Fizyka W 1 Wielkoci fizyczne i ich jednostki

Fizyka W 1 Wielkości fizyczne i ich jednostki Analiza wymiarowa Pomiary wielkości fizycznych Analiza niepewności pomiarowych dr hab. inż. Monika Lewandowska

Prawa fizyki są uniwersalne – niezależne od czasu i przestrzeni 2

Jednostki podstawowe układu SI Wielkość fizyczna długość Jednostka Symbol metr m masa kilogram kg czas sekunda s natężenie prądu elektrycznego amper A temperatura kelwin K mol kandela cd liczność materii światłość 3

Wymiar wielkości fizycznej Jednostki wielkości pochodnych definiuje się za pomocą jednostek podstawowych. Wielkości podstawowe wyznaczają wymiar wielkości pochodnych. Wymiar wielkości fizycznej – wyrażenie charakteryzujące związek tej wielkości z wielkościami podstawowymi danego układu jednostek. Ma ono postać jednomianu tj. iloczynu wielkości podstawowych w odpowiednich potęgach (całkowitych lub ułamkowych, dodatnich lub ujemnych). 4

Niektóre wielkości fizyczne wyrażające się przez długość (l), masę (m) i czas (t) Wielkość fizyczna Wymiar Jednostka pole powierzchni l 2 m 2 objętość l 3 m 3 prędkość l t -1 m/s przyspieszenie l t -2 m/s 2 gęstość ml -3 kg/m 3 pęd ml t -1 (kg∙m)/s siła ml t -2 N=(kg∙m)/s 2 energia ml 2 t -2 J=N∙m=(kg∙m 2)/s 2 moc ml 2 t -3 W=J/s częstotliwość t -1 Hz moment pędu ml 2 t -1 J∙s ciśnienie ml -1 t -2 Pa=N/m 2 5

Czynnik Przedrostek Symbol 1018 Eksa E 1015 Peta P 1012 Tera T 109 Giga G 106 Mega M 103 kilo k 102 hekto h 101 deka da 10 -1 decy d 10 -2 centy c 10 -3 mili m 10 -6 mikro m 10 -9 nano n 10 -12 piko p 10 -15 femto f 10 -18 atto a Przedrostki układu SI

Analiza wymiarowa Ustalenie przybliżonej postaci wzoru (z dokładnością do stałej bezwymiarowej) na podstawie samej tylko analizy wymiarów wielkości fizycznych, które, jak przypuszczamy, wchodzą w skład tego wzoru. Zakładamy, że poszukiwana wielkość fizyczna wyrażona jest przez iloczyn potęg innych wielkości fizycznych. 7

Analiza wymiarowa – przykład (I) Zadanie Ciało o masie m zawieszone jest na sprężynie o współczynniku sprężystości k. Jeśli ciało zostanie wychylone z położenia równowagi na odległość x, układ uzyskuje energię potencjalną sprężystości, kosztem wykonanej przez nas pracy. Znaleźć wyrażenie na energię sprężystości układu. Etap I : Wypisanie wielkości fizycznych, od których może zależeć poszukiwana wielkość oraz ich wymiarów. wielkość wymiar E ml 2 t -2 m m k mt -2 x l 8

Analiza wymiarowa – przykład (II) Etap II : Sformułowanie hipotetycznego wzoru wiążącego te wielkości fizyczne Etap III : Porównanie wymiarów wielkości fizycznych po obu stronach równości i obliczenie wykładników występujących we wzorze 9

Pomiary wielkości fizycznych http: //labor. zut. edu. pl/niepewnosci_new. pdf Pomiar – porównanie wielkości fizycznej z wielkością tego samego rodzaju przyjętą za jednostkę. Liczba otrzymana jako wynik pomiaru zależy od wyboru jednostki. Wynik pomiaru musi składać się z wartości liczbowej oraz jednostki (a także niepewności pomiarowej). Pomiar bezpośredni – porównanie danej wielkości fizycznej z odpowiednią miarą wzorcową. Pomiar pośredni – wartość badanej wielkości wyznaczana jest na podstawie pomiarów bezpośrednich innych wielkości fizycznych, które są z nią związane znanym prawem fizycznym. 10

Błąd pomiaru – różnica pomiędzy wynikiem pomiaru, a rzeczywistą wartością mierzonej wielkości. Błędy pomiarów tradycyjnie dzielimy na grube (omyłki), przypadkowe oraz systematyczne. Posługiwanie się w praktyce pojęciem błędu pomiaru nie jest wygodne, ponieważ nigdy nie znamy rzeczywistej wartości mierzonej wielkości. Obecnie przy opracowywaniu wyników pomiarów należy stosować się do zaleceń Międzynarodowej Normy Oceny Niepewności Pomiaru uzgodnionej w 1995 r. i przyjętej ustawowo w Polsce w 1999 r. 11

Wybór najważniejszych elementów Międzynarodowej Normy Oceny Niepewności Pomiarowej Wielkość Symbol i sposób obliczania Niepewność standardowa: ocena typu A (pomiary bezpośrednie) Podstawa: statystyczna analiza serii pomiarów. Dla serii n równoważnych pomiarów: Niepewność standardowa: ocena typu B (pomiary bezpośrednie) Podstawa: naukowy osąd eksperymentatora Niepewność złożona (pomiary pośrednie) Dla wielkości , gdzie (gdy znana jest niepewność maksymalna DX) (gdy wszystkie wielkości Xi są nieskorelowane) Niepewność rozszerzona lub gdzie współczynnik rozszerzenia 12

Zlecany zapis wyników pomiaru Niepewność standardowa: g = 9. 781 m/s 2, uc(g) = 0. 076 m/s 2 g = 9. 781 (0. 076) m/s 2 g = 9. 781 (76) m/s 2 Niepewność rozszerzona: g = 9. 78 m/s 2, Uc(g) = 0. 15 m/s 2 g = (9. 78 ± 0. 15) m/s 2 Obowiązuje zasada podawania dwu cyfr znaczących w niepewności. 13

Przykłady niepoprawnie zapisanych wyników pomiaru m =100, 0214 g m = 100, 021(0, 0035) g m = 100, 021 g, u(m) = 3 mg m = 100, 02147(0, 00352) g 14

Przykład 1 Zmierzono suwmiarką (Dd = 0. 1 mm) średnicę pręta. Pomiar powtórzono 3 razy uzyskując wyniki: d 1 = 10. 1 mm, d 2 = 10. 2 mm, d 3 = 9. 9 mm d 1 d 2 d 3 średnia u. A(d) u. B(d) u(d) U(d) 10. 1 10. 2 9. 9 10. 0667 0. 08819 0. 05774 0. 10541 0. 21 Wynik pomiaru (bezpośredniego): d = 10. 07 (0. 11) mm 15

Przykład 2 Wyznaczono masę i średnicę metalowej tarczy otrzymując następujące wyniki: m = 80. 55 g (Dm = 0. 1 g) i d = 90. 1 mm (Dd = 0. 1 mm). Oblicz moment bezwładności tarczy i jego niepewność. m u. B(m) g kg 80. 55 0. 08055 0. 057735 5. 7735 E-05 mm m 90. 1 0. 0901 0. 057735 5. 7735 E-05 45. 05 0. 04505 0. 028868 2. 8868 E-05 d u. B(d) R u. B(R) u. B(m)/m u. B(R)/R 0. 00071676 0. 00064079 I uc(I) kg m 2 9. 1429 E-05 1. 0564 E-07 Wynik pomiaru (pośredniego): I = 9. 143(11)∙ 10 -5 kg∙m 2 16

Zasady sporządzania wykresów (I) Wykres wykonuje się ręcznie na papierze milimetrowym, lub przy pomocy odpowiedniego programu graficznego. Na każdej z osi wybieramy taki zakres wartości mierzonej wielkości, w którym zostały wykonane pomiary. Nie musimy umieszczać na osiach punktów zerowych. Skalę na każdej z osi wybiera się niezależnie a więc nie muszą być jednakowe. Dążymy do tego, aby wszystkie uzyskane przez nas punkty pomiarowe zostały umieszczone na rysunku i były rozmieszczone na całej powierzchni rysunku. Skalę na osiach układu nanosimy w postaci równo oddalonych liczb. Osie wykresu muszą być opisane (wielkość fizyczna i jednostka). Rysunek powinien być podpisany. 17

Zasady sporządzania wykresów (II) Punkty na wykresie muszą być wyraźnie widoczne (nie kropki !) Gdy na jednym wykresie musi być kilka krzywych, punkty na każdej z nich zaznacza się innym symbolem lub kolorem. Punkty pomiarowe lub krzywe powinny być podpisane (legenda). Na wykres należy nanieść niepewności pomiarowe w postaci prostokątów lub odcinków. Jeśli punkty układają się na linii prostej należy obliczyć jej parametry metodą regresji liniowej, a następnie ją narysować. Jeśli punkty nie układają się na linii prostej wykreślamy ciągłą krzywą, bez nagłych załamań (nie musi ona przebiegać dokładnie przez wszystkie punkty pomiarowe, bo są one obarczone niepewnościami). Nie należy łączyć punktów pomiarowych linią łamaną! 18

Regresja liniowa Poszukujemy prostej o równaniu: y = a∙x + b najlepiej pasującej do punktów pomiarowych: (xi , yi) i = 1 … n Dopasowanie metodą najmniejszych kwadratów oznacza, że Wtedy wartosci parametrów a i b wynoszą: 19

opór elektryczny Przykłady wykresów Dobrze Źle 20