Fluidodinamica stazionario Moto di un fluido La descrizione

Fluidodinamica

(stazionario)

Moto di un fluido • La descrizione del moto di un fluido è, in generale, molto complessa • Adotteremo la descrizione euleriana del moto: fissiamo l’attenzione su di un punto P(x, y, z) dello spazio e sulla velocità v(x, y, z, t) di un elemento fluido che passa per tale punto • Scopo della dinamica dei fluidi è determinare la funzione v, in base ai principi della meccanica, per tutti i punti in cui si trova il fluido, e per tutti i valori di t 4

Steady=stazionario (gusty=raffiche) Per semplicità studieremo solo fluidi ideali e il moto in regime stazionario, caratterizzato dal fatto che v dipenda solo dalle coordinate spaziali, ma sia costante nel tempo: v=v(x, y, z)

Linee di flusso • Linee di corrente o di flusso: sono linee (traiettorie) percorse da ciascun elemento ideale di volume • In ogni punto hanno la direzione e il verso della velocità v, ne segue che due linee di flusso non possono intersecarsi • Sperimentalmente si possono visualizzare, almeno approssimativamente, iniettando nel fluido polveri particolari che vengano trasportate dalla corrente del fluido 13

Tubo di flusso • Tutte le linee di corrente che passano attraverso una generica superficie attraversata dal fluido, individuano un tubo di flusso • Un condotto chiuso, se riempito completamente di fluido, è un esempio di tubo di flusso, in cui la superficie in questione è una generica sezione del condotto • Per un tubo finito, possiamo definire una superficie laterale e due superfici di base • In situazione stazionaria le linee di flusso non possono intersecare la superficie laterale 14

Portata • La portata ha dimensioni • E l’unità di misura è il m 3/s

Portata: definizione differenziale • Consideriamo un tubo di flusso di sezione d. S (e area d. A) perpendicolare alle linee di corrente • Il volume di fluido che attraversa d. A nel tempo dt è pari al volume del solido di base d. A e altezza vdt d. A v • Se la sezione è finita, la portata relativa è data dall’integrale esteso a tutta la sezione La portata ha dimensioni 16

Portata, flusso, corrente • Il concetto di portata in idrodinamica e` analogo al concetto di flusso e di corrente in altri ambiti • Portata volumica Supposta la velocita` uniforme attraverso la superficie • Flusso di massa • Corrente elettrica • Ove e` la densita` di corrente 17

Equazione di continuita` • Supponiamo che il tubo di flusso cambi sezione • Siano d. S 1 e d. S 2 le sezioni diverse del tubo e consideriamo il volume di fluido contenuto nel tubo tra queste sezioni • In condizioni stazionarie il fluido può soltanto entrare da d. S 1 e uscire da d. S 2 ma non dalla superficie laterale del tubo di flusso • La massa entrante da d. S 1 e quella uscente da d. S 2 sono d. S 1 v 1 dt d. A 1 v 1 d. S 2 d. A 2 v 2 dt v 2 18

Equazione di continuita` • Poiche’ la massa si conserva, esse devono essere uguali • ovvero • Stesse considerazioni per • Per una superficie finita S dovremo integrare i contributi infinitesimi su tutta la superficie • La costanza del flusso di massa prende il nome di equazione di continuita` 19

Conservazione della portata • Se la densita` e` uniforme, la si puo` eliminare dalle eqq. , ottenendo • Cioe`, se il fluido è incompressibile, in un dato intervallo di tempo, tanto volume entra da S 1 quanto ne esce da S 2, in quanto non è possibile che il volume tra le due sezioni vari riducendosi o espandendosi • Ne segue che la portata attraverso le due sezioni è uguale 20

Equazione di continuità Se il fluido è anche incomprimibile (densità costante) si può dimostrare:

Legge di Leonardo • Usando il valore medio della velocità sulla sezione, la portata può scriversi • E su sezioni di area diversa, il teorema precedente diviene • Ovvero area e velocità sono inversamente proporzionali 22

Equazione di continuità (legge di Leonardo)

Densita` delle linee di flusso • Siano N le linee di flusso contenute in un tubo di flusso, la loro densita` superficiale sulle due basi e` • Tali densita` sono quindi inversamente proporzionali all’area della sezione attraversata e, per la legge di Leonardo, direttamente proporzionali alla velocita` del fluido nelle sezioni 24

Legge di Bernoulli Il volume di fluido contenuto tra le sezioni S 1 e S’ 1 e quello contenuto tra S 2 e S’ 2 è S 1 S’ 1 ds 1=v 1 dt Per la legge di Continuità, i volumi sono uguali; le corrispondenti masse sono pure uguali ds 2=v 2 dt z 1 S 2 z 2 S’ 2 25

Legge di Bernoulli (2) • Applichiamo la conservazione dell’energia meccanica alla massa di fluido che al tempo t si trova tra S 1 e S 2 e al tempo t+dt si trova tra S’ 1 e S’ 2 • Poiché siamo in regime stazionario, il fluido compreso tra le sezioni S’ 1 e S 2 non cambia il suo stato di moto • Un cambiamento avviene per le masse contenute tra le sezioni S 1, S’ 1 e S 2, S’ 2 Basterà quindi applicare la conservazione dell’energia alle due masse dm 1, dm 2 Il lavoro delle forze di pressione e di gravità dev’essere uguale alla variazione di energia cinetica S 1 S’ 1 Lavoro della forze di gravità è ds 1=v 1 dt z 1 ds 2=v 2 dt S 2 S’ 2 z 2 26

Legge di Bernoulli (3) Le forze di pressione agiscono sulle sezioni S 1, S 2, e sulle pareti laterali del tubo. Queste ultime compiono lavoro nullo, in quanto in assenza di viscosità la forza è perpendicolare alla superficie laterale e quindi al moto del fluido • Il lavoro delle forze di pressione agenti sulle sezioni è p 1 (a) S 1 S’ 1 • La variazione di energia cinetica è ds 1=v 1 dt (b) ds 2=v 2 dt z 1 S 2 z 2 S’ 2 p 2 27

Legge di Bernoulli(4) Poiche’ cioe’ dividendo (a) e (b) per il volume d. V si ha: Ovvero, vista l’arbitrarietà delle sezioni • I risultati calcolati con questa legge sono casi limite, poiché in un fluido reale bisogna sempre spendere lavoro contro gli attriti • Quindi la variazione di velocità del fluido sarà minore di quanto calcolato 28

Legge di Torricelli • Descrive la velocita` di efflusso di un bacino • Applichiamo Bernoulli notando che la pressione nei punti 1 e 2 e` uguale a quella atmosferica • Quindi 1 • Applichiamo la conservazione della portata alle sezioni 1 e 2 2 Se A 1>> A 2 , la velocita` v 1 e` trascurabile e otteniamo Che e` uguale alla velocita` di caduta libera dalla medesima altezza 29

Tubo di Venturi 2 1 • Serve per misurare la velocita` e la portata di un fluido in un condotto • E` dotato di un manometro differenziale M per la misura della pressione • Applichiamo la legge di Bernoulli alle sezioni 1 e 2, entrambe alla stessa quota media z M da cui • Usando l’eq. di continuita`, possiamo esprimere la velocita` in 2 in termini della velocita` in 1 • Per la velocita` otteniamo

Tubo di Pitot 1 2 • Serve per misurare la velocita` di un fluido, anch’esso e` dotato di un manometro differenziale • Applichiamo la legge di Bernoulli, notando che la velocita`del fluido nel punto 1 e` nulla • Ne segue p 1 e` anche detta pressione totale e p 2 pressione statica, mentre il termine 1/2 rv 2 e` detto pressione dinamica 31

Esercizi di fluidodinamica

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