MEHANIKA II DINAMIKA Definicija i podjela dinamike Pri

MEHANIKA II DINAMIKA Definicija i podjela dinamike Pri svakoj promjeni položaja na tijelo djeluje neki vanjski uzrok koji se naziva sila. Grana tehničke mehanike koja analizira gibanje materijalnih tijela, gledajući pri tome na mase, na uzroke gibanja, a po potrebi i na odgovor konstrukcije. Prije rješavanja zadaće iz područja dinamike, nužno je riješiti geometriju gibanja, dakle zadaću iz područja kinematike, kako bi se u svakom trenutku mogao definirati položaj točke ili tijela pa tako i nekog konstrukcijskog sustava. Isto tako, nužno je i dobro poznavanje analize djelovanja sila iz statike. Glavne veličine u dinamici su sila, dužina, vrijeme i masa. Težina tijela je sila kojom Zemlja privlači tijelo mase m konstantnim gravitacijskim ubrzanjem g=9, 81 m/s 2. 1) dinamika materijalne točke i sustava materijalnih točaka, 2) dinamika krutog tijela, 3) centrični i ekscentrični sudar (sraz), 4) oscilacije (vibracije).

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE Newtonovi zakoni – osnovni zakoni dinamike A). Prvi Newtonov zakon ili zakon tromosti (inercije) glasi: Svako materijalno tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu, sve dok nije prisiljeno mijenjati to stanje uslijed djelovanja vanjskih sila: B). Drugi Newtonov zakon ili zakon gibanja glasi: Promjena količine gibanja materijalne točke po vremenu proporcionalna je djelovanju vanjskih sila, odnosno, ubrzanje (akceleracija) ili promjena brzine proporcionalna je sili koja djeluje na tijelo. Ubrzanje je u pravcu i smjeru djelovanja te sile: Newtonova jednadžba gibanja - osnovni zakon dinamike. C). Treći Newtonov zakon ili zakon akcije i reakcije glasi: Svaka sila akcije rezultira suprotno usmjerenu silu reakcije. Za međudjelovanje sila tijela A i tijela B može se zapisati: - ukupno djelovanje tijela A na tijelo B jednako je ukupnom djelovanju tijela B na tijelo A.

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE METODE RJEŠAVANJA ZADAĆA DINAMIKE TOČKE A) Jednadžba gibanja - B) Rad sile - C) Promjena količine gibanja i impuls - D) Potencijalna energija – rad kao razlika potencijala - E) Kinetička energija – rad kao razlika kinetičkih energija F) Zakon održanja mehaničke energije - opće načelo rada i energije.

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE JEDNADŽBA GIBANJA Rješavanje zadaće povezano je u zavisnosti sile i drugih parametara kao što su vrijeme, položaj i brzina te se razlikuju četiri osnovna tipa zavisnosti sile: F=const. – sila je konstantna, F=F(t) – sila je funkcija vremena, -F=F(x) – sila je funkcija položaja, -F=F(v) – sila je funkcija brzine. A) F=const. – sila je konstantna: B) F= F(t) – sila je funkcija vremena:

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE JEDNADŽBA GIBANJA C) F=F(x) – sila je funkcija položaja: D) F=F(v) – sila je funkcija brzine:

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE JEDNADŽBA GIBANJA Analizom Newtonove jednadžbe za materijalnu točku, gibanje se može podijeliti na: Slobodno gibanje materijalne točke: GIBANJE koje ovisi isključivo o aktivnim silama koje djeluju na tu točku. To znači da ona može zauzeti bilo koji položaj u prostoru, te prema Newtonovom zakonu za slobodnu točku vrijedi : Neslobodno gibanje materijalne točke : GIBANJE je unaprijed ograničeno vezama i osloncima. Djelovanje sila u vezama i osloncima definira se reaktivnim silama, a gibanje točke ovisi o aktivnim i reaktivnim silama, te prema Newtonovom zakonu za neslobodnu točku vrijedi:

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE RAD SILE Elementarni rad sile kao funkcije prijeđenog puta definira se kao skalarni umnožak sile i elementarnog pomaka: rad sile je isključivo u smjeru djelovanja sile! - Rad sile na nekom putu od položaja 1 do položaja 2 jednak je zbroju elementarnih radova na tom putu:

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE PROMJENA KOLIČINE GIBANJA I IMPULS Za neku materijalnu točku mase m koja se giba, umnožak mase i brzine naziva se količina gibanja: Ako je poznat zakon promjene sile po vremenu koja djeluje na materijalnu točku: ELEMENTARNI IMPULS UKUPNI IMPULS - prema Newtonovoj jednadžbi gibanja vrijedi: djelovanje impulsa rezultira promjenu količine gibanja, dakle i promjenu brzine : zakon impulsa i količine gibanja. Ako je ukupno djelovanje vanjskih sila po vremenu jednako nuli, količina gibanja je konstantna, dakle nema promjene količine gibanja niti promjene brzine: zakon održanja količine gibanja.

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE POTENCIJALNA ENERGIJA – RAD KAO RAZLIKA POTENCIJALA KONZERVATIVNA SILA - definicija Ako rad sile na nekom putu od položaja 1 do položaja 2 ne ovisi o prijeđenom putu, takva sila naziva se konzervativna sila! Da bi sila bila konzervativna, moraju biti ispunjena dva uvjeta, a to su: - sila ovisi o položaju u prostoru i djeluje kao polje sila : - za silu postoji skalarna funkcija U koja mora imati svojstvo gradijenta: parcijalna derivacija funkcije u nekom smjeru jednaka je komponenti sile u tom smjeru! rad konzervativne sile na putu od položaja 1 do položaja 2 glasi: Kako vrijedi da je: Odatle slijede uvjeti da je neko polje sila konzervativno polje, odnosno :

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE POTENCIJALNA ENERGIJA – RAD KAO RAZLIKA POTENCIJALA Primjeri konzervativnih sila su: svaka konstantna sila, sila u opruzi i sila težine ! Ako se uvede funkcija V tako da vrijedi da je V=-U, rad konzervativnih sila može se izraziti kao razlika potencijala položaja 1 i položaja 2, odnosno: Funkcija V ili Ep naziva se potencijalna energija ili energija položaja !

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE KINETIČKA ENERGIJA – rad kao razlika kinetičkih energija Kinetička energija, K ili Ek je skalarna veličina i naziva se energija gibanja, što znači da materijalna točka koja miruje nema kinetičku energiju ! Kako je rad sile na nekom putu od položaja 1 do položaja 2 jednak zbroju elementarnih radova, može se napisati da vrijedi : Izraz predstavlja POČETNI oblik jednadžbe rada i energije te glasi: Rad svih sila koje djeluju na materijalnu točku koja se giba od položaja 1 do položaja 2 jednak je razlici kinetičkih energija, odnosno promjeni kinetičke energije prijelazu iz položaja 1 u položaj 2.

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE ZAKON ODRŽANJA MEHANIČKE ENERGIJE - opće načelo rada i energije Ako na materijalnu točku na nekom putu od položaja 1 do položaja 2 djeluju samo konzervativne sile, rad tih sila može se napisati kao: Izraz predstavlja DRUGI oblik jednadžbe rada i energije te glasi: Zbroj potencijalne i kinetičke energije u položaju 1 jednak je ukupnoj energiji u položaju 2, a naziva se zakon održanja mehaničke energije. Ako se radom sile gubi energija, odnosno, rad te sile na nekom putu od položaja 1 do položaja 2 ovisi isključivo o prijeđenom putu, takva sila naziva se disipativna sila : Izraz predstavlja KONAČNI oblik jednadžbe rada i energije te glasi : Zbroj potencijalne i kinetičke energije u položaju 1 i rada disipativnih sila jednak je ukupnoj energiji u položaju 2, a naziva se opće načelo rada i energije.

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE Složeno gibanje točke – jednadžba gibanja Neka je gibanje točke A, mase m. A, definirano kao prijenosno gibanje, gibanje točke B, mase m. B, kao apsolutno, a gibanje točke B u odnosu na točku A kao relativno gibanje, crtež 5. 9. : Crtež 5. 9.

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE Složeno gibanje točke – jednadžba gibanja Primjer složenog gibanja Neka je zadano prijenosno gibanje bloka A mase m. A kao početak horizontalnog gibanja ubrzanjem , kako pokazuje crtež 5. 10. U odnosu na blok A, relativno se giba kuglica B mase m. B ubrzanjem , koja je u tom trenutku otpuštena iz stanja mirovanja. Potrebno je odrediti: relativno ubrzanje , apsolutno ubrzanje kuglice B, silu kojom kuglica B djeluje na blok A, te silu kojom blok A djeluje na podlogu. Crtež 5. 10. Crtež 5. 11. U prvom koraku se određuju sile unutar relativnog gibanja, no to nije pravilo, jer se ponekad zadaće kinematike i dinamike međusobno izmjenjuju, crtež 5. 11.

MEHANIKA II DINAMIKA MATERIJALNE TOČKE Složeno gibanje točke – jednadžba gibanja Primjer složenog gibanja U drugom koraku se određuju sile unutar prijenosnog gibanja bloka A, crtež 5. 12. Crtež 5. 12. Sada se, prema kinematskom izrazu za složeno gibanje, može dobiti apsolutno ubrzanje kuglice B kao: