Hogyan ksztsk fel dikjainkat az rettsgire A NTK

Hogyan készítsük fel diákjainkat az érettségire? A NTK háromkötetes feladatgyűjteménye gyuszi@fazekas. hu 1

Tartalom 1. 2. 3. 4. 5. 6. Az átalakult érettségi vizsga Az érettségi vizsga feladatanyaga Milyen (legyen) a jó példatár? A feladatgyűjtemény - jellemzők Érettségi vizsgakövetelmények Feladatválogatás – másodfokú kifejezések 7. A másodfokú téma tárgyalása 2

1. 1. Nemzetközi és hazai folyamatok 1/3 Korábbi vizsgálatok • „Az emberiség története egyre inkább az oktatás és a katasztrófa közti verseny története. ” H. G. Wells (1866 – 1946) • OECD Felnőtt Írásbeliség Vizsgálata (‘ 98) (állampolgári boldogulás a mindennapi életben); • OECD PISA 2000 (alkalmazásképes tudás: munkaerőpiac, élethosszig tanulás); • országos kompetenciamérések (I – III. ) (szituációkhoz kötött, továbbhaladáshoz nélkülözhetetlen praktikus tudás). 3

1. 1. Nemzetközi folyamatok 2/3 • OECD Felnőtt Írásbeliség Vizsgálata (‘ 98) „Magyarország felnőtt lakosságának több mint kétharmada nem rendelkezik a mindennapi életben elvárható és szükséges írásbeli képességek minimumával sem” • - OECD PISA 2000 társadalmi-gazdasági igény paradigmaváltás (pedagógiai, ill. üzleti világban) oktatás történetében egyedülálló lehetőség 250. 000 értékelt tanuló (32 ország, 17 millió diákjának reprezentatív mintája) - Magyarország: 150 iskola / 35 fő (ill. 8000 fő) 4

1. 1. Hazai folyamatok 3/3 • III. országos kompetenciamérés - 3834 iskola, iskolai kérdőív - Felmérésben részt vett tanulók száma: 6. o: 119. 238, 8. o: 113. 154, 10. o: 111. 061 - Kiértékelt füzetek száma, tanulói kérdőív: 6. o: 53. 850, 8. o: 54. 449, 10. o: 29. 816 • Megvalósult kétszintű érettségi vizsga - Érdekes és nem véletlen (pedagógiailag szükségszerű) a folyamatok találkozása! 5

1. 2. Formai és tartalmi változások 1/2 Tananyag (új témakörök): • Középszint: stat, vlsz, kmb, gráfok, gondolkodási msz. • Emelt szint: analízis (lim, diff, int) • Mj: írásbelin, szóbelin ki is tűz(het)ik ezen feladatokat! • • Strukturális változások Középszint: 2 rész (tulajdonképpen két dolgozat) Emelt szint írásbeli: 4 óra Mindkét szint: választási lehetőség (háromféle feladat) Emelt szinten szóbeli vizsga 6

1. 2. Formai és tartalmi változások 2/2 Egyéb: • Meghatározott tartalmi keretek (%-ok) (Mj: szóbeli vizsgán nem tartották be) • Egységesített vizsgáztatói képzés (pl. pontozás) • Különböző vizsgatípusok Megírás módja is változott: • Nőttek az iskolai terhek (eszköz, idő, személyek) • Feladatsor formája átalakult : 20 - 25 oldal, sok olvasnivaló (szövegértés!) • Mj: Gyakorlatban évtizedek óta működik a két szintű matematika érettségi 7

1. 3. A kétszintű érettségi vizsga eddigi karrierje • • • Tapasztalatok Továbbtanulási probléma (etikai jellegű): népszerű helyekre gyakorlatilag két Esz vizsga kellett Esz, Ksz eredmények: jobb osztályzatok Esz: magasabb ponthatárok Iskolai szelekció problémája? (oktatáspolitika) • • Általában a megítélés: elfogadottá válik a (pedagógus) közvélemény szemében; szakmai előnyök kézzelfoghatóak (komp. kp. feladatok) Esz – Ksz problémája is kialakul (Esz „kérése”; visszacsatolás a középiskolai tanításban) • 8

1. 4. Esz érettségi vizsga statisztika (2005. tavasz) tantárgy Magyar Történelem Matematika darab 3010 5369 3382 jeles (%) 52, 2 78, 5 84, 9 Angol Német Biológia Fizika Kémia Informatika Földrajz 3139 1470 3081 909 855 680 216 70, 9 80, 3 74, 6 79, 3 76, 5 61, 9 84, 3 9

1. 5. Írásbeli eredmények 1/2. (Esz) 10

1. 5. A ténylegesen vizsgázók (Ksz) 11

2. 1. Megváltozott feladatanyag 1/4 • • Új témakörök Pl. analízis problémája (Esz): korábban az analízis ismerete nem volt feltétele a felsőfokú jelentkezésnek; csak módszertani szempontból volt fontos témakör, praktikusan nem. Most: Esz-en (írásbeli, szóbeli) egyaránt jelen van a téma 12

2. 1. Megváltozott feladatanyag 2/4 • • - Újszerű (kompetenciaközpontú) feladattípusok: Lexikális tudás + alkalmazása Tantárgyak közötti kapcsolat erősödése (tartalom, gondolkodás, kommunikáció, információ) Szituációkhoz kötött problémamegoldás Életközeli, gyakorlati feladatok Modellezés Különböző típusú információk értelmezése, elemzése Térbeli tájékozódás, kommunikáció (szövegértés) stb. Mj: számítógép szerepe nőtt (ebben lemaradtunk) függvényvizsgálat, statisztika, valószínűségszámítás közelítő megoldások (becslések), információkezelés 13

2. 1. Megváltozott feladatanyag 3/4 • • • - Gyakorlati (életközeli) feladatok Támogató témakörök pl. : statisztika; gondolkodási módszerek (kmb, grf, vlsz); függvények. De: a korábbi témakörök feldolgozása is hasonló Igazi, valós feladatok: szakmailag nehezek a „nem valószerű” feladatok hiteltelenek fontos a jó alapozás 14

2. 1. Megváltozott feladatanyag 4/4 • Ellentmondás: - Általánosan jellemző a matematika óraszám csökkenése, de: - nőtt a számonkért feladatanyag mennyisége - és megváltozott a minősége. - Új készségek kellenek (szövegértés, teszt jellegű mo. , háromféle feladat problémája). • Tehát: az érettségi vizsgára készülni kell (írásbeli, szóbeli) 15

2. 2 Írásbeli vizsga tartalmi szerkezete • • • Középszinten: Gond. msz, hlm, log, kmb, grf: Arit, alg, szelm: Fv, anal. elemei: Geo, koo, trig: Vlsz, stat: Emelt szinten: Gond. msz, hlm, log, kmb, grf: Arit, alg, szelm: Fv, anal. elemei: Geo, koo, trig: Vlsz, stat: 20% 25% 15% 25% 20% 20% 15% 16

2. 3. Eddigi érettségi vizsgák • • Eddigi írásbeli vizsgasorok: 2003. próbaérettségi Ksz, Esz 2004. próbaérettségi Ksz, Esz 2005. május 10. Ksz, Esz 2005. május 28. megismételt Ksz 2005. május 29. pótnap Ksz 2005. október 25. Ksz, Esz Szóbeli feladatsorok: 2004. próba szóbeli Esz 2005. szóbeli Esz Szakirodalomban megjelenő próba feladatsorok 17

2. 4. 1, 2. mintafeladat (05 pót. KSz) (valós probléma, gond. msz. ) • 11. Egy henger alakú bögre belsejének magassága 12 cm, belső alapkörének átmérője 8 cm. Belefér-e egyszerre 0, 5 liter kakaó? Válaszát indokolja! • 14. b) Fogalmazza meg a következő állítás tagadását! A focira jelentkezett tanulók közül mindenkinek van testvére. 18

2. 4. 3. mintafeladat (05 pót. KSz) (modellezés) • 14. d) Az iskolák közötti labdarúgóbajnokságra jelentkezett 6 csapat között lejátszott mérkőzéseket szemlélteti a 2. ábra. Hány mérkőzés van még hátra, ha minden csapattal egy mérkőzést játszik a bajnokságban? (Válaszát indokolja!) 19

2. 4. 4. mintafeladat (05 KSz) (tesztjelleg) • 4. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra esik. B: Egy négyszögnek lehet 180°-nál nagyobb belső szöge is. C: Minden trapéz paralelogramma. 20

2. 4. 5. mintafeladat (05 KSz) (statisztika) • Egy dolgozatnál az elérhető legmagasabb pontszám 100 volt. 15 tanuló eredményeit tartalmazza a következő táblázat: Psz: 100 95 91 80 65 31 17 8 5 Db: 3 2 1 2 2 1 1 a) Határozza meg az összes dolgozat pontszámának átlagát (számtani közepét), móduszát és mediánját! 21

2. 4. 5. mintafeladat (folyt. ) b) A dolgozatok érdemjegyeit az alábbi táblázat alapján kell megállapítani! Pontszám 80 – 100 60 – 79 40 – 59 20 – 39 0 – 19 Osztályzat jeles jó közepes elégséges elégtelen 22

2. 4. 5. mintafeladat (folyt. 2. ) (információ feldolgozása) Ennek ismeretében töltse ki a következő táblázatot! Oszt. jeles jó közepes elégséges elégtelen Darab c) Készítsen kördiagramot az osztályzatok megoszlásáról! Adja meg az egyes körcikkekhez tartozó középponti szögek értékét is! 23

2. 4. 6. mintafeladat (05 okt. KSz) (életközeli, összetett feladat) • 18. 2001 -ben a havi villanyszámla egy háztartás esetében három részből állt. - az alapdíj 240 Ft, ez független a fogyasztástól, - a nappali áram díja 1 k. Wh fogyasztás esetén 19, 8 Ft, - az éjszakai áram díja 1 k. Wh fogyasztás esetén 10, 2 Ft. A számla teljes értékének 12%-át kell még általános forgalmi adóként (ÁFA) kifizetnie a fogyasztónak. 24

2. 4. 6. mintafeladat (folyt. ) a) Mennyit fizetett forintra kerekítve egy család abban a hónapban, amikor a nappali fogyasztása 39 k. Wh, az éjszakai fogyasztása 24 k. Wh volt? b) Adjon képletet a befizetendő számla F összegére, ha a nappali fogyasztás x k. Wh, és az éjszakai fogyasztás pedig y k. Wh! c) Mennyi volt a család fogyasztása a nappali illetve és az éjszakai áramból abban a hónapban, amikor 5456 Ft-ot fizettek, és tudjuk, hogy a nappali fogyasztásuk kétszer akkora volt, mint az éjszakai? d) Mekkora volt a nappali és az éjszakai fogyasztás aránya abban a hónapban, amikor a kétféle fogyasztásért (alapdíj és ÁFA nélkül) ugyanannyit kellett fizetni? 25

2. 4. 7. mintafeladat (05 ism. Ksz) (információfeldolgozás) • 15. Egy sportuszoda 50 méteres medencéjében egy edzés végén úszóversenyt rendeztek. A versenyt figyelve az edző a következő grafikont rajzolta két tanítványának, Robinak és Jánosnak az úszásáról. Olvassa le a grafikonról, hogy a) mennyi volt a legnagyobb távolság a két fiú között a verseny során; b) mikor előzte meg János Robit; c) melyikük volt gyorsabb a 35. másodpercben! 26

2. 4. 7. mintafeladat (folyt. ) 27

2. 4. 7. mintafeladat (folyt. 2) (nézőpontváltás, kombinatorika) A 4× 100 -as gyorsváltó házi versenyén a döntőbe a Delfinek, a Halak, a Vidrák és a Cápák csapata került. d) Hányféle sorrend lehetséges közöttük, ha azt biztosan tudjuk, hogy nem a Delfinek csapata lesz a negyedik? e) A verseny után kiderült, hogy az élen kettős holtverseny alakult ki, és a Delfinek valóban nem lettek az utolsók. Feltéve, hogy valakinek csak ezek az információk jutottak a tudomására, akkor ennek megfelelően hányféle eredménylistát állíthatott össze? 28

2. 4. 8. mintafeladat (05 ism. Ksz) 17. Egy teherautóval több zöldségboltba almát szállítottak. Az egyik üzletbe 60 kg jonatánt, 135 kg starkingot, 150 kg idaredet és 195 kg golden almát vittek. A jonatán és az idared alma kilóját egyaránt 120 Ft-ért, a starking és a golden kilóját 85 Ft-ért árulta a zöldséges. a) Hány százalékkal volt drágább a jonatán alma kilója a goldenéhez képest? b) Mennyi bevételhez jutott a zöldséges, ha a teljes mennyiséget eladta? c) A zöldségeshez kiszállított árukészlet alapján számítsa ki, hogy átlagosan mennyibe került nála 1 kg alma! 29

2. 4. 8. mintafeladat (folyt. ) d) Ábrázolja kördiagramon a zöldségeshez érkezett alma mennyiségének fajták szerinti megoszlását! A jonatán alma mérete kisebb, mint az idaredé, így abból átlagosan 25%-kal több darab fér egy ládába, mint az idaredből. Rakodásnál mindkét fajtából kiborult egy-egy tele láda alma, és tartalmuk összekeveredett. e) A kiborult almákból véletlenszerűen kiválasztva egyet, mekkora a valószínűsége annak, hogy az jonatán lesz? 30

3. 1. Vándorgyűlési előadás (Rábai Imre) • Ellenőrző példatár • Célpéldatár • Szakanyag-példatár • Tanító példatár – tankönyv alapján, módszerek ismertetése – lehessen könyvből tanulni – követelményekhez kapcsolódjon • Mj: Kinek készüljön a példatár? 31

3. 2. Milyen a jó példatár? (ellentétpárok) 1/3 • Tartalom mennyisége, minősége (cél: minél tágabb) terjedelem (minél szűkebb, jobban kézbe vehető, lapozható) tömeg (minél könnyebb) minél olcsóbb • Külalak, esztétika olcsó • színes fekete-fehér (olcsó ár) • szöveg aránya képek aránya, minősége • (pl. a szórakoztató képek problémája: számuk nem mehet a terjedelem és a tartalom rovására) 32

3. 2. Milyen a jó példatár? (ellentétpárok) 2/3 • • Szakszöveg, nyelvezet problémája szakmailag precíz ne legyen érthetetlen vagy túl bonyolult (pl. TK. definíciók örök problémája: mit, mennyire precízen, hogyan tálalva) unalmas (száraz) érdekes (de szakmai) játékos komoly 33

3. 2. Módszertani problémák (pl. definíciók) 3/3 • definíciók: ellenőrzés, rögzítés, egyszerű alkalmazás, ill. ezek aránya terjedelmi korlátok; cél (gyakorló példatár); széles rétegű használhatóság • Mj: a problémák módszertani szerepe - def. számonkérése – ismétlési funkció - Ksz I: tesztjelleg – definíciók iránti érzékenység 34

3. 3. Kihez szól a példatár? 1/3 • 1. 2. 3. 4. Természetesen: középiskolai tanulókhoz és tanárokhoz Elvek Minden gyerekhez és minden típusú, minden színvonalú iskolához szólnia kell. Otthoni tanulásban használható legyen. Tanári munkát könnyebbé tegye. Emberi tényező (kollegalitás) 35

3. 3. Kihez szól a példatár? 2/3 Nehézségek (ideális példatár) Átfogás: • Nincs két egyforma iskola, osztály, gyerek (sőt a tanár stílusától is függ) - PISA 2000 iskolák közötti különbségek óriásiak (területi és típus szerint) - (nagyon meredek a szocioökonómiai lejtő) széles terjedelem átfogása szükséges 36

3. 3. Kihez szól a példatár? 3/3 • • Emelt szint – középszint problémája Tisztázott a tartalmi követelményrendszer Az érettségin kitűzendő feladatanyag még nem körvonalazott (kevés példa) A minőségi követelményrendszer még nem kialakult A jelentkezők aránya még nem dőlt el (lehet, hogy nem is fog) 37

4. 1. Lehet-e (biztosan) jobb példatárat készíteni a réginél? • Elődök karrierje: rendkívül sikeres őspéldatárak Átdolgozási (modernizálási) indokok: • követelmények változása (tartalom, szint, felesleges témák, ill. új témák) • módszertan (tanító típusú, folyamatosan használható, rövidebb, lényegre törőbb) • feldolgozás módja (régi témák más kibontása) • feladatanyag, nyelvezet frissessége • szórakoztatási és ismeretterjesztési elv • esztétikai szempontok 38

4. 2. Jellemzők – felépítés, módszertan 1/2 • Gyakorló és érettségire felkészítő példatár • Cél: a tanító típusú példatár (a szerzők gyakorló tanárok – egységes véleménnyel) • Témakörök szerint strukturált (PT) • Tematikus építkezés iránya: bevezető – gyakorló – ismétlő – ellenőrző feladatok – alkalmazások, összetett feladatok – próbasorok • Fontos: nem lehet pl. az összetett feladatokra közvetlenül összetett feladatokkal készülni! 39

4. 2. Jellemzők – felépítés, módszertan 2/2 • Lineáris és spirális felépítés problémája • Folyamatos haladás, de: - szükséges a válogatás (az anyag mennyisége, a tanulói sokszínűség miatt) - építeni kell a korábban (és a tankönyvben) tanultakra • A kereszthivatkozások módszertani szerepe (kitűzés, ill. megoldáskor) 40

4. 3. Jellemzők – feladatanyag 1/4 • Tartalmi illeszkedés a követelményekhez és a módszertani célkitűzésekhez • Pl. a gyakorló feladatok arányainak problémái: - Ksz/I. rész (teszt jelleg) - „favágó” példák mennyisége - Ksz, Esz aránya (nem prognosztizálható) - gyakorlati, életközeli példák • érettségi próbafeladatsorok • összetett, ill. léptető feladatok • versenyfeladatok • Esz szóbeli vizsga 41

4. 3. Jellemzők – feladatanyag 2/4 • • Kompetenciák, készségek fejlesztése: Információ kezelése; képlet értelmezése; modellek felállítása, tervezés; számítógép alkalmazása. Szórakoztató, játékos, feladatok (a matematika megszerettetése) - tudománytörténet; - érdekes (modern) példák; - nyelvezeti frissesség. 42

4. 3. Jellemzők – feladatanyag 3/4 Ksz – Esz problémája (PT) • Minősítés: 1. tartalom 2. megoldási módszer 3. gondolati nehézség 4. „építkezési pozíció” • Bizonyítások KSz-en: vizsgán nincs, tanítás folyamán (építkezés) igen • Mj: É felkészítő és gyakorló példatár - a példatárban vannak bizonyítások Ksz-en 43

4. 3. Jellemzők – feladatanyag 4/4 • • • Szaknyelvi problémák pl. sor fogalma prím definíciója részhalmaz, valódi részhalmaz Viete-formulák (többszörös gyökök) kombinatorika: pl. IP jelölése, alkalmazása halmazok Descartes-szorzata teljes indukció 44

4. 4. Jellemzők - megoldások • • Megoldások közlése Módszertani érv: segítség a tanításban (használhatóság, gyorsítás) segítség a tanulásban hátrány (? ): tanulói munka visszafogása (? ) Kereszthivatkozások, szerkesztettség (szakmai egység) • Megoldás CD (PT) - számítógépes diákmunka (élményszerű? ) - De: írásbeli megoldáskötet nem pótolható (PT) 45

4. 5. Módszertani elvek 1/2 • Gyakorlás: - új típusú feladatok - új szerkezetű érettségi feladatsorok - (esetleg) közös javítás • Készülés a szóbelire - tanulók „beszéltetése” - iskolai gyakorlás (nőtt a tanári munka) 46

4. 2. Módszertani elvek 2/2 • Összefoglalva: - az alapokat nagyon meg kell tanítani (minimumszint; legyen mire építeni) - gondolkodni tanítsunk (kompetenciák) - fontos a szövegértés gyakorlása (!) • Haladás, építkezés: - középszintű emelt szintű példák - egyszerű f. összetett f. alkalmazások „Az életet olyan komoly feladatnak kell tekintenünk, melynek megoldására csak egyszer áll rendelkezésünkre néhány évtizednyi idő. ” Sir Thomas More (1478 – 1535) 47

5. 1. Érettségi vizsgakövetelmények (Másodfokú egy, egy. rsz. ) • • Középszint Egyismeretlenes mf. egy. általános alakja A diszkrimináns fogalma Megoldóképlet alkalmazása Teljes négyzetté alakítás módszere A gyöktényezős alak alkalmazása Törtes egyenletek, szöveges feladatok Egyenletrendszerek megoldása 48

5. 1. Érettségi vizsgakövetelmények (másodfokú egy, egy. rsz. ) Emelt szint: • Biz: megoldóképlet • Biz: gyökök és együtthatók közötti összefüggések • Paraméteres feladatok 49

5. 1. Érettségi vizsgakövetelmények • Magasabb fokú egyenletek (Ksz) - Egyszerű, másodfokúra visszavezethető egyenletek megoldása • Négyzetgyökös egyenletek (Ksz) = cx + d típus megoldása 50

5. 1. Érettségi vizsgakövetelmények • Magasabb fokú egyenletek (Esz) • Másodfokúra visszavezethető egyenletrendszerek megoldása • Értelmezési tartomány, értékkészlet vizsgálata, szorzattá alakítás; összetett feladatok • Négyzetgyökös egyenletek (Esz) • Két négyzetre emelés 51

5. 1. Érettségi vizsgakövetelmények - egyenlőtlenségek Középszint: • Egyenlőtlenségek alaptulajdonságai (mérlegelv alkalmazása) • Első- és másodfokú, egyszerű egyism. egyenlőtlenségek, egyn. rendszerek • Két pozitív szám sz-m-közepének ismerete, alkalmazása 52

5. 1. Érettségi vizsgakövetelmények - egyenlőtlenségek • Emelt szint: • Összetett feladatok megoldása • Számított középértékek és ismerete, nagyságrendi tétel • Feladatmegoldás a sz-m-közép közötti összefüggés alapján • Biz: Két pozitív szám sz-m-közepe 53

5. 2. A könyv tartalomjegyzéke • Másodfokú egy, egyrsz, egyn. • Másodfokú egyenletek • Összef. a gyökök és együtthatók között • Másodfokú egyenletrendszerek • Szöveges feladatok • Vegyes feladatok • Másodfokú egyenlőtlenségek • Paraméteres és összetett egyn. 54

5. 2. A könyv tartalomjegyzéke Később: • Magasabbfokú egyenletek • Irracionális egyenletek, egyenlőtlenségek • Abszolútértékes egyenletek, egyenlőtlenségek (!) 55

6. 1. Feladatválogatás a középszintű központi sorokból 1/2 • • • 03 PKsz II/11. b) 04 PKsz II/14. b) 2 3 x+1 = 33 – 9 x 04 PKsz II/16. b) lg(7 x 2– 8) – lg(7 x– 12)=1 05 Ksz II/13. cos 2 x + 4 cosx = 3 sin 2 x 05 Pót. Ksz II/13. b) 05 okt. Ksz II/16. b) 2 cos 2 x = 4 – 5 sinx 56

6. 1. Feladatválogatás a középszintű központi sorokból 2/2 • 05 Ism. Ksz 16. k: x 2 + y 2 + 2 x – 2 y – 47 = 0 egyenletű kör b) Határozza meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát! c) Legyenek A(7; 7) és B(0; 0) egyenlő szárú háromszög alapjának végpontjai. A háromszög C csúcsa rajta van a k körön. Számítsa ki a C csúcs koordinátáit! 57

6. 2. Feladatválogatás az emelt szintű központi sorokból 1/7 • • 03 PEsz II/5. 16 x 2 – (8 cosy)x + 1 = 0 03 PEsz II/6. b) k 2 – 3 k = p 2 (diof. ) 04 PEsz II/5. log 3 x 3 + 4 log 9 x 3 = 6 05 Esz I/3. Egy növekedő számtani sorozat első három tagjának összege 60. Az első tagot 64 -gyel növelve, a másik két tagot változatlanul hagyva, egy mértani sorozat első három tagjához jutunk. Mennyi a két sorozat első három tagja? 58

6. 2. Feladatválogatás az emelt szintű központi sorokból 2/7 05 Esz II/6. Tekintsük a valós számokon értelmezett f(x) = (p – 3, 5)x 2 + 2(p – 2)x + 6 függvényt, ahol p tetszőleges valós paraméter! a) Mutassa meg, hogy tetszőleges p érték mellett az x = – 2 zérushelye a függvénynek! b) Milyen p értékek esetén lesz a függvény másik zérushelye 1 -nél nagyobb? 59

6. 2. Feladatválogatás az emelt szintű központi sorokból 3/7 • 04 PEsz II/7. Két tesztautó egyszerre haladt át a startvonalon, majd ugyanazon az egyenes úton folytatta útját. Az egyes autók startvonaltól mért távolságát a 0 ≤ t ≤ 90 időintervallumon az f(t) = 900 – (t – 60)2/4 és a g(t) = 20 t/3 képlettel megadott függvény írja le, ahol az időt másodpercben, a távolságot méterben mérjük. 60

6. 2. Feladatválogatás az emelt szintű központi sorokból 4/7 a) Ábrázolja közös koordináta-rendszerben az f és g függvényeket! b) Mekkora távolságra voltak a startvonaltól az autók a mérés kezdete után 1, 5 perccel? c) Fogalmazza meg, hogy mit ír le a f − g függvény! d) Határozza meg számítással azt a pillanatot, amelyben a mérés során a két autó a legtávolabb került egymástól! 61

6. 2. Feladatválogatás az emelt szintű központi sorokból 5/7 • 05 Esz II/9. Az ABC háromszög oldalai AB = 42, BC = 40 és CA = 26. Írjunk téglalapot a háromszögbe úgy, hogy a téglalap egyik oldala illeszkedjen a háromszög AB oldalára, másik két csúcsa pedig a háromszög CA, illetve BC oldalára essen. Tekintsük az így beírható téglalapok közül a legnagyobb területűt! Mekkorák ennek a téglalapnak az oldalai? 62

6. 2. Feladatválogatás az emelt szintű központi sorokból 6/7 • 05 okt. Esz I/1. a) Egy háromszög két csúcsa A(8; 2), B(– 1; 5), a C csúcs pedig illeszkedik az y tengelyre. A háromszög köré írt kör egyenlete: x 2 + y 2 – 6 x – 4 y + 12 = 0. Adja meg a háromszög oldalfelező merőlegesei metszéspontjának koordinátáit! • 05 Esz II/7. = 63

6. 2. Feladatválogatás az emelt szintű központi sorokból 7/7 • 05 okt. Esz I/4. f: [0; 7] R, f(x) = x 2 – 6 x + 5 a) Ábrázolás; b) értékkészlet; c) x 2 – 6 x + 5 = p megoldásszáma. 64

6. 3. Párhuzamos feladatválogatás a példatárból 1/4 • E 1. 833. Hogyan függ a p paramétertől az x 2 + 6 x + 8 = x + p egyenlet megoldásainak száma? • Vö: 1457; ill. 1573, 1593 (abszolút érték) • E 1. 685. Ábrázolás: • a(x) = x 2 – 2 x – 8; • b(x) = x 2 + 2 x – 8; • c(x) = x 2 – 2 x – 8 ; • d(x) = x 2 + 2 x – 8. 65

6. 3. Párhuzamos feladatválogatás a példatárból 2/4 • E 2. 775. Ábrázolás az összetett függvény módszerével: • a(x) = x 2 – 4 x + 3 ; • b(x) = x 2 – 4 x + 3 ; • c(x) = x 2 + 4 x + 3 ; • d(x) = x 2 + 4 x + 3. 66

6. 3. Párhuzamos feladatválogatás a példatárból 3/4 • 03 PEsz II/6. b) k 2 – 3 k = p 2 (diof. ) • Vö. 1428, 1430, ill. 516 (számelmélet) • 04 PEsz II/7. Tesztautók feladata • Vö. 1384. • 03 PEsz II/5. • Vö. Geo. 3335. 16 x 2 – (8 cosy)x + 1 = 0 67

6. 3. Párhuzamos feladatválogatás a példatárból 4/4 • E 1. Fv. 2. 56. 20 cm hosszú szakasz fölé rajzoljunk két szabályos háromszöget. • t(x) = ? tmax = ? tmin = ? • E 1. Fv. 2. 56. Ue. négyzettel, félkörrel … 68

7. 1. A másodfokú téma tárgyalása 1/4 • • • Másodfokú egyenletek Bevezető fa: 1200 -07. Teljes négyzet: 1208 -15. Megoldóképlet: 1216 -20. Fv. és diszkrimináns: 1221 -28. Egyszerű szöveges fa: 1229 -35. Törtes egyenletek: 1236 -40. 69

7. 1. A másodfokú téma tárgyalása 2/4 • Magasabbfokú helyettesítése: 1241 -46. • Vegyes egyenletek: 1247 -54. Gyökök és együtthatók közötti öf. • Gyöktényezős alak 1255 -58. • Viete-formulák: 1259 -72. • Szimmetrikus polinomok: 1273 -81. 70

7. 1. A másodfokú téma tárgyalása 3/4 • Paraméteres fa. (gyökök): 1282 -85, 86 -89 • Paraméteres fa. : 1290 -96. • Összetett függvények egy. : 1297 -99. Egyenletrendszerek • Típusok szerint: 1300 -03, 04 -07, 08 -12, 13 -16, 17 -20, 21 -24, 25 -30. • Szöveges feladatok: 1331 -37. 71

7. 1. A másodfokú téma tárgyalása 4/4 • 3 ismeretlen: 1338 -40. • Paraméteres egy. rsz. : 1341 -46. • Szöveges feladatok: 1347 -95. • Vegyes feladatok: 1396 -1421. Paraméteres fa: 1422 -38. Spec, pm, ötett: 1439 -58. 72