Lezione 8 Perdita di energia di e Gli

Lezione 8 Perdita di energia di e± Gli e± perdono energia per: § Ionizzazione (Bethe Block). la formula va leggermente modificata in quanto gli e± sia hanno piccola massa e possono essere diffusi nella collisione con gli e atomici Tmax = (E-mc 2)/2, sia hanno diverse sezioni d’urto di scattering ed effetto densità leggermente minore. o salita relativistica leggermente minore per e±. o effetto densità leggermente minore per e±. Rivelatori di Particelle 1

Lezione 8 Perdita di energia di e± § Bremsstrahlung L’ elettrone incidente di alta energia viene decelerato dalla collisione col nucleo ed emette energia e. m. (raggi g). La perdita di energia per collisioni col nucleo, come funzione del tempo è: dove a e’ l’accelerazione. (ricorda la formula di Larmor o di Lienard per la radiazione di sincrotrone che dice che la potenza irraggiata va come a 2) Rivelatori di Particelle 2

Lezione 8 Perdita di energia di e± Un calcolo semiclassico della sezione d’urto di bremms da: M= massa della particella incidente k= impulso (energia) del fotone emesso z= carica della particella (incidente o del nucleo) 1= particella incidente 2= nucleo Rivelatori di Particelle 3

Lezione 8 Perdita di energia di e± q La sezione d’urto va come 1/M 2 importante solo per e±. (Nel seguito considereremo solo elettroni, massa m) q Dipende dal mezzo attraversato elementi più pesanti fanno perdere più energia. Il Bremss. avviene anche sugli elettroni dell’atomo z 2 z(z+1) essendoci z elettroni nell’atomo. q Decresce al crescere dell’energia del fotone (1/k). L’importanza principale degli elettroni atomici è il loro effetto di schermo. Classicamente quando il parametro d’impatto è > del raggio atomico ci attendiamo una s molto piccola in quanto gli e schermano la carica del nucleo la particella incidente vede una carica più piccola. bmax (fisso k) si ottiene per qmin (q= impulso trasferito al nucleo) e qmin è determinato dal raggio dell’atomo, più che dal minimo valore cinematico che può assumere. Questo fenomeno si chiama schermatura completa. Quanto detto è vero anche per una trattazione quantistica perché possiamo sempre definire una distanza efficace della particella incidente dal nucleo = ħ/q. Rivelatori di Particelle 4

Lezione 8 Perdita di energia di e± Cenni sulla trattazione quantistica (QED) I diagrammi di Feynman all’ordine più basso che descrivono il Bremss sono: e± g e± e± e± g g* 1) 2) g* Zf Zi Zi Zf Dobbiamo scambiare un fotone virtuale con il nucleo per conservare il quadrimpulso. L’interazione non dipende dalla carica dell’elettrone stessa sezione d’urto per e±. Rivelatori di Particelle 5

Lezione 8 Perdita di energia di e± Bethe e Heitler hanno eseguito il calcolo nel caso di un elettrone nel campo di un nucleo pesantissimo ( non lo usano per la conservazione dell’energia), puntiforme e senza spin. Il calcolo usa l’approssimazione di Born. L’approssimazione usata è valida se (2 pz 2 e 2)/(ħv)<<1, essendo v la velocità dell’elettrone dopo o prima dell’emissione del fotone reale. Questa approssimazione è in genere valida per particelle energetiche. Gli effetti di schermo degli elettroni atomici sono determinati dal parametro G Ei ed Ef sono l’energia iniziale e finale dell’elettrone. G è ottenuto dividendo il raggio dell’atomo ra = ħ/(amc. Z 1/3) per il massimo valore permesso della distanza efficace ħ/q. ( essendo q il momento trasferito dall’elettrone al nucleo) Si ha schermatura completa per G≈0, condizione quasi sempre verificata tranne che per k/E~1, cioè quando l’elettrone trasferisce tutta la sua energia al fotone irraggiato. Rivelatori di Particelle 6

Lezione 8 Perdita di energia di e± i. iii. Ad alta energia i fotoni sono emessi ~ collineari con l’elettrone incidente essendo l’angolo medio di emissione <q>=mc 2/E, indipendente dall’energia del fotone emesso. I fotoni emessi sono polarizzati con il vettore di polarizzazione ┴ al piano formato dal fotone e l’elettrone incidente; la polarizzazione del g dipende inoltre dalla polarizzazione dell’ e incidente. La s integrata sugli angoli di emissione del g e di scattering dell’elettrone è (nel caso di schermatura completa): Rivelatori di Particelle 7

Lezione 8 Perdita di energia di e± Osserviamo: 1. Se vogliamo includere gli elettroni atomici Z 22 Z 2(Z 2+1) 2. ds/dk per k 0 divergenza infrarossa, eliminata con effetti di interferenza la formula non è valida per k 0 3. ds/dk dipende da Ei/Ef non esplicitamente dall’energia dell’elettrone 4. dipende dal mezzo attraversato (Z 22) Rivelatori di Particelle 8

Lezione 8 Perdita di energia di e± La perdita di energia per Bremmstrahlung di un elettrone che attraversa del materiale è: kmax=Ei-mc 2 è la massima energia possibile del fotone. na =numero di atomi per cm 3. N 0 è il numero di Avogadro A è il peso atomico r è la densità del materiale Rivelatori di Particelle 9

Lezione 8 Perdita di energia di e± La formula –d. E/dx=E/X 0 è molto utile in quanto esplicita la dipendenza dell’energia della particella incidente (e) dalle proprietà del materiale attraversato contenute in X 0. Integrando otteniamo: E=Eoe-x/Xo Questa funzione descrive l’attenuazione esponenziale dell’energia degli elettroni per Bremsstrahlung. Dopo avere attraversato un tratto x=X 0 l’energia si e’ ridotta di un fattore 1/e. La X 0 di un composto può essere approssimata da: X 0 = 1/Si(fi/ X 0 i) Dove fi sono le frazioni in massa dei componenti con lunghezza di radiazione X 0 i La lunghezza di radiazione è espressa in g/cm 2, ma dividendo per la densità si ottiene LR = lunghezza di radiazione in cm. Si trovano normalmente tabulate sia X 0 che LR. Ricordiamo che la perdita di energia è in realtà inversamente proporzionale alla massa al quadrato della particella incidente importante solo per elettroni ( e m di alta energia). Nel definire la lunghezza di radiazione abbiamo considerato elettroni come particelle incidenti (re 2). In ogni caso X 0 ed LR sono sempre tabulate per elettroni Rivelatori di Particelle 10

Lezione 8 Perdita di energia di e± Energia critica. L’ energia critica Ec è quell’energia alla quale le perdite per ionizzazione e bremmstrahlung sono uguali. d. E/dx|coll= d. E/dx|bremms § per elettroni incidenti in liquidi o solidi Ec=610/(Z+1. 24) Me. V. § per elettroni incidenti in gas Ec=710/(Z+0. 92) Me. V La differenza è dovuta ad un minore effetto densità nei gas che nei solidi o liquidi. Per un elettrone che attraversa un solido od un liquido l’energia critica è di qualche decina di Me. V. Nel caso di un m che attraversa un materiale (solido o liquido) l’energia critica scala come il rapporto delle masse al quadrato. Rivelatori di Particelle 11

Lezione 8 Perdita di energia di e± (Leo) energy loss (radiative + ionization) of electrons and protons in copper Ricordiamo che si ha una probabilità non trascurabile di emettere g di alta energia la distribuzione delle perdite di energia è molto larga. Rivelatori di Particelle 12

Lezione 8 Perdita di energia di e± Annichilazione di e+ Il destino finale dei positroni nella materia è l’annichilazione con un e- Se l’ e- è legato al nucleo si può avere annichilazione in un solo g, ma la s è più bassa. La sann in 2 g di un e+ con energia nel laboratorio pari ad E è La s è massima per g =E/m 1. Il positrone prima perde energia e poi si annichila. NOTA: si puo anche formare il positronio che poi decade in gg (singoletto) monocromatico o in ggg (tripletto) Rivelatori di Particelle 13

Lezione 8 Interazioni dei g Per poter essere rivelati i g devono prima creare una particella carica e/o trasferire energia alle particelle cariche. Le principali interazioni dei fotoni con la materia sono: • Effetto fotoelettrico • Effetto Compton • Produzione di coppie Tutte queste interazioni sono di tipo elettromagnetico. Rivelatori di Particelle 14

Lezione 8 Interazioni dei g Rayleigh (cielo blu) Fotoelettrico 1 Me. V } Produzione di coppie Compton Rivelatori di Particelle 15

Lezione 8 Interazioni dei g § Per energie ≤ 500 Ke. V abbiamo solo effetto fotoelettrico § Per energie > 50 Me. V abbiamo solo produzione di coppie § Per energie intermedie abbiamo effetto Compton § A basse energie possiamo avere scattering coerente (Rayleigh). Il fotone interagisce con tutti gli elettroni atomici, senza eccitarli od ionizzarli (nessuna perdita di energia). È il responsabile del cielo blu Rivelatori di Particelle 16

Lezione 8 Interazioni dei g Effetto fotoelettrico. L’ effetto fotoelettrico consiste nell’assorbimento di un fotone da parte dell’atomo intero. L’elettrone viene emesso con energia cinetica T=ħw-Eb Con Eb energia di legame dell’atomo e ħw energia del fotone incidente. Per energie del fotone incidente poco sopra soglia l’elettrone è emesso a 90 o rispetto alla direzione del fotone incidente. Crescendo l’energia l’angolo di emissione diminuisce; ma … scattering multiplo la direzione dell’ elettrone è random rispetto alla direzione del fotone incidente. L’effetto fotoelettrico è possibile solo nelle vicinanze del nucleo, non può avvenire per un elettrone libero. Rivelatori di Particelle 17

Lezione 8 Interazioni dei g La sezione d’urto per basse energie è: (non relativistiche) Presenta dei picchi corrispondenti ai livelli atomici K, L, M… Se siamo sopra soglia vengono emessi preferibilmente elettroni dallo shell K. Ad alte energie e>>1 la s è: Rivelatori di Particelle 18

Lezione 8 Interazioni dei g § A basse energie decresce con ħw del fotone alla -7/2 fenomeno importante a bassa energia. § Dipende dal materiale come Z 5 importante per la costruzione di rivelatori di fotoni (e. g. camere a Xenon). Per fotoni incidenti di bassa energia la dipendenza da Z è una complicata funzione di Z e comunque minore di Z 5. Ad esempio per energie 0. 1 Me. V ≤ Eg ≤ 5 Me. V l’esponente di Z varia fra 4 e 5. Per applicazioni dell’effetto fotoelettrico in medicina vedi rivelatoridet 4 diapositiva 6 (su lezioni estive 2003) Rivelatori di Particelle 19

Lezione 8 Interazioni dei g Effetto Compton (Diffusione di un fotone incidente su un elettrone atomico) hn, k 0 T, p hn+mc 2=hn’+T+mc 2 q k 0 = k+p f g hn’, k T=mc 2[e 2(1 -cosq)]/[1+e(1 -cosq)] ; e=hn/mc 2 Cotf = (1+e)tg(q/2) La sezione d’urto per lo scattering Compton è molto facile da calcolare in QED. ( Klein – Nishina) Rivelatori di Particelle 20

Lezione 8 Interazioni dei g I diagrammi di Feynman da prendere in considerazione sono: out in Canale t, contributo di diffusione in Canale s , contributo di assorbimento out Rivelatori di Particelle 21

Lezione 8 Interazioni dei g La s differenziale, mediata sugli spin del fotone incidente è : La distribuzione in energia si ottiene eliminando q e sostituendolo con hn (sfruttando la conservazione dell’energia e dell’impulso): valida per 1/(1+2 e) ≤ (hn’)/(hn) ≤ 1 La sezione d’urto totale approssimata per alte energie è : Con sth limite classico Ricordiamo che la sezione d’urto Thompson è il limite classico di diffusione di fotoni su elettroni liberi (valida a basse energie) Rivelatori di Particelle 22

Lezione 8 Interazioni dei g Produzione di coppie. L’intenso campo elettrico vicino al nucleo permette al fotone di trasformarsi in e+ ed e-. L’energia di soglia è 2 mc 2. La produzione di coppie può anche avvenire vicino ad un elettrone atomico. In questo caso l’energia di soglia è 4 mc 2 e l’elettrone di rinculo acquista un energia cinetica 3 tracce cariche. La trattazione in QED procede sulla falsariga del Bremsstrahlung Rivelatori di Particelle 23

Lezione 8 Interazioni dei g e± e± g g* Zi g Bremsstrahlung g* Zf e+ e- g* Zi g Zf e+ e- g* Prod. di coppie Zf Zi Zi Zf Diagrammi praticamente identici Rivelatori di Particelle 24

Lezione 8 Interazioni dei g Nel caso di schermatura completa le sezioni d’urto sono: § Bremss § Coppie Con: w = Ef/Ei (elettrone); so = a. Z 2 re 2; k = impulso del fotone w+= E+/k ; E+ = energia del positrone w-= E-/k ; E- = energia dell’ elettrone Rivelatori di Particelle 25

Lezione 8 Interazioni dei g L’analogia dei due processi non è solo la similitudine dei diagrammi, ma si può vedere il processo inverso della produzione di coppie come un processo di Bremss di un e+ che emette un fotone e cade in uno stato di energia negativa (e-, Dirac). ▬► Ottengo gli elementi di matrice da quelli del bremss per semplice sostituzione. Se il g incidente ha impulso k e la coppia prodotta ha energia E+ ed E- la schermatura è misurata usando il parametro: G’ è simmetrica in w+ e w- e decresce al crescere di k Rivelatori di Particelle 26

Lezione 8 Interazioni dei g § In caso di schermatura completa (G’~0) la s espressa in funzione dell’energia cinetica del positrone e normalizzata a so è quasi uniforme I positroni sono prodotti con tutte le energie possibili gli e+ ed e- della coppia non hanno la stessa energia. § La s dipende dal materiale come Z 2. (incluso nella so) § Ad alta energia e+ ed e- tendono ad essere prodotti a piccolo angolo rispetto alla direzione di volo del g. < q > = mc 2/E ( E = E+ od E- ) Rivelatori di Particelle 27

Lezione 8 Interazioni dei g La sezione d’urto totale per produzione di coppie si ottiene integrando ds/d. E+ su tutte le possibili energie dell’ e+ e, nel caso di schermatura completa, è : Scartando 1/54 ed introducendo il materiale (A, NA) ottengo: Rivelatori di Particelle 28

Lezione 8 Interazioni dei g v A causa del bremsstrahlung, un fascio di e± di energia iniziale E 0, dopo un tratto x di materiale ha un’energia: E = E 0 e-x/Xo v In un mezzo omogeneo di lunghezza di radiazione X 0, a causa della produzione di coppie, l’intensità di un fascio monocromatico di g, diminuisce dopo un tratto x di materiale come segue: I = I 0 e-(7/9)x/Xo Rivelatori di Particelle 29

Lezione 8 Interazioni dei g Sia l’effetto fotoelettrico, che quello Compton e la produzione di coppie sono dei processi distruttivi. Ø Effetto fotoelettrico: assorbe g ed emette e- Ø Effetto Compton: cambia la n dei g ( trasferimento di energia al mezzo) Ø Produzione di coppie: trasforma i g in e+ ed e- Rivelatori di Particelle 30

Lezione 8 Sciami elettromagnetici Ricordiamo le interazioni elettromagnetiche fondamentali e+ / e Ionisation § Photoelectric effect d. E/dx § g E Bremsstrahlung § E Effetto Compton s d. E/dx § s E E § Pair production s Rivelatori di Particelle 31

Lezione 8 Sciami elettromagnetici A questo punto e’ abbastanza facile capire cosa succede se si ha un fascio di e± o di g che attraversa del materiale. Electron shower in a cloud chamber with lead absorbers Rivelatori di Particelle 32

Lezione 8 Sciami elettromagnetici Semplice Modello qualitativo Consideriamo solo Bremsstrahlung e produzione di coppie. Assumiamo X 0=lpair=9/7 X 0 g Il processo continua finché E(t) < Ec Dopo t=tmax I processi dominanti sono ionizzazione, Compton ed effetto fotoelettrico assorbimento Rivelatori di Particelle 33

Lezione 8 Sciami elettromagnetici § Sviluppo longitudinale dello sciame Massimo dello sciame Contenimento longitudinale Le dimensioni longitudinali dello sciame crescono solo logaritmicamente con E 0 Rivelatori di Particelle 34

Lezione 8 Sciami elettromagnetici Lo sviluppo trasversale dello sciame non e’ tanto dovuto agli angoli di emissione di g od e± (entrambi molto piccoli) quanto allo scattering multiplo. 95% dello sciame e’ in un cilindro di raggio 2 RM Raggio di Molière 6 Ge. V/c e- Sviluppo longitudinale e trasversale dello sciame scalano con X 0, R M Example: E 0 = 100 Ge. V in lead glass Ec=11. 8 Me. V tmax 13, t 95% 23 X 0 2 cm, RM = 1. 8·X 0 3. 6 cm 8 cm 46 cm (C. Fabjan, T. Ludlam, CERN-EP/82 -37) Rivelatori di Particelle 35

Lezione 8 Sciami elettromagnetici v Risoluzione in energia Per misurare l’energia si contano le tracce cariche La risoluzione relativa in energia migliora crescendo E 0 Anche la risoluzione spaziale ed angolare scalano con E-1/2 Rivelatori di Particelle 36

Lezione 8 Interazioni nucleari (forti) L’interazione di adroni energetici (carichi o neutri) è determinata da processi nucleari anelastici. p, n, p, K, … multiplicity ln(E) pt 0. 35 Ge. V/c Rottura del nucleo frammenti nucleari + produzione di particelle secondarie. Ad alte energie (>qualche Ge. V) la sezione d’urto anelastica dipende poco dall’energia e dal tipo di particella incidente (p, p, k…. ). sinel≈s 0 A 0. 7 s 0≈35 mb In analogia a X 0 possiamo definire una lunghezza di assorbimento la= A/(NAsinel)≈ A¼ poiché sinel≈s 0 A 0. 7 Ed una lunghezza di interazione l. I= A/(NAstotal)≈ A¼ Rivelatori di Particelle 37

Lezione 8 Interazioni nucleari (forti) Rivelatori di Particelle 38

Lezione 8 Interazioni nucleari (forti) Per Z>6 la > X 0 la and X 0 in cm X 0, la [cm] la X 0 Z Rivelatori di Particelle 39

Lezione 8 Interazioni nucleari (forti) Cascate adroniche Molti processi coinvolti molto più complicate che gli sciami e. m. PT ~ 350 Me. V sciami adronici molto più larghi di quelli e. m. (95% in un cilindro di raggio l. I) (Grupen) Rivelatori di Particelle 40

Lezione 8 Interazioni nucleari (forti) Adronica + Componente e. m. neutral pions 2 g electromagnetic charged pions, protons, kaons …. cascade Breaking up of nuclei (binding energy), neutrons, neutrinos, soft g’s example 100 Ge. V: n(p 0) 18 muons …. invisible energy Larghe fluttuazioni dell’energia risoluzione in energia limitata Rivelatori di Particelle 41

Lezione 8 Interazioni nucleari (forti) Sviluppo longitudinale dello sciame Ferro: a = 9. 4, b=39 la =16. 7 cm E =100 Ge. V t 95% 80 cm (C. Fabjan, T. Ludlam, CERN-EP/82 -37) • Rivelatori di Particelle 42

Lezione 8 Interazioni nucleari (forti) Trasversalmente lo sciame consiste in un nocciolo + un alone. Il 95% e’ contenuto in un cilindro di raggio l. I. Gli sciami adronici sono molto più lunghi e più larghi di quelli elettromagnetici Rivelatori di Particelle 43

Lezione 8 Conclusioni Abbiamo accennato a tutti i processi e. m. o forti che avvengono quando una particella carica (o no) attraversa la materia (escludendo il neutrino), tutti processi utili per costruire i rivelatori. Da un punto di vista puramente strumentale possiamo suddividere i processi in non distruttivi e distruttivi: § § Distruttivi: produzione di sciami elettromagnetici e adronici. Questi ± processi sono utili per misurare l’energia della particella (e , g calorimetri elettromagnetici); (adroni e m calorimetri adronici). È ovvio che la parte distruttiva dell’apparato sperimentale deve stare alla fine del rivelatore. Non distruttivi: o Perdita di energia per collisione (Bethe-Block) (misuro il b o il g della particella carica). o Effetto Čerenkov (misuro il b della particella carica). o Radiazione di transizione ( misuro il g della particella carica). Tutti e tre i processi non distruttivi possono essere usati per identificare la particella, ed il primo (perdita di energia per collisione) è più spesso usato per misurare la posizione della particella carica Rivelatori di Particelle 44