LOGIKA MATEMATIKA PENDAHULUAN Dalam kehidupan seharihari kita menggunakan

LOGIKA MATEMATIKA

PENDAHULUAN • Dalam kehidupan sehari-hari kita menggunakan pikiran untuk memecahkan berbagai masalah yang ada • Seringkali kita menemukan suatu gagasan baru dari informasi dan gagasan yang telah ada • Proses ini dikenal dengan bernalar. Dalam bernalar kita memiliki argument untuk sampai pada suatu kesimpulan • Kaidah-kaidah dalam logika matematika akan mempermudah kita untuk menilai apakah proses pengambilan keputusan ini adalah sah (valid) atau tidak

PROPOSISI • Proposisi adalah suatu pernyataan yang mempunyai dua kemungkinan nilai kebenaran yaitu benar atau salah tetapi tidak mungkin keduanya. • Perhatikan Contoh Kalimat di Bawah ini: 1. Unswagati terletak di Cirebon 2. Bandung ibukota Jawa Tengah 3. Di Planet Mars tidak terdapat air 4. Ani adalah gadis yang sangat cantik 5. Hai Rian, apa kabar?

NOTASI DAN NILAI KEBENARAN PROPOSISI • Untuk penyederhanaan, dalam logika matematika suatu proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, s, …. dst. dan digunakan notasi “: ” untuk menyatakan apa yang dimaksud dengan lambing tersebut • Contoh p : saya belajar matematika • Benar atau salahnya suatu proposisi disebut nilai kebenaran dari proposisi tersebut • Proposisi yang benar diberi nilai 1 dan proposisi salah diberi nilai 0

PERANGKAI DASAR DAN TABEL KEBENARAN • Misalkan kita memiliki dua proposisi p dan q. dari proposisi tersebut dapat dibentuk proposisi baru dengan menggunakan kata perangkai sebagai penghubung proposisi p dan q. • Proposisi yang dibentuk dari beberapa proposisi dengan menggunakan kata-kata perangkai sebagai penghubung disebut proposisi majemuk.

PERANGKAI DASAR DAN TABEL KEBENARAN • Terdapat 5 perangkai dasar untuk membentuk proposisi majemuk: 1. Ingkaran (negasi), lambang – 2. Dan (konjungsi) lambang Ʌ 3. Atau (disjungsi) lambang V 4. Jika …. , maka …. Lambang → 5. Jika dan hanya jika, lambang ↔

PERANGKAI DASAR DAN TABEL KEBENARAN Perangkai Ingkaran (Negasi) p -p 0 1 1 0 • Dalam melambangkan suatu proposisi dengan huruf, terdapat kebiasaan untuk melabangkan proposisi tersebut dalam bentuk positif • Dalam suatu pokok pembicaraan yang sama kita sebaiknya tidak melambangkan suatu proposisi dan ingkarannya dengan huruf yang berbeda

PERANGKAI DASAR DAN TABEL KEBENARAN Perangkai Ingkaran (Negasi) • Dalam Bahasa sehari-hari, konjungsi tidak hanya muncul dalam bentuk kata dan • Penghubung-penghubung lain dalam Bahasa Indonesia yang bisa diartikan sebagai konjungsi (Ʌ) adalah tetapi, walaupun, meskipun, sedaangkan, namun dan masih banyak lagi • Contoh: hari ini hujan tetapi tidak ada halilintar, meskipun hari ini hujan, Pak Joni berangkat mengajar

PERANGKAI DASAR DAN TABEL KEBENARAN Perangkai Atau (disjungsi) p q p. Vq 0 0 0 1 1 1 1 1 0 • Misalkan p dan q adalah dua buah proposisi. Proposisi “p atau q” dilambangkan p V q, bernilai benar jika sekurang-kurangnya satu proposisi penyusunnya bernilai benar disjungsi inklusif

PERANGKAI DASAR DAN TABEL KEBENARAN Perangkai Atau (disjungsi) • Kadangkala kita menginginkan agar p dan q bernilai benar hanya jika salah satu saja dari kedua proposes penyusunnya yang bernilai benar disjungsi eksklusif yang dilambangkan p V q. dibaca “ p ataukah q” • Contoh: p : Ani belajar matematika q : Ani belajar Bahasa Inggris

PERANGKAI DASAR DAN TABEL KEBENARAN Perangkai jika … maka … (implikasi) p q 0 0 1 1 1 • p disebut premis, hipotesis atau anteseden, sedangkan q disebut dengan konsekuen atau kesimpulan

PERANGKAI DASAR DAN TABEL KEBENARAN Perangkai jika … maka … (implikasi) Contoh: p : segitiga ABC sama sisi q : segitiga ABC sama kaki p q : jika segitiga ABC sama sisi maka segitiga ABC sama kaki

PERANGKAI DASAR DAN TABEL KEBENARAN Perangkai jika … maka … (implikasi) Contoh: p : Agus kehujanan q : baju Agus basah p q : jika Agus kehujanan maka baju Agus basah Catatan: p syarat cukup bagi q artinya jika p terjadi akan berakibat q juga terjadi, tetapi untuk terjadinya q dapat disebabkan oleh proposisi selain p.

PERANGKAI DASAR DAN TABEL KEBENARAN Perangkai jika … maka … (implikasi) Catatan: q syarat perlu bagi p artinya jika q tidak terjadi akan berakibat p juga tidak terjadi sehingga terjadinya q mutlak diperlukan untuk terjadinya p. Suatu proposisi bersyarat memiliki beberapa variasi : 1. q p disebut konvers dari p q 2. -p -q disebut invers dari p q 3. -q -p disebut kontrapositif dari p q

PERANGKAI DASAR DAN TABEL KEBENARAN Perangkai jika dan hanya jika (jhj) p q p↔q 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 • Contoh: Sepertinya aku lulus matematika dan mendapat nilai A jika dan hanya jika tidak pernah bolos kuliahnya

PROPOSISI KOMPLEKS • Dengan pemahaman kita terhadap perangkai dasar yang telah dijelaskan kita akan dapat membentuk suatu proposisi yang lebih kompleks • Contoh ((p Ʌ q) V r) V (- (p Ʌ q)) • Berdasarkan nilai kebenaran dari suatu proposisi majemuk maka dapat dibedakan tiga hal yaitu: Tautologi, Kontradiksi, dan Kontingensi • Coba cari nilai kebenaran dari contoh di atas! • Dalam hal ini tautologi dilambangkan i dan kontradiksi dilambangkan o

KESETARAAN DUA PROPOSISI 1. Dalil keidentikan a. p V o = p b. p V i = i c. p Ʌ o = o d. p Ʌ i = p 2. Dalil kesamakuatan a. p V p = p b. p Ʌ p = p

KESETARAAN DUA PROPOSISI 3. Dalil komplemen a. p V –p = i b. p Ʌ –p = o 4. Dalil komutatif a. p V q = q V p b. p Ʌ q = q Ʌ p 5. Dalil Asosiatif a. (p V q) V r = p V (q V r) b. (p Ʌ q) Ʌ r = p Ʌ (q Ʌ r)

KESETARAAN DUA PROPOSISI 6. Dalil Distributif a. p V (q Ʌ r) = (p V q) Ʌ (p V r) b. p Ʌ (q V r) = (p Ʌ q) V (p Ʌ r) 7. Dalil Ingkaran Ganda: - (-p) = p 8. Dalil de Morgan a. -(p V q) = -p Ʌ -q b. -(p Ʌ q) = -p V –q

KESETARAAN DUA PROPOSISI 9. Dalil Penghapusan (Cancellation) a. (p V q) Ʌ p = p b. (p Ʌ q) V q = q 10. Dalil kesetaraan lainnya yang sering digunakan dalam proses pembuktian a. p q = -p V q b. p ↔ q = (p Ʌ q) V (-p Ʌ -q)

ARGUMEN • Argumen adalah suatu proposisi yang berbentuk [H 1 Ʌ H 2 Ʌ H 3 Ʌ … Ʌ Hn] K Proposisi H 1, H 2, . . Hn disebut hipotesis atau premis, sedangkan proposisi K adalah kesimpulan • Suatu argument adalah sah jika bentuk proposisi di atas adalah suatu tautology, atau dikatakan bahwa K merupakan konsekuensi logis dari H 1, H 2, . . Hn • Suatu argument dikatakan tidak sah jika proposisi di atas bukan tautologi

ARGUMEN • Contoh: Periksa apakah argument berikut sah atau tidak sah “ jika hari hujan maka saya membawa payung. Ternyata saya tidak membawa payung. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa hari tidak hujan. ” “ Penggundulan hutan bakau mengakibatkan kota Jakarta banjir. Pada musim hujan yang lalu, kota Jakarta dilanda banjir. Dapat disimpulkan bahwa telah terjadi penggundulan hutan bakau. ”

ARGUMEN Aturan Inferensia Aturan inferensia sering pula digunakan dalam pemeriksaan kesalahan suatu argument, di antaranya adalah modus ponens, modus tollens, dan kaidah silogisme Modus Ponens p p q q

ARGUMEN Modus Tollens -q p q -p Kaidah Silogisme p q q r p r

ARGUMEN Metode Pohon • Metode lain yang dapat digunakan untuk memeriksa kesahan suatu argument adalah metode pohon • Setiap argumen pada hakekatnya adalah suatu proposisi bersyarat (implikasi) • Bila implikasi tersebut merupakan suatu tautology maka argument tersebut sah

ARGUMEN Langkah-langkah pembuatan pohon kebenaran untuk memeriksa kesahan argumen: 1. Daftarkan semua hipotesis dan ingkaran kesimpulannya 2. Tuliskan semua proposisi bersyarat dan proposisi dwisyarat dalam bentuk konjungsi maupun disjungsi 3. Turunkan salah satu hipotesis ataukah ingkaran kesimpulannya. Dalam menurunkan ini dua atu lebih proposisi yang dirangkaikan dengan perangkai Ʌ dituliskan ke bawah, sedangkan apabila dirangkaikan dengan V dituliskan membentuk cabang

ARGUMEN 4. Periksalah apakah ada cabang yang tertutup artinya pada cabang tersebut terdapat suatu proposisi dan ingkarannya. Berilah tanda silang (x) pada cabang yang tertutup 5. Lanjutkan langkah 3 bila masih ada cabang yang tidak tertutup dan belum semua proposisi pada Langkah 1 sudah diturunkan. Bila semua cabang sudah tertutup atau semua proposisi pada Langkah 1 sudah diturunkan maka proses dihentikan 6. Argumen yang diperiksa sah jika dan hanya jika semua cabang tertutup

ARGUMEN Akan diperiksa kesahan kaidah silogisme dengan menggunakan metode pohon: p q q r p r Daftarkan semua hipotesis dan ingkaran kesimpulan argument di atas 1. p q ≡ - p V q (hipotesis 1) 2. q r ≡-q V r (hipotesis 2) 3. - (p r) ≡ p Ʌ -r (ingkaran kesimpulan)

ARGUMEN Pohon kebenarannya adalah: p -r -q r (x) -p q (x)

LATIHAN SOAL 1. Jika libur panjang dan saya punya uang maka saya mudik. Jika saya tidak mudik maka saya kesepian di kostan. Jadi jika libur panjang dan saya tidak punya uang maka saya kesepian di kostan. 2. Jika hari ini ulang tahunku, maka pastilah hari ini tanggal 25 Desember. Hari ini tanggal 25 Desember. Oleh karena itu hari ini adalah hari ulang tahunku 3. Jika terdakwa bersalah, maka dia akan berada di tempat kejadian perkara. Terdakwa tidak berada di tempat kejadian perkara. Jadi terdakwa tidak bersalah.

LATIHAN SOAL 4. Bayi tidak lapar atau dia menangis. Bayi tertawa atau dia tidak menangis. Jika bayi tertawa, maka mukanya merah. jadi jika bayi lapar maka mukanya merah 5. Jika hari ini hujan maka Pak Ali tidak mengajar. Kemarin Pak Ali tidak mengajar. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa kemarin hujan. 6. Pembunuhnya ialah juru masak atau tukang kebun. Jika juru masak yang membunuh korban maka dia tidak mampu memasak semua menu yang tersedia. Juru masak mampu memasak seluruh menu yang tersedia. Disimpulkan bahwa tukang kebunlah yang melakukan pembunuhan tersebut

LATIHAN SOAL 7. Jika suatu pasar merupakan suatu pasar bebas, maka penjual secara perorangan tidak dapat memengaruhi harga barang. Jika penjual secara perorangan tidak dapat memengaruhi harga barang, maka terdapat sejumlah besar pedagang di pasar itu. Hasil survey menunjukkan bahwa jumlah pedagang di pasar tersebut besar. Maka dapat disimpulkan bahwa pasar tersebut adalah suatu pasar bebas.

TERIMA KASIH