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Université d’Angers - LPA CH II Cinématique Il s’agit de l’étude des fluides en

Université d’Angers - LPA CH II Cinématique Il s’agit de l’étude des fluides en mouvement : on s’attachera à faire une description des écoulements sans avoir recours au calcul des forces mises en jeu. 1 - Définitions a) La particule fluide est choisie comme entité élémentaire permettant une description complète des écoulements : Il s’agit d’un « paquet » de molécules entourant un point M donné ; celles-ci sont alors supposées avoir toutes la même vitesse au même instant.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique b) Descriptions d’Euler et de Lagrange

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique b) Descriptions d’Euler et de Lagrange Description d’Euler : Cette description de l’écoulement consiste à établir à un instantt donné l’ensemble des vitesses associées à chaque point de l’espace occupé par le fluide. z La vitesse associée au point M évolue au cours du temps. M 1 A chaque instant t, l’écoulement du fluide est décrit au moyen d’un champ de vecteurs vitesse. M 2 y x « photo instantanée de l’écoulement »

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Dans cette description d’Euler, on appelle

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Dans cette description d’Euler, on appelle « ligne de courant » la courbe qui, en chacun de ses points, est tangente aux vecteurs vitesse. M 2 M 3 ligne de courant à t=t 0 M 1 Remarque : M 2 M 1 M 3 Les lignes de courant évoluent dans le temps, au même titre que le champ de vecteurs vitesse ligne de courant à t=t 1

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Description de Lagrange : Cette description de l’écoulement consiste à suivre une particule donnée au cours de son mouvement au sein du fluide. Ici, c’est l’évolution de la position des particules qui permet la description de l’écoulement. Ainsi, le lieu géométrique des positions successives occupées par une particule constitue ce qu’on appelle la « trajectoire » de cette particule. trajectoire de la particule P P(t 2) P(t 1) P(t 3) P(t 0) « photo avec temps de pause infini »

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Attention : il ne faut pas confondre ligne de courant et trajectoire. Ce sont deux notions bien différentes. trajectoire ligne de courant à t=t 0 P(t 0) M 1 P(t 1) M 2 Remarque : Si l’écoulement est stationnaire, le champ de vecteurs vitesse est constant dans le temps : il y a coïncidence entre lignes de courant et trajectoires.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique c) Ligne d’émission Toutes les particules

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique c) Ligne d’émission Toutes les particules qui sont passées par un même point E sont situées, à l’instant t, sur une courbe appelée « ligne d’émission » relative au point E. …en E à l’instant t 3 …en E à l’instant t 4 …en E à l’instant t 2 trajectoire de la particule émise en E à l’instant t 1 trajectoire de la particule émise en E à l’instant t 0 E t 0 t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 ligne d’émission de E à l’instant t 4 E à l’instant t 3 2 Pratiquement, une ligne d’émission peut se visualiser en fixant une source colorante au point E : les courbes colorées correspondent alors aux lignes d’émission

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique d) Ecoulement permanent Un écoulement est

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique d) Ecoulement permanent Un écoulement est dit permanent (ou stationnaire) lorsque le champ de vecteurs vitesse est statique : il ne varie pas dans le temps. Dans ce cas : • les lignes de courant sont fixes dans l’espace ; • les trajectoires coïncident avec les lignes de courant ; • les lignes d’émission coïncident également avec les lignes de courant trajectoires lignes d’émission plus rien ne dépend explicitement du temps.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique 2 - Equation de Continuité a)

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique 2 - Equation de Continuité a) Cas général L’équation de continuité doit traduire le principe de conservation de la masse. La variation de masse pendant un temps dt d’un élément de volume fluide doit être égale à la somme des masses de fluide entrant diminuée de celle de fluide sortant. On considère alors un élément de volume fluide : Sa masse peut s’exprimer comme : Pendant le temps dt, la variation de cette masse s’écrit :

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Cette variation doit alors être égale à : (i) la somme des masses de fluide qui entre et sort par les 6 faces de l’élément de volume d. V. (ii) la somme des masses de fluide spontanément détruites (puits) ou créées (sources) à l’intérieur de d. V.

Université d’Angers - LPA z CH II - Cinématique (i) la somme des masses

Université d’Angers - LPA z CH II - Cinématique (i) la somme des masses de fluide qui entre et sort par les 6 faces de l’élément de volume d. V. Suivant l’axe y, le fluide entre avec la vitesse vy et sort avec la vitesse vy+dy. y Par conséquent, la masse entrant pendant le temps dt s’exprime : x On a, par ailleurs, pour la masse sortant : Le bilan sur l’axe y donne alors : Un développement au 1 er ordre permet d’écrire : Il reste alors : suivant l’axe y.

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Université d’Angers - LPA z CH II - Cinématique (i) la somme des masses de fluide qui entre et sort par les 6 faces de l’élément de volume d. V. suivant l’axe y. d. V y Et par analogie sur les 2 autres axes, on trouve : x suivant l’axe x, d. V suivant l’axe z. et d. V Au total, à travers les 6 faces on a : Donc : (ii)

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique (ii) la somme des masses de fluide spontanément détruites (puits) ou créées (sources) à l’intérieur de d. V. Si on appelle qv le débit volumique de fluide créé (qv>0 : source) ou détruit (qv<0 : puits) par unité de volume, alors : correspond à la masse de fluide créée ou détruite pendant le temps dt dans le volume d. V. En généralisant, comme il peut y avoir plusieurs sources ou puits dans un même volume d. V, on écrit plutôt : (ii) Bilan global : d. V

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique d. V C’est l’équation de continuité (équation locale qui traduit le principe de conservation de la masse)

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique b) Cas particuliers Ecoulement permanent (ou

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique b) Cas particuliers Ecoulement permanent (ou stationnaire) : Dans ce cas, il n’y a pas de variation explicite avec le temps : d’où Ecoulement d’un fluide incompressible : d’où Ecoulement conservatif : Il n’y a ni puits ni source Et s’il s’agit en outre d’un fluide incompressible :

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique c) Débits A travers la surface

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique c) Débits A travers la surface S, le débit massique de fluide est donné par : d. S S S 1 A travers la surface S, le débit volumique de fluide est donné par : S 2 S’ Toutes lignes de courant s’appuyant sur une même courbe fermée constituent une surface (S’) appelée « tube de courant » . Si l’écoulement est permanent (le tube n’évolue pas dans le temps), alors le débit massique est conservé : qm(S 1) = qm(S 2) Si le fluide est incompressible, alors le débit volumique est conservé.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique 3 - Analyse du mouvement d’un

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique 3 - Analyse du mouvement d’un élément de volume fluide - Déformations Au sein de l’écoulement, chaque particule fluide subit des changements de position, d’orientation et de forme. Afin d’analyser ces changements, considérons 2 points appartenant à la même particule fluide : M(x, y, z) et M’(x+dx, y+dy, z+dz) Soient et la vitesse au point M, la vitesse au point M’. Exprimons en fonction de et de : accroissement de vitesse

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique M’ M Effectuons un développement au

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique M’ M Effectuons un développement au 1 er ordre des 3 composantes de la vitesse :

Université d’Angers - LPA Donc : CH II - Cinématique Tenseur des taux de

Université d’Angers - LPA Donc : CH II - Cinématique Tenseur des taux de déformation (rang 2)

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Intéressons-nous à la signification de ces

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Intéressons-nous à la signification de ces éléments tensoriels : a) Termes diagonaux En posant nuls tous les termes hors-diagonale, il reste : Pour comprendre physiquement à quoi correspondent ces termes diagonaux, analysons une particule dans un écoulement plan .

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique y C C’ D’ D Positions à l’instant t : dy A’ A Vitesses à l’instant t : B’ dx B x Positions à l’instant t+dt :

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique y C C’ D’ D dy A’ A Positions à l’instant t+dt : B’ dx B x On a donc une translation globale de udt suivant x et de vdt suivant y. Mais la particule est également déformée puisqu’il y a élongation (ou contraction) de suivant x et de suivant y

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique y C C’ D’ D dy A’ A B’ dx B x Calcul de l’accroissement relatif de longueur : Suivant y, le taux d’élongation sera alors de les termes diagonaux sont les taux d’élongation suivant x

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique y C C’ D’ D dy A’ A B’ dx B x Calcul de la variation relative de surface :

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique y C C’ D’ D dy A’ A B’ dx B x En généralisant à 3 dimensions, la variation relative de volume d’une particule fluide s’exprime : La trace de correspond au taux d’expansion du volume. Remarque : Si le fluide est incompressible et que l’écoulement est conservatif , alors : dans ce cas, il n’y a pas de variation de volume.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique b) Termes hors-diagonale En posant nuls

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique b) Termes hors-diagonale En posant nuls tous les termes diagonaux, il reste : Pour interpréter ces termes, reconsidérons un écoulement dans le plan . On remarque dans ce cas, la composante u suivant x de la vitesse varie avec y, et que la composante v suivant y de la vitesse varie avec x.

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique D’ y C’ Positions à l’instant t : D C dy B’ A’ A Vitesses à l’instant t : dx B x Positions à l’instant t+dt :

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique D’ y C’ D C dy B’ A’ A Positions à l’instant t+dt : dx B x On a donc toujours une translation globale de udt suivant x et de vdt suivant y. Mais on a en plus une déformation angulaire de la particule.

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique D’ y C’ D C dy B’ A’ A dx x B Déformation angulaire : Et de même : Donc : et

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique On peut alors distinguer 2 cas : (i) le tenseur est symétrique, (ii) le tenseur est antisymétrique. (i) le tenseur est symétrique : y C’ D C dy soit B’ A’ A Il s’agit d’une déformation angulaire pure D’ dx B x

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique (ii) le tenseur est antisymétrique : D’ y Il s’agit d’une rotation pure C’ D C B’ pas de déformation dy A’ A dx B x On peut alors définir une vitesse angulaire de rotation : Il s’agit bien d’une rotation autour de l’axe z En généralisant, on définit : c’est le vecteur vitesse angulaire de rotation ou vecteur tourbillon

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Bilan : termes diagonaux élongation (ou

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Bilan : termes diagonaux élongation (ou contraction) pure. termes hors-diagonale déformation angulaire pure ou rotation pure. symétrique antisymétrique Or, quelque soit le tenseur, il est toujours possible de le décomposer en deux, pour en faire la somme d’un tenseur symétrique et d’un tenseur antisymétrique : De telle sorte que :

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique symétrique antisymétrique : tenseur des taux

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique symétrique antisymétrique : tenseur des taux de déformations pures (élongation + déformation angulaire) : tenseur des taux de rotations pures

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique On peut en effet remarquer que : où Par conséquent : Finalement : déformations pures rotations pures

Université d’Angers - LPA 4 - Fonction de courant a) Définition Si l’écoulement d’un

Université d’Angers - LPA 4 - Fonction de courant a) Définition Si l’écoulement d’un fluide incompressible est conservatif, alors l’équation de continuité s’écrit : Or, d’un point de vue mathématique, la relation est toujours vraie. On est alors en droit de définir un vecteur tel que : où correspond donc à un potentiel vecteur. Il s’en suit : CH II - Cinématique

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Si l’on considère un écoulement dans

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Si l’on considère un écoulement dans le plan à Oz, et donc invariant par translation suivant z, alors : et D’où : et Donc, dans le plan , la vitesse est en tout point définie au moyen de la seule grandeur scalaire . On peut alors poser : Et : fonction de courant constitue ce qu’on appellera le champ de vitesses.

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Remarque : En coordonnées cylindriques, si et , alors on a : où b) Propriétés de la fonction de courant Comme on a déjà posé que (fluide incompressible +écoulement conservatif) alors et comme et , alors : est une différentielle totale exacte

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Puisque est une différentielle totale exacte,

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Puisque est une différentielle totale exacte, cela signifie que : possède une seule et unique primitive. quel que soit le chemin suivi pour aller de A à B. Dans le plan (x, y), à quoi correspond l’ensemble des points pour lesquels la valeur de est constante ? courbe le long de laquelle Sur cette courbe, on doit alors vérifier que : Soit :

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique tq pente du vecteur en M(x,

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique tq pente du vecteur en M(x, y) pente de la courbe y(x) en M(x, y) y Il s’agit de la définition de la ligne de courant. M(x, y) est donc une ligne de courant. x Remarque : A chaque ligne de courant est associée une constante différente.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Analogie avec les lignes de niveau

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Analogie avec les lignes de niveau en cartographie : altitude ligne de courant IGN ligne de niveau La différence d’altitude (dénivellation) entre 2 points ne dépend pas du chemin suivi entre ces 2 points.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique c) Débits et lignes de courant

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique c) Débits et lignes de courant y Calculons le débit volumique entre 2 lignes de courant infiniment voisines : Soit le débit volumique élémentaire entre les points M et M’ : M’ dy M dx x Donc Par conséquent, entre 2 lignes de courant quelconques, de constantes et , le débit volumique est donné par :

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique y B A x

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique 5 - Ecoulements irrotationnels Potentiel des

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique 5 - Ecoulements irrotationnels Potentiel des vitesses a) Définition On dit que l’écoulement est irrotationnel lorsque les particules fluides ne subissent pas de rotations pures : Autrement dit, le vecteur tourbillon est nul dans un écoulement irrotationnel. Or, d’un point de vue mathématique, la relation est toujours vraie. On est alors en droit de définir un scalaire tel que : où correspond donc à un potentiel scalaire le potentiel des vitesses.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Il est alors possible d’exprimer les

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Il est alors possible d’exprimer les composantes du vecteur vitesse à partir du potentiel des vitesses : Si on suppose qu’en outre le fluide est incompressible, on doit vérifier : Ce qui conduit à la relation : Équation de Laplace Il faut en conclure que le potentiel des vitesses doit vérifier l'équation de Laplace.

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Remarque : Si l’écoulement est irrotationnel, la fonction de courant doit également vérifier l’équation de Laplace : et b) Propriétés du potentiel des vitesses Lorsqu’un écoulement est plan, l’équation définit, dans le plan de l’écoulement, une courbe appelée « équipotentielle » . Le long de cette courbe, puisque , on doit vérifier :

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Or, la différentielle peut s’écrire :

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Or, la différentielle peut s’écrire : Et comme le long d’une équipotentielle , alors : relation à vérifier en tout point de l’équipotentielle En tout point M(x, y) du plan de l’écoulement, la ligne de courant et l’équipotentielle sont orthogonales. y M(x, y) x

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Calcul de la longueur d’un élément

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Calcul de la longueur d’un élément d’arc le long d’une ligne de courant : y Or, le long de la ligne de courant : x Donc :

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Alors : Soit : La distance

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Alors : Soit : La distance entre deux équipotentielles est inversement proportionnelle à la vitesse de l’écoulement. Si on choisit de représenter les équipotentielles avec un écart , alors la distance entre les équipotentielles sera d’autant plus faible que la vitesse de l’écoulement est grande (et inversement).

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique 6 - Exemples d’écoulements plans Pour

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique 6 - Exemples d’écoulements plans Pour qu’une fonction complexe f(z) soit analytique, il faut que sa dérivée soit partout définie. Autrement dit, il faut que : tende vers une même valeur quelle que soit la façon dont z tend vers 0. Si on pose : et , on peut faire tendre z tend vers 0 des deux façons suivantes : Par conséquent :

Université d’Angers - LPA On a donc : CH II - Cinématique , d’où

Université d’Angers - LPA On a donc : CH II - Cinématique , d’où : relations de Cauchy Finalement, pour que soit une fonction analytique, il faut que et vérifient ces relations de Cauchy. Pour un écoulement plan, qui peut être décrit au moyen d’une fonction de courant et d’un potentiel des vitesses , on vérifie bien ces relations de Cauchy : Par conséquent, l’écoulement peut aussi être décrit au moyen de la fonction analytique complexe : où Cette fonction est appelée « potentiel complexe des vitesses » .

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique a) Ecoulement uniforme Considérons l’écoulement plan

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique a) Ecoulement uniforme Considérons l’écoulement plan modélisé par le potentiel complexe des vitesses : On a alors : Par identification, on obtient : Les lignes de courant sont telles que : ce sont des droites horizontales. Les équipotentielles sont telles que : ce sont des droites verticales. Détermination du champ de vitesses : La vitesse est uniforme :

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique lignes de courant : (droites horizontales) équipotentielles : (droites verticales) champ de vitesses : y x écoulement uniforme

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique b) Ecoulement plan autour d’une source

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique b) Ecoulement plan autour d’une source ou d’un puits Considérons l’écoulement plan modélisé par le potentiel complexe des vitesses : où et C une constante réelle. On peut alors en déduire la fonction de courant et le potentiel des vitesses : Les lignes de courant sont telles que : ce sont des droites passant par l’origine. Les équipotentielles sont telles que : ce sont des cercles concentriques centrés sur l’origine.

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Détermination du champ de vitesses : y x Soit : La vitesse est donc radiale et inversement proportionnelle à la distance à l’origine. Si C>0, alors l’écoulement est dirigé vers l’extérieur écoulement divergent source à l’origine. Si C<0, alors l’écoulement est dirigé vers l’origine écoulement convergent puits à l’origine.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Signification physique de la constante C

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Signification physique de la constante C : Calculons le débit volumique de cet écoulement radial (source ou puits) : où S est une surface fermée entourant l’origine. L’écoulement ayant lieu dans un plan à l’axe z, on peut considérer comme surface d’intégration un cylindre de hauteur z=1, et donc : Il reste alors à intégrer sur un cercle de rayon r quelconque, centré sur l’origine. où 1 et par conséquent : débit volumique par unité de hauteur qv>0 : débit de la source qv<0 : débit du puits

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique c) Vortex ou tourbillon libre Considérons

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique c) Vortex ou tourbillon libre Considérons l’écoulement plan modélisé par le potentiel complexe des vitesses : où et C une constante réelle. On peut alors en déduire la fonction de courant et le potentiel des vitesses : Les lignes de courant sont telles que : ce sont des cercles concentriques centrés sur l’origine. Les équipotentielles sont telles que : ce sont des droites passant par l’origine.

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Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Détermination du champ de vitesses : y x Soit : La vitesse est donc orthoradiale et inversement proportionnelle à la distance à l’origine. Si C>0, alors l’écoulement s’effectue autour de l’origine dans le sens trigonométrique. Si C<0, alors l’écoulement s’effectue autour de l’origine dans le sens horaire.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Signification physique de la constante C

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Signification physique de la constante C : Calculons la « circulation » de la vitesse autour de l’origine : où parcourt une ligne de courant quelconque, i. e. une cercle de rayon r. Avec : et Donc : et par conséquent : où est la circulation du vortex (tourbillon libre) Si >0, le vortex tourne dans le sens trigonométrique. Si <0, le vortex tourne dans le sens horaire.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique d) Coins et points d’arrêt On

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique d) Coins et points d’arrêt On appelle « point d’arrêt » un point où la vitesse est nulle. Considérons l’écoulement plan modélisé par le potentiel complexe des vitesses : où En coordonnées cylindriques : et donc : On a alors : Le champ de vitesses s’obtenant par : On trouve : On remarque vr = v = 0 pour r = 0 l’origine est point d’arrêt.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique La ligne de courant passant par

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique La ligne de courant passant par le point d’arrêt doit donc vérifier : où L’équation de cette ligne de courant s’écrit alors : point d’arrêt avec n si n=0 : si n=1 : si n=2 : …etc. demi-droite Ax demi-droite d’angle avec Ax demi-droite d’angle 2 avec Ax

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Les lignes de courant pouvant être

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Les lignes de courant pouvant être assimilées à des barrières infranchissables, celles passant par le point d’arrêt forment des « coins » : ce sont les coins d’arrêt. y 2 A x Analysons maintenant l’écoulement du fluide entre ces coins d’arrêt pour quelques valeurs particulières de m.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique où cas où m=1 et coin

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique où cas où m=1 et coin à angle droit y y x à l’intérieur de ce coin les lignes de courant sont des hyperboles x Les équipotentielles étant en tout point aux lignes de courant, ce sont également des hyperboles.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique cas où m>1 cas où 0<m<1

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique cas où m>1 cas où 0<m<1 y y x x cas où <m<0 cas où m= y y x x

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique e) Doublet et dipôle On a

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique e) Doublet et dipôle On a vu que pour qu’un écoulement puisse être décrit au moyen d’une fonction de courant et d’un potentiel des vitesses , il faut que ces deux fonctions vérifient l’équation de Laplace : et Considérons alors 2 écoulements tels que : (1) et (2) et Comme l’équation de Laplace est linéaire : Donc, si on pose : et , alors et Par conséquent, f(z) décrit l’écoulement résultant de la superposition des deux écoulements f 1 et f 2.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique On peut donc superposer plusieurs écoulements

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique On peut donc superposer plusieurs écoulements élémentaires pour créer des écoulements plus évolués, et ceci par simple addition des potentiels complexes correspondants. Association d’une source et d’un puits : Considérons une source de débit +q, située en x=a, à laquelle on superpose un puits de débit -q, situé en x=-a. Le potentiel complexe résultant s’écrit : Posons : source D’où : puits

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Et donc, les lignes de courant

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Et donc, les lignes de courant sont telles que : y P Ecoulement généré par un doublet S x Les lignes de courant sont des cercles passant tous par P et S. Les équipotentielles sont également des cercles.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Faisons tendre la distance entre le

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique Faisons tendre la distance entre le puits et la source vers 0. y -a P où Donc Posons 2 aq = p le moment dipolaire : +a S x

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique D’où équation d’une ligne de courant

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique D’où équation d’une ligne de courant équation d’un cercle de centre (0, K/2) et de rayon K/2 Les lignes de courant sont des cercles tous centrés sur l’axe y, et passant tous par l’origine.

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique y P Ecoulement généré par un

Université d’Angers - LPA CH II - Cinématique y P Ecoulement généré par un dipôle S x Remarque : Le vecteur moment dipolaire donne l’orientation globale de l’écoulement.