Sistemas Complexos Sistemas Complexos Mecnica Estatstica Criticalidade AutoOrganizada

Sistemas Complexos • Sistemas Complexos & Mecânica Estatística • Criticalidade Auto-Organizada (SOC) • Dinâmica de terremotos e modelo OFC Carmen P. C. Prado Instituto de Física da USP Curso de Verão - janeiro /2002

• No dia a dia, chamamos de “ complexo ” um sistema que tem MUITOS COMPONENTES que INTERAGEM entre si e se comportam COLETIVAMENTE de forma NÃO TRIVIAL • A área de pesquisa que hoje denominamos genericamente “ Sistemas Complexos ” é um novo campo da ciência, de caráter fortemente interdisciplinar, que estuda como as diversas partes de um sistema podem gerar padrões e comportamentos coletivos - chamados emergentes - e como tal sistema afeta ou é afetado pelo meio que o cerca. • • • Como as iterações locais levam a padrões coletivos. Como podemos descrever tais sistemas / comportamentos. Como tais sistemas (redes) se formam

No estudo de sistemas complexos estamos interessados em efeitos indiretos, ou seja, em comportamentos macroscópicos e coletivos (como sincronismo e auto -organização) que não podem ser inferidos trivialmente das regras de interação entre as partes. • • Problemas que são difíceis de resolver são, em geral, difíceis de serem entendidos porque neles causas e efeitos não estão obviamente relacionados. Perturbar um sistema complexo “aqui” geralmente causa um efeito inesperado “lá” porque suas partes são interdependentes de uma forma não trivial.

• A compreensão de que o conhecimento do funcionamento das partes muitas vezes não é suficiente para explicar o comportamento coletivo de vários sistemas levou ao desenvolvimento de novos conceitos e metodologias que afetam todos os ramos da ciência exatas, da engenharia, biologia e mesmo ciências humanas.

• A pesquisa envolvendo os sistemas complexos busca desenvolver novas ferramentas que possibilitem entendê-los e descrevê-los. 0 Novos conceitos 0 Ferramentas analíticas 0 Simulações numéricas • Mecânica Estatística fornece ferramentas importantes para estes estudos

Mas o que estuda a Mecânica Estatística? Conexão entre mundo microscópico e macroscópico A MEC NICA ESTATÍSTICA estuda, quantitativamente, sistemas com grande número de elementos (ou graus de liberdade), tais como os átomos ou moléculas de um sólido, líquido ou gás. Embora as leis que governam a interação entre cada par de elementos desses sistemas possam ser bem compreendidas, o grande número de elementos e a complexidade das iterações que se estabelecem entre eles constitui, em geral, um problema de enorme dificuldade.

1. Problema de um corpo. . . Sabemos como escrever escreve e integrar as equações de movimento! Esquecendo do movimento da Terra. . . m << MT Uma bola caindo sob o efeito da gravidade

• Também sabemos resolver o problema de dois corpos. . No referencial do CM, movimento se dá de forma que o momento angular do corpo 1, são iguais e opostos aos do corpo 2. Leis de conservação Conservação de momento + conservação de momento angular O problema fica reduzido ao problema de um corpo. . .

3 corpos? A estratégia falha porque não temos mais constantes de movimento ! Até hoje não existe uma “forma fechada” para o problema de 3 corpos.

E se temos 1023 partículas? Esse número é tão grande que não dá nem para imaginar escrevermos a equação de movimento para cada partícula. Mesmo que o fizéssemos, fizéssemos Ninguém interpretaria o resultado! • Contribuições de Clausius, Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Plank e muitos outros mostraram que é exatamente o número enorme de partículas desses sistemas que permite grandes simplificações , possibilitando um tratamento estatístico. Mecânica Probabilidades MEC NICA ESTATÍSTICA

Termodinâmica Grandezas macroscópicas, como pressão, temperatura ou magnetização. Grandezas Microscópicas ? Médias : precisamos da “função de distribuição” Idade média dos alunos desse auditório (a) somar todas as idades e dividir pelo número total de alunos (complicado se temos muitos alunos). (b) se conhecemos a “distribuição de idades, isso é, quantos alunos tem “x” anos (mais fácil se N é muito grande)

Se soubermos calcular essas probabilidades, podemos calcular as médias! Probabilidade de um aluno ter idade k

HIPÓTESE FUNDAMENTAL DA MEC NICA ESTATÍSTICA um sistema tem a mesma probabilidade de estar em qualquer uma de suas configurações microscópicas. Em sistemas macroscópicos medimos, por exemplo, a sua energia total Duas partículas com energia E 0 Vamos supor um sistema de 2 partículas, partículas que podem ter 3 energias diferentes, 0, E 0 e 2 E 0 Duas partículas, com energias 2 E 0 e 0 Energia total = 2 E 0

Situação A - uma configuração Situação B - duas configurações (distinguíveis)

A teoria e as ferramentas matemáticas desenvolvidas através da Mecânica Estatística, para estudo de sistemas tipicamente “físicos” (sólidos, gases, etc) tem sido importantes para o estudo dos chamados sistemas complexos 0 Modelagem e simulação numérica: Autômatos celulares, monte carlo, algoritmos genéticos 0 Análise de séries temporais 0 Fractais 0 Teoria da percolação, caminhadas aleatórias 0 Fenômenos críticos É mais do que um conjunto de técnicas. É uma maneira de olhar para o problema, típica da física.

Alguns Exemplos • Neurônios no cérebro; • Dinâmica de Terremotos • Problemas de tráfico; • Avalanches • Estratégia de busca e escolha; • Teoria da evolução / envelhecimento • Funcionamento do sistema imunológico; • Crescimento urbano • Robótica e inteligência artificial; • Abertura dos estomatos • Economia e mercado financeiro • Proteínas • Sincronização de vaga-lumes • Opiniões/ crenças / decisões • etc. . .

“El Farol” é o nome de um bar que toda quinta-feira toca musica irlandesa. A questão é: ir ou não ao bar? Só vale a pena ir se não estiver muito cheio. . . Como saber com antecedência? Como cada um decide? • Melhor horário para voltar de um feriado prolongado. . . • Que ações comprar ou vender. . .

O que esperar do comportamento coletivo dos possíveis “fregueses”? Sempre os mesmos vão? O bar hora está cheio, hora está vazio? De que modo isso depende das estratégias de escolha individuais? Flutua em torno da média (50)? O problema não é trivial porque a melhor decisão não pode ser deduzida logicamente das informações (série temporal), e depende da decisão dos outros. Se todos tem uma estratégia de decisão perfeita” ela falha !!! Você tem que evoluir sempre e ser criativo para continuar no jogo !!! Indução em vez de dedução

Público possível = 100 pessoas Cada pessoa decide baseada em informações sobre o que ocorreu nas semanas anteriores: Lotação máxima = 60 pessoas 44, 78, 56, 15, 23, 67, 84, 34, 45, 76, 40, 56, 23, 35. . Estratégias de escolha: • • mesmo da última semana (= 35) média das últimas 4 semanas (= 39) reflexão especular em torno de 50 ( = 65) mesmo que há duas semanas ( = 23) Todos atualizam suas estratégias de escolha, mantendo a que mais funcionou

Desde que as regras não sejam todas iguais (ou muito óbvias). . . M O sistema se autoajusta, ajusta de forma que existe uma flutuação limite em torno do número máximo de pessoas (60, no caso). M A flutuação é “caótica”. caótica

Problemas nas células, defeitos etc. . . O processo de mutação / seleção natural “seleciona” o envelhecimento como uma característica boa para a espécie Teorias evolucionárias Existem seres vivos que não envelhecem (menos evoluídos)

Taxa de mortalidade: M(x) Tabelas Atuariais fração de indivíduos que morrem entre a idade x e x+1 Taxa de sobrevivência S(x) % de indivíduos na idade x Se a população envelhece, a taxa de mortalidade varia com a idade. Tabela de vida da população brasileira, 1998 Fonte: IBGE

Curvas de mortalidade Brasil e Estados Unidos

Modelos de simulação numérica mostraram que o fator decisivo para o envelhecimento é a diminuição do efeito de seleção natural com a idade, que é conseqüência da idade do início (e fim) da reprodução.

Movimento Browniano e caminhadas aleatórias Problemas de difusão

Caminhada aleatória não é um processo muito eficiente de se afastar de um ponto ! Se dou 25 passos, em média me afasto 5 passos do ponto de partida. Para dobrar a distância (10), tenho que quadruplicar o número de passos (100)

Vôos de Levy Caminhada aleatória onde os passos variam de tamanho Random walk Vôo de Levy

Esta estratégia parece otimizar diversos fatores (tempo, energia gasta, etc. . . ) Como buscar alvos distribuidos aleatóriamente ? Outras aplicações: Crescimento urbano Estratégias de busca em geral. . .