NMEROS COMPLEXOS E FUNES DE VARIVEIS COMPLEXAS Ettore

NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS Ettore A. de Barros

1 - DEFINIÇÕES E PROPRIEDADES Re(z) = x Im(z)=y a) Igualdade Dois números complexos (x 1, y 1), (x 2, y 2) são iguais, se e só se x 1 = x 2 e y 1 = y 2 b) Adição e Subtração

c) Produto i 2= -1 d) Divisão Se

Conjugado Complexo Valor Absoluto

Representação Geométrica

FORMA POLAR

FORMA POLAR: PRODUTO DE 2 COMPLEXOS Z´=Z. (cosϴ+isenϴ)

FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA z s x σ y ω s =σ +iω w = F(s)

FUNÇÕES POLINOMIAIS E RACIONAIS FUNÇÃO EXPONENCIAL Para ω = 0 Para σ = 0

LIMITE E DERIVADA VIZINHANÇA: LIMITE: sempre que

, TEOREMA: Existe o limite de F(s ) em s 0 e é igual a se e somente se os limites de u e v existem em e são iguais a e e respectivamente

CONTINUIDADE

DERIVADA

PROPRIEDADES

CÁLCULO DA DERIVADA

CÁLCULO ATRAVÉS DOS EIXOS REAL E IMAGINÁRIO Im ω0 ω0 Caminho Paralelo ao Eixo Real σ0 Re Im ω0 Caminho Paralelo ao Eixo Imaginário σ0 Re

CÁLCULO ATRAVÉS DOS EIXOS REAL E IMAGINÁRIO

RELAÇÕES DE CAUCHY-RIEMAN

FUNÇÕES ANALÍTICAS FUNÇÃO ANALÍTICA existe em s 0 e todo ponto de uma vizinhança de s 0 PONTO SINGULAR F(s) é analítica em toda vizinhança de s 0 exceto o próprio s 0 PÓLO Ponto Singular onde F(s) e suas derivadas, tendem a infinito

EXEMPLOS: F(S) = F(s) é analítica para todo o domínio do plano complexo. F(s) tem pólos em +-i F(s) é analítica em algum ponto da vizinhança de i ou de –i, exceto neles mesmos.

SE AS CONDIÇÕES DE CAUCHY RIEMAN SÃO SATISFEITAS NUM DOMÍNIO D, F É ANALÍTICA EM QUALQUER PONTO DESSE DOMÍNIO