MODELISATION DU TRANSPORT DE PARTICULES DANS UN ECOULEMENT

MODELISATION DU TRANSPORT DE PARTICULES DANS UN ECOULEMENT GAZEUX TURBULENT P. Villedieu (ONERA & INSA Toulouse)

CONTEXTE (1/5) On rencontre des écoulements gaz - particules (solides ou liquides) dans de nombreux processus d'origine naturelle ou humaine. On peut citer par exemple : • les moteurs d'automobile ou d'avion, • les moteurs fusée à propergol solide ou cryogéniques, • les lits fluidisés circulants, • les échangeurs thermiques à air, • les filtres à particules, • les aérosols, • certains phénomènes météorologiques: brouillards, nuages, etc. • les nuées ardentes, • la dispersion atmosphérique de polluants. • etc. …. 2

CONTEXTE (2/5) EXEMPLE : SYSTEMES PROPULSIFS DES AVIONS ET DES FUSEES Possibilité d'ingestion de gouttelettes d'eau, de particules de glace, de sable, etc. … Injection de gouttelettes de kérosène dans la chambre de combustion Cryogenic rocket engine Turbojet engine Injection de gouttelettes d'oxygène liquide dans un jet d'hydrogène gazeux très chaud. Solid propellant rocket engine Présence de gouttelettes d'aluminium et d'alumine dans les gaz issus de la combustion du propergol. 3 Solid propellant Alumina particle

CONTEXTE (3/5) Quelques ordres de grandeur (contexte aérospatial) densité des particules rp >> densité du gaz rg : concentration volumique : (spray dilué) 10 -6 < ap < 10 -2 (spray dense) concentration massique : diamètre des particules : entre 0. 1 mm to 200 mm dans le domaine aérospatial : Dm = 10 mm nombre de particules par unité de volume : dans le domaine aérospatial, np est typiquement de l'ordre de 103 à 109 cm-3 Impossible de "suivre" chaque particule individuellement ! Recherche de modèles portant uniquement sur les propriétés moyennes de la distribution de gouttelettes. 4

CONTEXTE (4/5) Équation du mouvement d'une particule dans un écoulement gazeux Il s'agit ici du modèle le plus simple (modèle de Stokes, absence de forces extérieures). tp est une constante fonction du rayon et de la densité de la particule : (temps de relaxation dynamique de la particule) Dans la plupart des cas, l'écoulement gazeux est turbulent si bien que l'accélération d'une particule est la somme • d'une contribution déterministe, associée à la valeur moyenne, , du champ de vitesse de la phase gazeuse ; • d'une contribution aléatoire, associée à la composante dite "fluctuante", u'g(t, x, w), du champ de vitesse de la phase gazeuse. 5

CONTEXTE (5/5) Concrètement cela signifie que Zp(t)= (xp(t), vp(t)) est un processus aléatoire que l'on peut notamment cher à caractériser, selon le degré de précision souhaité, par : • sa densité de probabilité : fp(t, x, v) => Équation aux dérivées partielles de type Fokker-Planck. Problème : détermination des coefficients de cette équation en fonction des "caractéristiques" de la turbulence gazeuse ? • ses premiers moments : np(t, x), Up(t, x) (np = loi marginale de xp) ( Up(t, x) = E(vp(t) | xp(t) = x) ) Problème : Existe t'il une relation entre Up – Ug et ∂xinp (loi de diffusion des particules) ? De quels paramètres dépend cette relation lorsqu'elle existe ? 6

PLAN DE L'EXPOSE 1. Transport de particules dans une turbulence homogène isotrope stationnaire en l'absence de forces extérieures. ( A hierarchy of models for turbulent dispersed two-phase flows derived from a kinetic equation for the joint particle-gas equation, K. Domelevo & P. Villedieu, Commun. Math. Sc. , 5(2), pp. 331 -353, 2007) 2. Influence d'un champ de forces extérieures uniforme: effet de "croisement de trajectoires". 3. Autres "jolis" problèmes: phénomènes de turbophorèse et de concentration préférentielle. 7

1. Transport de particules dans une THI stationnaire Hypothèses de modélisation : • le champ de vitesse moyenne de la phase gazeuse est uniforme et indépendant du temps => on peut donc supposer : Ug(t, x) = 0 (quitte à changer de référentiel). • le champ de vitesse "fluctuante", u'g(t, x), est statistiquement homogène, isotrope et stationnaire. • l'influence des particules sur la phase gazeuse est négligeable (hypothèse de "spray dilué"). • la seule force agissant sur les particules est la force de traînée exercée par le gaz, donnée par la loi de Stokes. 8

1. Transport de particules dans une THI stationnaire Hypothèses sur les propriétés statistiques du champ turbulent u'g: • corrélations spatiales. avec f et g sont les fonctions d'auto-corrélation spatiales, longitudinale et transversale. • corrélation temporelles. - point de vue eulérien : - point de vue lagrangien : Sachant que (résultat expérimental) , on supposera que le long de la trajectoire d'une particule inertielle, on a également : avec 9 tg = t. L

1. Transport de particules dans une THI stationnaire Importance du tenseur d'auto-corrélation lagrangien pour la diffusion d'un traceur passif (d'après l'analyse de Taylor, Proc. Of London Math. Soc. , 1921) Coefficient de diffusion (pour t grand) 10

1. Transport de particules dans une THI stationnaire Equations du mouvement d'une particule. On pose : up(t) = u'g(t, xp 0)) Processus Zp = (xp, vp, up) Par construction, le processus up(t) ainsi défini vérifie : Références: Shuen, Chen et Faeth (1983), Sawford (1984), Pope (1985), Simonin, Deutsch et Minier (1993), Minier-Peirano (2001), etc. 11

1. Transport de particules dans une THI stationnaire Equation vérifiée par la densité de probabilité jointe fpg(t, x, v, u) : Forme adimensionnée de l'équation. On pose : t = T t' ; x = L x' ; v = L / T v'; u = L/T u' ; sg = L/T sg' ; Kp = tp / T ; Kg = tg/ T ; S = tp/tg (Stokes number) 12

1. Transport de particules dans une THI stationnaire On peut envisager trois limites : • Kp fixé ; Kg 0 c'est-à-dire S = Kp/Kg ∞ : cas des très grosses particules • Kg fixé ; Kp 0 c'est-à-dire S = Kp/Kg 0 : cas des très petites particules • S fixé ; Kp 0 et Kg 0 : particules quelconques, temps d'observation grand. Analyse asymptotique basée sur des développements (formels) de type Chapman – Enskog en fonction de 1/S, S ou de K = max(Kp, Kg) 13

1. Transport de particules dans une THI stationnaire 1ère limite : Kp fixé (T ≈ tp ) ; Kg 0 (càd S ∞) On a (formellement) : où et où fp est solution de l'équation réduite (de type Fokker – Planck) : avec : 14

1. Transport de particules dans une THI stationnaire Démonstration formelle (1/2) On part de l'équation de la densité de probabilité sous forme adimensionnelle : (1) avec On déduit de l'équation (1) que A(fpg) = O(1/S). Il est donc naturel de poser : (2) avec par définition : En résolvant (3 a)-(3 b) on obtient: 15

1. Transport de particules dans une THI stationnaire Démonstration formelle (2/2) En injectant (2) dans (1) et en intégrant pas rapport à u on obtient : (4) En n'intégrant pas par rapport à u, on trouve : (5) Ce qui en se servant de (4) donne finalement : Il en résulte : avec fp solution de On conclut ensuite facilement. 16

1. Transport de particules dans une THI stationnaire 2ème limite : Kg fixé (T ≈ tg) ; Kp 0 (càd S 0) On a (formellement) : où fp est solution de l'équation : avec : Idée : on pose w = (v-u)/S 1/2, et on écrit l'équation vérifiée par hpg(t, x, w, u) = Sd/2 fpg(t, x, u+S 1/2 w, u) fpg(t, x, v, u) = S-d/2 hpg(t, x, (v-u)/S 1/2, u) Þ Élimination de la singularité. Þ Puis développement asymptotique à l'ordre 0 uniquement en fonction de S. 17

1. Transport de particules dans une THI stationnaire 3ème limite : S fixé, K = max(Kp, Kg) 0 ( T >> max(tg, tp) ) On a (formellement) : où avec et où np est solution de l'équation de diffusion: avec Preuve : cas similaire à celui de la limite 1 avec opérateur A(f) plus complexe faisant intervenir les deux variables v et u. Unicité de la distribution d'équilibre plus complexe à prouver. Remarques : • D est indépendant de tp ! • A l'équilibre, on a : 18

1. Transport de particules dans une THI stationnaire Autres travaux sur le même sujet. • Littérature mathématique • Clouet – Domelevo, M 3 AS, 7(2), 1997 • Goudon – Poupaud, M 2 AN, 38(4), 2004 • etc. • Littérature physique • Tchen, Ph. D Thesis, Delft, 1947 • Hinze, Turbulence, Mc Graw-Hill Book Co, 1975 • Reeks, Phys. of Fluids, 3(3), 1991 • Zaichik, Fluid Dynamics, 32(2), 1996 • etc. 19

PLAN DE L'EXPOSE 1. Transport de particules dans une turbulence homogène isotrope stationnaire (THIS) en l'absence de forces extérieures. 2. Influence d'un champ de forces extérieures uniforme: effet de "croisement de trajectoires". 3. Autres "jolis" problèmes: phénomènes de turbophorèse et de concentration préférentielle. 20

2. Influence d'un champ de forces uniforme • Vitesse relative moyenne d'une particule dans un champ de forces uniforme Force par unité de masse • Influence de la "vitesse de dérive" sur le temps d'auto-corrélation lagrangien Si |vd| ∞, la particule "voit" un champ turbulent figé le temps d'autocorrélation t*g de la turbulence le long de sa trajectoire n'est fonction que de |vd| et de l'échelle d'auto-corrélation spatiale de la turbulence L. Typiquement : Si 21 |vd| ∞,

2. Influence d'un champ de forces uniforme Modèle phénoménologique de Csanady (1/2) Dans une THIS, on a : Supposons : r =(r, 0, 0). On obtient alors : Corrélations longitudinales Corrélations transversales f(r) r Echelle de longueur intégrale longitudinale 22 g(r) r Echelle de longueur intégrale transversale

2. Influence d'un champ de forces uniforme Modèle phénoménologique de Csanady (2/2) avec où Par construction le modèle est consistant pour vd 0 et vd ∞. 23

2. Influence d'un champ de forces uniforme Équations du mouvement d'une particule dans une THIS en présence d'un champ de forces uniforme. On pose : up(t) = u'g(t, xp 0)) Sans dimension, mais fonction de l'inertie de la particule avec Par construction, le processus up(t) ainsi défini vérifie : 24

2. Influence d'un champ de forces uniforme Équation vérifiée par la densité de probabilité jointe fpg(t, x, v, u) : Forme adimensionnée de l'équation. On pose comme précédemment : t = T t' ; x = L x' ; v = L / T v'; u = L/T u' ; vd = L/T vd' ; sg = L/T sg' ; Kp = tp / T ; Kg = tg/ T ; S = tp/tg (Stokes number) On peut appliquer la même technique précédemment. 25

1. Transport de particules dans une THI stationnaire Cas de la limite : S fixé, K = max(Kp, Kg) 0 ( T >> max(tg, tp) ) On a (formellement) : où avec et où np est solution de l'équation de dérive - diffusion: avec Remarques : • D est un tenseur symétrique dont les coefficients dépendent de l'inertie des particules (par l'intermédiaire de vd=gtp) et dont les directions propres sont liées à la direction de g. • A l'équilibre, on a : 26

PLAN DE L'EXPOSE 1. Transport de particules dans une turbulence homogène isotrope stationnaire (THIS) en l'absence de forces extérieures. 2. Influence d'un champ de forces extérieures uniforme: effet de "croisement de trajectoires". 3. Autres "jolis" problèmes: phénomènes de turbophorèse et de concentration préférentielle. 27

3. Concentration préférentielle On considère une nouvelle fois le cas d'une turbulence homogène isotrope stationnaire (avec ou sans champ de forces extérieures) mais on d'intéresse cette fois au comportement collectif des particules. On observe que : • les particules tendent à se concentrer en périphérie des structures tourbillonnaires par effet de centrifugation ; • l'intensité du phénomène dépend fortement de l'inertie des particules ; on ne l'observe pas pour les particules d'inertie très faible (traceurs passifs, tp << t. K) et le phénomène est beaucoup moins marqué pour les particules d'inertie très élevée (tp >> t. L). Exemples de résultats de simulation numérique directe 28

3. Concentration préférentielle Le modèle phénoménologique de Bec et Chétrite (2007) Equations du mouvement d'une particule dans un tourbillon linéaire 2 D. En calculant la solution analytique de ce système, on montre facilement que, si a l'instant initial les particules sont équidistribuées dans le tourbillon (de taille L), la masse m(T) des particules encore situées dans le tourbillon à l'instant T (temps de "vie" du tourbillon) vérifie : avec : S = wtp (nombre de Stokes) et Ku = w. T (nombre de Kubo) 29

3. Concentration préférentielle Le modèle phénoménologique de Bec et Chétrite (2007) 30

3. Concentration préférentielle Quelques travaux récents en rapport avec le problème. • Etude expérimentale : Eaton et Fessler, 1994 • Simulation numérique directe : Squire et Eaton, Reade et Collins, Simonin et Fede, Bec at al, etc. => limitation forte par rapport au nombre de Reynolds mais possibilité d'étudier finement l'influence de l'inertie des particules. • Travaux théorique de Bec et al, 2006 : analyse asymptotique dans le cas de particules très inertielles : turbulence processus d-corrélé temporellement ; approche basée sur l'étude du système différentiel stochastique vérifié par la position et la vitesse relatives de deux particules. • Travaux théoriques de L. Zaichik et V. Alipchenkov (2003) : dérivation d'une équation d'évolution pour la distribution de paires de particules dans une THI. Nombreuses questions encore ouvertes ; en particulier une théorie quantitative de l'influence du nombre de Stokes et de la forme du spectre de la turbulence. 31

3. Turbophorèse On considère pour finir le cas d'un écoulement inhomogène, dans lequel l'intensité de la turbulence varie fortement sur une distance comparable à l'échelle de longueur intégrale locale (Lf). C'est le cas par exemple dans une couche limite turbulente au voisinage d'une paroi. On observe alors que: • les particules ont tendance à migrer dans la direction opposée au gradient d'énergie cinétique turbulente et à s'accumuler près de la paroi; • l'intensité du phénomène dépend fortement (et de manière complexe) de l'inertie des particules. Vitesse moyenne de dérive des particules 32

3. Turbophorèse Résultats expérimentaux Vitesse de frottement Définition de t+ et Vd+ : 33

3. Turbophorèse Travaux récents en rapport avec le problème de turbophorèse • Extension de l'équation de Langevin au cas des écoulements inhomogènes. Première difficulté : il faut au moins que l'équation soit correcte dans le cas limite d'un traceur passif ! (voir notamment Mac. Innes & Bracco, Phys. of Fluids, 1992 et l'ensemble des Travaux de Pope sur la modélisation lagrangienne de la turbulence). • Nombreux modèles phénoménologiques pour la vitesse moyenne de diffusion par turbophorèse, permettant de rendre compte au moins qualitativement des observations expérimentales, mais ne reposant pas sur une justification rigoureuse, ni même sur une dérivation formelle à partir d'équations plus fondamentales. 34

Merci de votre attention ……. 35