje verovatnoće desno od z P(x > 8, 6) = P(z > 0, 64) = 1, 0 – P(z ≤ 0, 64) = 1, 0 – 0, 7389 = 0, 2611 0, 7389 1, 000 1, 0 – 0, 7389 = 0, 2611 Z Z 0 0 0, 64 26, 11% studenata ima više od 8, 6 poena 65 (250 x 0, 2611) studenata ima više od 8, 6 poena 2008/2009 24

Određivanje površine između dve vrednosti z Ø Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8, 0 i standardnom devijacijom 2, 5. Ø Odrediti P(8, 0 < x < 8, 6) Izračunati vrednost z : 8 0 8, 6 x 0, 64 z P(8 < x < 8, 6) = P(0 < z < 0, 64) 2008/2009 25

Rešenje: Određivanje P(0 < z < 0, 12) P(8 < X < 8. 6) = P(0 < z < 0, 64) = Tabela standardizovane normalne raspodele Z = P(z < 0, 64) – P(z ≤ 0) = = 0, 7389 – 0, 500 = 0, 2389 , 00 . . 0, 0 0, 5000 . . 0, 5080 0, 1 0, 5398 . . 0, 5478 . . . . , 04 0, 5000 0, 2389 z 0, 6 0, 7257 . . 0, 7389 0, 00 0, 64 2008/2009 26

Važne površine ispod krive Površina između -1 z i +1 z = 0, 6826 = 68, 3% Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -1 z i +1 z : P = 0, 6826 = 68, 3% 2008/2009 27

Važne površine ispod krive Ø U rasponu μ ± 1σ je v 68, 3% površine ispod krive v 68, 3% svih vrednosti f(x) σ μ-1σ σ μ μ+1σ 68, 26% 2008/2009 x 28

Važne površine ispod krive Površina između -2 z i +2 z = 0, 9544 = 95, 4% Površina između -3 z i +3 z = 0, 9974 = 99, 7% Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -2 z i +2 z : P = 0, 9544 = 95, 4% Verovatnoća da se varijabla x nađe u granicama -3 z i +3 z : P = 0, 9974 = 99, 7% 2008/2009 29

Važne površine ispod krive Ø U rasponu μ ± 2σ je Ø U rasponu μ ± 3σ je v 95, 4% površine ispod krive v 99, 7% površine ispod krive v 95, 4% svih vrednosti v 99, 7% svih vrednosti 2σ μ -2 σ 2σ μ 95. 44% 2008/2009 μ+ 2σ x 3σ μ -3 σ 3σ μ x μ+ 3σ 99. 73% 30

Određivanje vrednosti x iz verovatnoće Ø Određivanje vrednosti x iz poznate verovatnoće: v pronaći vrednost z za poznatu verovatnoću (površinu) v konvertovati vrednost z u vrednost x 2008/2009 31

Određivanje vrednosti x iz verovatnoće Ø Varijabla x je normalno distribuirana sa srednjom vrednošću 8, 0 i standardnom devijacijom 2, 5. Ø Odrediti vrednost x tako da je 20% svih vrednosti manje od x (P = 0, 2) 0, 2000 ? ? 2008/2009 8, 0 0 x Z 32

Određivanje vrednosti x iz verovatnoće Ø Broj poena na ispitu, koji je polagalo 250 studenata, ima normalnu raspodelu sa srednjom vrednošću 8, 0 i standardnom devijacijom 2, 5. v Koji je granični broj poena koji ima 20% studenata sa najmanjim brojem poena? Ø 1. Izračunati vrednost z iz date verovatnoće/površine 2. Izračunati vrednost x Ø 2008/2009 33

Nalaženje vrednosti z iz tabele 1. Pronalaženje vrednost z za poznatu verovatnoću Tabela standardizovane normalne raspodele … Z , 03 , 05 , 04 -0. 9 … , 1762 , 1736 , 1711 -0. 8 … , 2033 , 2005 , 1977 -0. 7 … , 2327 , 2296 , 2266 Ø 20% površine (P = 0, 2) u levom delu raspodele odgovara vrednosti z = - 0, 84 0, 2000 ? 8. 0 -0, 84 0 2008/2009 x Z 34

Određivanje vrednosti x 2. Konvertovanje vrednosti z u vrednost x Ø Ø U raspodeli sa srednjom vrednošću 8, 0 i standardnom devijacijom 2, 5 , 20% vrednosti je manje od 5, 9 20% studenata ima manje od 5, 9 poena 2008/2009 35

Domaći zadatak Ø a. b. c. d. Prosečna težina beba rođenih u jednoj bolnici je 3, 25 kg sa standardnom devijacijom od 0, 75 kg. Raspodela težina 10000 beba rođenih tokom 10 godina u toj bolnici je normalna. Izračunati sledeće: Verovatnoću da se u toj bolnici rodi beba koja ima težinu između 3 i 3, 5 kg? Koji procenat beba ima težinu najmanje 4 kg? Koliko je dečaka rođeno sa težinom najmanje 3. 5 kg? (računati kao da je rođen podjednak broj dečaka i devojčica) Bebe sa malom težinom zahtevaju specijalnu negu. Ako je bolnica definisala kao kritično malu težine u prvom kvintilu, izračunati koja je maksimalna težina na rođenju koja će bebu kvalifikovati za specijalnu negu (inkubator i sl. ) 2008/2009 36