Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych cz 2 Ryszard Myhan

Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (część 2) Ryszard Myhan

Opływ ciała przez płyn u Gdy istnieje wzajemny ruch ciała i otaczającego płynu, wówczas oprócz sił wyporu (skierowanych przeciwnie do wektora przyspieszenia ziemskiego), powstaje siła oporu aero(hydro)dynamicznego. u Siła oporu Px – to składowa wektora siły aerodynamicznej lub hydrodynamicznej, równoległa do kierunku ruchu ciała względem płynu i skierowana zawsze przeciwnie do kierunku tego ruchu. u Opór aero(hydro)dynamiczny traktować można jako rodzaj siły biernej, przyłożonej do poruszającego się ciała (gdy ruch ciała ustaje, siła oporu zanika). W Vx Px Q Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 2

Opływ ciała przez płyn u Siła aerodynamiczna wynika z nierównomiernego rozkładu ciśnienia na powierzchni ciała, a także: § zjawisk hydrodynamicznych w sąsiedztwie jego powierzchni, gdy ciało to porusza się w płynie ; § oraz z istnienia naprężeń stycznych i przejawiających się w postaci lepkości sił tarcia między poruszającymi się z różnymi prędkościami warstwami płynu. u Dla prostych (w sensie geometrycznym) ciał poruszających się z niewielką prędkością (przepływ laminarny) istnieje kilka teorii opisujących opór aero(hydro)dynamiczny np. prawo Stokesa dla kuli, czy formuła Oseena. § Zgodnie z formułą Stokesa siła oporu Px, jakiej doznaje kula o promieniu R poruszająca się z prędkością x w płynie o lepkości μ wynosi: Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 3

Opływ ciała przez płyn u Dla większych prędkości, obejmujących zdecydowaną większość przypadków praktycznych, wielkość siły oporu obliczyć można z zależności: lub równoważnie: gdzie: cx - jest współczynnikiem doskonałości profilu, zależnym od liczby Reynoldsa; Sx - jest polem powierzchni rzutu profilu opływanego ciała na rzutnię prostopadłą do kierunku x; - gęstość płynu; x - składowa prędkości w kierunku x; pd – ciśnienie dynamiczne: Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 4

Opływ ciała przez płyn u Po linearyzacji wzór ten przyjmie postać: gdzie: k - jest stałą o wartości średniej: u Dla małych prędkości przepływu (przepływ laminarny), a zatem dla małych wartości liczby Reynoldsa, można przyjąć że siła oporu jest proporcjonalna do prędkości: Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 5

Opływ ciała przez płyn u Współczynnik oporu cx wyznaczany jest empirycznie na podstawie badań w tunelach aerodynamicznych, bądź metodami CFD. u Jest to bezwymiarowy współczynnik, zależny od kształtu, kątowej orientacji poruszającego się ciała względem kierunku ruchu, liczby Reynoldsa i liczby Macha. § W szerokim zakresie liczb Reynoldsa współczynnik cx jest wartością stałą; § dla kuli cx wynosi około 0, 45, a dla współczesnych samochodów osobowych około 0, 30. Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 6

Opływ ciała przez płyn – przykład 1 Przykład 1 x(t) Q H Px B Skoczek spadochronowy wykonuje skok z wysokości H. Jak zmienia się w czasie jego prędkość swobodnego opadania? Dane: m – masa skoczka; H – wysokość; c - współczynnik doskonałości profilu; S - pole powierzchni rzutu profilu; Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 7

Opływ ciała przez płyn – przykład 1 Założenia: 1. Ze względu na dużą różnicę między gęstością powietrza i gęstością ciała skoczka w rozwiązaniu pominięto siłę wyporu. 2. Wzniesieniu o 1 m odpowiada spadek ciśnienia o p=13 N/m 2. 3. Wzniesieniu o 1 m odpowiada spadek przyspieszenia ziemskiego g=3. 086 10 -5 m/s 2. 4. Przyjęto iż dla poziomu odniesienia (poziom morza): g 0=9. 80 m/s 2; 0=1. 20 kg/m 3; p 0=1. 01 105 N/m 2. 5. Stąd: Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 8

Opływ ciała przez płyn – przykład 1 Po podstawieniach: Po przekształceniu: Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 9

Opływ ciała przez płyn – przykład 1 Symulacja (M=80; H=4000; C=. 5; S=1. 5) Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 10

Opływ ciała przez płyn – przykład 1 Symulacja (M=80; H=4000; C=. 5; S=0. 5) Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 11

Opływ ciała przez płyn – przykład 1 Symulacja (M=80; H=10000; C=. 5; S=1. 5) Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 12

Opływ ciała przez płyn – przykład 1 Symulacja (M=80; H=4000; C 1=. 5; C 2=1. 42; S 1=1. 5; S 2=28; H 0=1000) Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 13

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 Przykład 2 6 4 1 3 § W praktyce, pomimo jednorodnej struktury zasypywanego materiału, obserwuje się znaczne zróżnicowanie rozmieszczenia wszelkiego rodzaju zanieczyszczeń w objętości zasypywanego ziarna. § Jako główną przyczynę tego stanu podaje się zjawisko samosegregacji w czasie napełniania. 2 § Z analizy procesu napełniania wynika, że wpływ tego zjawiska można minimalizować utrzymując w czasie napełniania w miarę równomierną powierzchnię zasypową. Rys. 1. Schemat urządzenia § Jako sposób uzyskania takiej powierzchni zaproponowano wykorzystanie obrotowej rynny zasypowej Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 14

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 § Naturalny proces napełniania w modelu potraktowano jako proces dyskretny, w którym, w kolejnych krokach następuje napełnienie objętością elementarną. § W ogólnym modelu napełniania silosu wyodrębniono trzy fazy tego procesu: fazę przemieszczania się ziarna wzdłuż rynny zasypowej; fazę swobodnego upadku; fazę kształtowania powierzchni usypowej. § Badania modelowe, realizowano w następujących etapach: – sformalizowany model matematyczny, – model operacyjny, – symulacja procesu, – weryfikacja modelu w oparciu o ograniczony eksperyment naturalny. Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 15

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 Faza przemieszczanie ziarna wzdłuż rynny zasypowej § Ruch ziarna wzdłuż rynny zasypowej, modelowano celem określenia wartości i kierunku prędkości w chwili oderwania ziarna od powierzchni rynny (przejścia do lotu swobodnego. § Z warunku chwilowej N Fo równowagi sił: y Fb Ft G z gdzie: r(t) x rk Rys. 2. Przemieszczanie masy ziarna wzdłuż ramienia rynny zasypowej. Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 16

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 Faza przemieszczanie ziarna wzdłuż rynny zasypowej § Zakładając, że przy t 0=0; r(t 0)=0 to prędkość przemieszczania się masy ziarna wyrazi się wzorem: a przy t=tk i r(tk)=rk osiągnie: § Dyskretyzując model, przyjęto, że w elementarnym czasie t rynna zasypowa zasila silos materiałem o objętości elementarnej V, zależnej od objętościowego natężenia przepływu Qv (wydajności napełniania) § Objętość ta dzielona jest na V 1 i V 2 , miedzy obydwa swobodne końce obrotowej rynny, w zależności od przekroi poprzecznych S 1 i S 2 na jej wylotach oraz prędkości z jaką materiał opuszcza rynnę. Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 17

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 Faza przemieszczanie ziarna wzdłuż rynny zasypowej V V 2=f(v 2, S 2) r 2 V 1=f(v 1, S 1) r 1 Vr= V-( V 1+ V 2) Jeżeli: co oznacza, że dostarczana masa ziarna przekracza możliwości jego odbioru, strumień ziarna dzielony jest na trzy części: Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 18

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 Faza swobodnego spadku § W modelu faza ta trwa od chwili oderwania ziarna od rynny zasilającej t=t 0=0 do czasu t=tk, przy którym tor lotu osiągnie punkt wspólny ze swobodną powierzchnią usypową, z poprzedniej iteracji P(x, y, tk- t). § Przyjęto, że przy t=t 0 porcja ziarna o objętości V 1 ( V 2) opuszcza rynnę w n-tej iteracji z następującymi parametrami: gdzie: Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 19

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 Faza swobodnego spadku y z vo v vr x rk Hr P(x, y, t) z R h Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) Fvz Fvx Fvy Fbz y Fbx x G 20

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 Faza swobodnego spadku gdzie: Jeżeli V 3> 0 to: co oznacza, że miejsce wysypu generowane jest losowo z rozkładu równomiernego w otoczeniu r osi silosu. Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 21

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 Faza swobodnego spadku § Założono, że w fazie lotu na masę ziarna odpowiadającą objętości elementarnej oddziałuje: • siła ciężkości G, • siła bezwładności Fb, • oraz siła oporów aerodynamicznych Fv, zależna do chwilowej prędkości przemieszczania. Ä W oparciu o powyższe równania oraz równanie swobodnej powierzchni usypu z=P(x, y, t- t) z poprzedniej iteracji, wyznaczane jest miejsce upadku tej masy. Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 22

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 Faza swobodnego spadku § Ze względu na to, że kształt powierzchni zapisywany jest w postaci „wysokościowej mapy numerycznej”, miejsce upadku jest także wyznaczane na drodze obliczeń numerycznych. § Z kolei, jeżeli tor ruchu „przetnie” ściankę silosu (z=Po(x, y) gdy: dla x 2+y 2<R 2 -> Po(x, y)=0 dla x 2+y 2 R 2 -> Po(x, y)=H) zanim osiągnie powierzchnię P, to przy wyznaczaniu miejsca upadku brana jest pod uwagę powierzchnia Po ścianki silosu. Ä Oznacza to, że w przyjętym modelu, ziarno po osiągnięciu ścianki silosu osuwa się pionowo w dół aż do osiągnięcia powierzchni P. Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 23

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 Faza kształtowania powierzchni usypowej § Objętość elementarna V 1 ( V 2 lub V 3 ) w miejscu upadku tworzy stożek usypowy o kącie wierzchołkowym ( -2 ), gdzie jest naturalnym katem usypu. § Wysokość położenia h wierzchołka tego stożka każdorazowo wyznaczana jest w oparciu o algorytm obliczeniowy w ten sposób, aby objętość ograniczona tworzącą stożka, swobodną powierzchnią zasypu z poprzedniej iteracji i ściankami silosu była równa (w granicach dopuszczalnego błędu ) objętości elementarnej V. § Algorytm realizowany jest w pięciu kolejnych krokach. Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 24

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 Algorytm kształtowania powierzchni usypowej 1. oblicz przybliżoną początkową wysokość położenia wierzchołka h, 2. wyznacz kształt powierzchni P(x, y, t), V 1(2) 3. oblicz objętość V(t) V(t- t) h 4. oblicz błąd oszacowana P(x, y, t- t) P 0(x, y) P(x, y, t) 5. jeżeli wartość jest większa od błędu dopuszczalnego, wróć do punktu 1, gdy nie - zakończ działanie algorytmu. Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 25

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 Model operacyjny § Kolejnym krokiem na drodze do symulacji procesu jest utworzenie modelu operacyjnego, umożliwiającego przedstawienie wyników badań modelowanego systemu za pomocą informacji liczbowych, a w konsekwencji modelu komputerowego (programu) obejmującego zarówno model procesu jak i program badań modelowych. § Występujące w modelu zmienne podzielono na trzy zbiory: • zbiór właściwości procesu, obejmujący zmienne stanu i zmienne wyjściowe; • zbiór zmiennych wewnętrznych, zawierający cechy konstrukcyjne i nastawy procesu; • zbiór wielkości wpływających na proces, takich jak zmienne sterujące i zakłócenia. Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 26

Napełnianie silosu zbożowego – przykład 2 Model operacyjny § Przynależność zmiennych do określonego zbioru w pewnym stopniu jest zależna od zakresu wykorzystania modelu. § Występujące w modelu zakłócenia losowe, modyfikując chwilowe wartości niektórych zmiennych np. : • współczynnika tarcia, • współczynnika oporów aerodynamicznych, • czy też naturalnego kąta usypu) zmieniają deterministyczny charakter modelu matematycznego w probabilistyczny model operacyjny. Ø Oprogramowanie modelu wykonano w oparciu o środowisko programistyczne pakietu obliczeniowego MATLAB, wykorzystując wewnętrzne funkcje pakietu oraz procedury i funkcje biblioteki Optimization Toolbox. Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 27

Napełnianie silosu zbożowego – model operacyjny DANE WEJŚCIOWE kształt i wymiary geometryczne silosu MODEL RYNNY określenie chwilowego położenia rynny wybrane cechy fizyczne zasypywanego materiału parametry geometryczne i kinematyczne rynny zasypowej parametry modelowanego procesu parametry modelu operacyjnego, warunki początkowe MODEL FAZY LOTU wyznaczenie kierunku i prędkości objętości elementarnej w czasie swobodnego upadku, z uwzględnieniem oporów aerodynamicznych określenie miejsca upadku objętości elementarnej na swobodną powierzchnie zasypu z poprzedniej iteracji MODEL FAZY UPADKU określenie wysokości położenia stożka usypowego wyznaczenie „nowego” kształtu swobodnej powierzchni usypowej Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) symulacja procesu wyznaczenie kierunku i prędkości objętości elementarnej w chwili opuszczenia rynny optymalizacja procesu określenie objętości elementarnych modelowanie procesu określenie warunków podziału strumienia ziarna ZAPIS DANYCH I WIZUALIZACJA PROCESU zakłócenia losowe 28

Napełnianie silosu zbożowego – symulacja § Symulacji napełniania ziarnem części walcowej silosu o średnicy 4 m. Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 29

Napełnianie silosu zbożowego – symulacja § Symulacji napełniania silosu stożkowego ziarnem przy prędkościach kątowych rynny 2. 1; 4. 2; 6. 3 i 8. 4 s-1, oraz w próbie kontrolnej z symulacją zasypu centralnego. Modelowanie wybranych zjawisk fizycznych (cz. 2) 30