Elektromagnetinis laukas Pagrindins svokos ir lygtys Elektrodinamika tai

Elektromagnetinis laukas. Pagrindinės sąvokos ir lygtys.

Elektrodinamika - tai makroskopinė elektromagnetinio lauko teorija, kuri nagrinėja elektromagnetinių laukų šaltinius bei jų sukurtų laukų, nutolusių žymiai didesniu atstumu nei atstumas tarp atomų, sąveika. Makroskopinės teorijos pagrindas – Maksvelio lygčių sistema, kuri matematiškai apjungia tarpusavyje laukų vektorius ir jų šaltinius – taškus bei krūvius. Maksvelio elektrodinamikos teorija (1873 m ) apjungė teorinius ir eksperimentinius rezultatus, kurie buvo sukaupti iki 19 a pabaigos, papildė naujomis charakteristikomis (pvz. slinktis), padėjo išvystyt Faradėjaus sukurta artiveikos teorija, numatė elektromagnetinių bangų egzistavimą, apibendrino elektromagnetinius ir optinius procesus. 1886 m Henrikas Hercas eksperimentiškai patvirtino elektromagnetinių bangų egzistavimą, nustatė pagrindines jų savybes, tame tarpe ir EM bangu sklidimo greitį ore.

Pagrindinės sąvokos Elektromagnetinis (EM) laukas – tai ypatinga materijos forma, pasižyminti nenutrūkstamu pasiskirstymu erdvėje, turinti diskrečią struktūra (fotonus), sklindanti vakuume šviesos greičiu, veikianti įelektrintas daleles. Elektrinis krūvis –medžiagos ar kūno savybė, nusakoma savuoju EM lauku ir pasireiškianti sąveikaujant su išoriniu EM laukų. Elektrinis krūvis gali būti teigiamas (pozitronas) ir neigiamas (elektronas). Krūvio ženklas kokybiškai nustatomas sąveikaujant įelektrintiems kūnams. Elektrinis laukas – viena iš EM lauko dalių, kuriamas elektrinių krūvių ar kintamo magnetinio lauko, veikiantis įelektrintas daleles ir nustatomas pagal šį poveikį. Magnetinis laukas – viena iš EM dalių , kuriamas judančių elektros krūvių arba kintamo elektrinio lauko, veikiantis judančias įelektrintas daleles ir nustatomas pagal šį poveikį.

EM lauko poveikis įelektrintoms dalelėm yra kryptingas todėl aprašant šiuos laukus yra naudojami vektoriai. Be pagrindinių, kurie aprašo jėgos poveikį įelektrintai dalelei, papildomai naudojami dar keturi: - elektrinio lauko stipris (V/m); - magnetinė indukcija (Wb/m 2) -elektrinė indukcija (elektrinė slinktis) (C/m 2) - magnetinio lauko stipris (A/m) - aplinkos poliarizacija (C/m 2) - aplinkos įmagnetėjimas (A/m) Visi šie vektoriai erdvėje yra baigtiniai ir nenutrūkstantys.

Elektrinio lauko vektoriai. Elektrinio lauko stipris erdvėje atstumu r nuo šaltinio yra nusakomas Kulono dėsniu ir yra lygus jėgai , kuria elektrinis laukas veikia taškinį teigimą krūvį q 0 nagrinėjamame taške: (1. 1) Čia: Q – krūvis, kuriantis elektrinį lauką - vienetinis vektorius, kurio kryptis Q→q 0 ea – absoliutinė dielektrinė aplinkos skverbtis, apibudinanti elektrine aplinka ir suprantama kaip dielektrine aplinkos konstanta. Kai krūvių saveika nagrinėjama vakuume (laisvojoje erdvėje), vietoje dielektrinės skverbties naudojame elektrine konstanta e 0, kuri suprantama kaip absoliutinė vakuumo dielektrinė skverbtis ir SI sistemoje lygi 10 -9/36 p, (F/m).

Iš (1. 1) lygties išplaukia, kad sukurto to paties krūvio elektrinio lauko stipris bus skirtingas skirtingose aplinkose bei priklausys nuo atstumo iki nagrinėjamojo taško. Veikiant Kulono jėgoms vyksta aplinkos poliarizacija – sudėtingas procesas susijęs su atominę aplinkos sandara. Elektroninė ir orentacinė poliarizacija

Kokybinį poliarizacijos efektą galima įvertinti savitosios poliarizacijos vektoriumi (1. 2) Čia: - vienos molekulės poliarizacijos vektorius; n – molekulių skaičius tūrio vienete; q – teigiamas molekulės krūvis; l – krūvio poslinkis (petis); -vienetinis poslinkio krypties ortas. Aplinkos poliarizacijos efektas pasireiškia tuo kad pirminis elektrinis laukas, sukurtas vakuume iššaukia papildomo elektrinio lauko atsiradimą aplinkoje, kurį sukuria surištieji krūvininkai dėl poliarizacijos.

Tam kad suminį elektrini lauką aplinkoje būtu galima nagrinėti nepriklausomai nuo jos savybių, formaliai įvedamas papildomas elektrinio lauko indukcijos vektorius, kuris su elektrinio lauko stipriu siejamas lygtimis: (1. 3) Iš kitos puses, įvertinant aplinkos poliarizaciją elektrinę indukciją galima užrašyti: (1. 4) Esant nestipriam elektriniam laukui poliarizacijos vektorius yra proporcingas šio lauko stipriui: (1. 5) Proporcingumo koeficientas k vadinamas aplinkos dielektrinių jautriu.

Iš 1. 3 -1. 5 formulių (1. 6) (1. 7) -santykinė dielektrine skverbtis (1. 8) Reikia pabrėžti, kad esant stipriems elektriniams laukams elektrines slinkties, poliarizacijos ir elektrinio lauko stiprumo proporcingumas kinta. Šis pokytis stebimas ir kai kuriose aplinkose.

Magnetinio lauko vektoriai Magnetinė indukcija skaitine verte lygi jėgai, kuria magnetinis laukas veikia vienetinį teigiamą, judantį šiame lauke vienetiniu greičiu statmenai šio lauko linijoms, krūvį. Matematiškai šią jegą galima aprašyti Lorenco jėga: (1. 9) Kulono dėsnis, kuris nusako nejudančio krūvininko sąveika su elektromagnetiniu lauku EM saveika su judančiu krūvininku ir vadinama magnetine jėga Magnetinės jėgos kryptis statmena plokštumai kurioje išsidėstę greičio ir magnetinės indukcijos vektoriai, ir nusakoma kairios rankos taisykle

Analogiškai elektriniam laukui įvedama ir magnetinio lauko stiprio savoka: (1. 10) kur ma – absoliutinė magnetinė aplinkos skverbtis (magnetinė aplinkos konstanta). Jeigu magnetinio lauko indukcija nagrinėjama vakuume ma vadinama vakuumo absoliutine skverbtimi arba tiesiog magnetinė konstanta m 0, kuri SI sistemoje yra lygi 4 px 10 -7 H/m. Magnetinio lauko indukcija priklauso nuo aplinkos sąvybiu. Veikiant išorinėms magnetinems jėgoms medžiaga įsimagnetina, dėl ko atsiranda papildomas magnetinis laukas. Tokiu būdu suminis magnetinis laukas medžiagoje skirsis nuo magnetinio lauko vakuume. Medžiagos isimagnetinimą galima paaškinti tuo kad kiekviena atomą ar molekulę galime nagrinėti kaip elementarųjį srovės rėmelį (apie branduolį sukasi elektronai), kuris turi magnetinį momentą: - magnetinis momentas; I – elementaraus rėmelio srovės stipris S- rėmelio ribojamas plotas - rėmelio ribojamo ploto normalės vektorius.

Atomo orbitinis (melynas) ir savasis (žalias) magnetiniai mommentai

Kai išorinio magnetinio lauko nėra, atomų ir molekulių magnetiniai momentai yra orientuoti chaotiškai taip kad suminis medžiagos magnetinis laukas yra lygus nuliui. Veikiant išoriniam magnetiniam laukui vyksta atomų ir molekulių magnetinių momentų persiorientavimas ir suminis magnetinis momentas tampa nebelygus nuliui. To pasekoje magnetinis laukas medžiagoje ir laisvojoje erdvėje skiriasi. Visi šie procesai apibūdinami įmagnetėjimo vektoriumi, kuris nusako medžiagos tūrio vieneto magnetinį momentą: (1. 12) Čia n – elementariųjų magnetinių momentų skaičius tūrio vienete. Įmagnetėjimo vektoriaus ir magnetinio laukio stiprio matavimo vienetai yra tie patys, tai galime teigti kad įmagnetėjimo vektorius yra proporcingas H vektoriui: (1. 13) Bedimensinis dydis k. M vadinamas aplinkos magnetiniu jautriu. http: //mkp. emokykla. lt/fizika 9 -10/fobjects/view/8

Iš 1. 10 -1. 1. 3 magnetinį lauka medžiagoje galėtume aprašyti: (1. 14) (1. 15) - absoliutinė aplinkos magnetinė skverbtis Kartu su absoliutine magnetine aplinkos skverbtimi elektrodinamikoje dažnai naudojama ir santykinės magnetinės skverbties sąvoka: (1. 16) (1. 17)

Lauko jėgų linijos Aiškumo dėlei elektromagnetiniai laukai gali būti atvaizduojami grafiškai. Kiekvienam lauko vektoriui apibrėžtoje erdvėje konkrečiu laiko momentu brėžiamos linijos, kurių liestinės kiekviename taške nusako vektoriaus kryptį, o linijų tankis – vektoriaus dydį. http: //mkp. emokykla. lt/fizika 9 -10/fobjects/view/6 Elektrinio lauko linijos Magnetinio lauko linijos

Elektrinio lauko jėgų linijos visuomet prasideda teigiamajame krūvyje ir baigiasi neigiamajame arba begalybėje. Magnetinės indukcijos linijos yra uždaros, neturi nei pradžios nei pabaigos. Srovės magnetinio lauko jėgų linijų kryptis nusakoma dešinio sraigto taisykle – sukant sraigtą srovės tekėjimo kryptimi jo rankenėlės sukimasis parodys magnetinės indukcijos kryptį. Nuolatinio magnetinės linijos išeina iš jo „šiaurės“ poliaus ir sueina į „pietų“.

Aplinkų klasifikacija elektrodinamikoje Elektromagnetinio lauko sąveika su aplinka apibūdinama materialiosiomis lygtimis: (1. 18) Tam kad visiškai apibūdinti aplinka reikia įvesti dar viena lygtį kuri aprašo jos elektrinį laidumą, susietą su laisvųjų elektronų galinčių kryptingai judėti elektriniame lauke buvimu bei sukuriančiu elektros srovę. Šios srovės tankis išreiškiamas diferencialine Omo dėsnio išraiška: (1. 19) Kur g - specifinis aplinkos laidumas [S/m] Taigi, kiekviena aplinka charakterizuojama dydžiais ea, ma, g.

Pagal elektrinį laidumą aplinkos skirstomos į laidininkus, puslaidininkius ir dielektrikus. Laisvųjų krūvininkų koncentracija pagal šį eiliškumą mažėja. Idealus laidininkas Idealus dielektrikas Pagal santykinę magnetinę skverbtį aplinkos skirstomos į: Feromagnetikus Paramagnetikus Diamagnetikus m» 1 m >1 m <1 Daugumos dielektrikų e>1, tačiau egzistuoja tokios aplinkos (jonizuotos dujos – plazma), kurių e gali būti mažesnė už vienetą ir netgi į gauti neigiamas reikšmes.

Jei aplinkos parametrai nepriklauso nuo lauko vektorių, jos vadinamos tiesinėmis, kitais atvejais – aplinkos netiesinės. Aplinkos kurių savybės nepriklauso nuo stebimo taško koordinačių (išlieka pastovios) vadinamos vienalytėmis, jei priklauso – nevienalytėmis. Jei aplinkos savybės visomis kryptimis vienodos, aplinka izotopinė, o jei skirtingomis kryptimis yra skirtingos – anizotropinė. Jei aplinkos savybės nesikeičia laike – stacionari aplinka, kitais atvejais nestacionari.

Integralinės Maksvelio lygtys Integralinių Maksvelio lygčių pagrindas – pilnutinės srovės (Ampero) ir elektromagnetinės indukcijos (Faradėjaus) dėsniai bei Gauso teorema. a. Pirmoji lygtis Ją galima nusakyti taip: Magnetinio lauko stiprio vektoriaus cirkuliacija uždaru kontūru lygi pilnutinei srovei veriančiai šį kontūrą. (1. 20) Čia L – kontūras juosiantis plotą S liestinės elementariame kontūro ilgyje dl ir ploto S normalės vektoriai.

Iki Maksvelio pilnutine srove buvo laikyta tik pastovi laidumo srovė I l ir nagrinėtas tik pastovus magnetinis laukas. Maksvelis pasiūlė, kad pilnutinės srovės dėsnis tinka ir kintamiems laukams, su sąlyga kad pilnutinės srovės išraiškoje turi būti slinkties srovė, kuri atsiranda dėl elektrinio lauko kitimo laike. Slinkties srovės tankis: (1. 21) O pati srovė Laidais teka laidumo srovė, o tarp kondensatoriaus plokštelių šios srovės nėra, bet susidaro elektrinis laukas, kurį sukuria plokštelėse esantys krūviai, kintantys laike (kinta jų ženklas ir dydis) Elektrinė grandinė yra uždara – taigi laidumo srovei nutrukus ją pratęsia slinkties srove.

Laidumo ir slinkties srovės panašios tuo kad jas lydi magnetinis laukas, skiriasi – laidumo srovė kryptingas elektringų medžiagos dalelių judėjimas, slinkties –kintamas elektrinis laukas. Laidumo srovę lydi cheminės reakcijos, šiluminiai reiškiniai, o slinkties srovė nesusijusi su energijos nuostoliai. . Įvertinus slinkties srovės tankį ir stiprumą pirmąją Maksvelio lygtį galėtume užrašyti: (1. 22) Pirmosios Maksvelio lygties fizikinė prasme: magnetinis laukas erdvėje susijęs ne tik su šioje erdvėje esančiomis laidumo srovėmis bet ir su kintančių laike elektriniu lauku (slinkties srovėmis).

b. Antroji lygtis Elektrinio lauko stiprio cirkuliacija uždaru kontūru lygi magnetinio lauko srauto kertančio šį kontūrą kitimo spartai: (1. 23) Ši lygtis – tai Faradėjaus elektromagnetinės indukcijos dėsnis, kuris paprastai užrašomas taip: (1. 24) Iki Maksvelio teorijos šis dėsnis buvo taikomas tik realiems kontūrams kurie sujungti laidininkais. Maksvelis pritaikė ši dėsnį bet kokiam net ir įsivaizduojamam kontūrui erdvėje. Minuso ženklas reiškia, kad atsiradusi kontūre evj kuria savo magnetinio lauko srautą, kuris priešingas jį sukūrusiam magnetiniui srautui. Šios lygties fizikinė prasmė yra tame kad elektrinis laukas erdvėje yra susijęs su magnetinio lauko kitimu laike šioje erdvėje.

c. Trečioji lygtis Elektrinės slinkties vektoriaus srautas pro bet kokį uždarą paviršių lygus krūvių esančių šio paviršiaus ribojamoje erdvėje algebrinei sumai. Ši lygtis atitinka Gauso dėsnį: (1. 25) Čia q- krūvis esantis paviršiaus S ribojamoje erdvėje. V- paviršiaus S ribojamos erdves tūris r -elektrinio krūvio erdvinis tankis Fizikinės šios lygties prasmė: elektrinis laukas erdvėje yra susijęs su elektros krūviu esančiu šioje erdvėje. Tai patvirtina, kad elektrinio lauko šaltinis yra elektros krūvis.

d. Ketvirtoji lygtis Magnetinio laiko srautas pro uždarą paviršių yra lygus nuliui (kadangi magnetinių krūvininkų nėra). Matematinė šios lygties išraiška: (1. 26) Vadinasi magnetinio lauko šaltinių negali būti nejudantis krūvis – linijos neturi nei pradžios nei pabaigos. Taigi Magnetinio lauko jėgu linijos yra visada uždaros.

Diferencialinės Maksvelio lygtys Daugeliu atveju praktikoje reikia susieti elektromagnetinio lauko vektorius su juos kuriančiais šaltiniais ar su konkrečiu erdves tašku. Todėl dažnai vartojama ne integralinė o diferencialinė Maksvelio lygčių išraiška. Tam kad pereiti iš integralinės išraiškos į diferencialinę reikia pasinaudoti vektorinės analizės Stokso ir Gauso – Ostrogradskio teoremomis: Stokso teorma: Vektoriaus cirkuliacija uždaru kontūru lygi šio vektoriaus rotoriaus srautui pro šio kontūro ribojama plotą: Gauso – Ostrogradskio teorema: vektoriaus srautas per uždara paviršių lygus šio vektoriaus divergencijai iš šio paviršiaus ribojamo erdves tūrio:

Rotorius -vektorius, apibūdinantis sukamąjį judesį konkrečiame vektorinio lauko taške; vektorinio lauko sūkurys Divergen cija [lot. divergentia — išsiskyrimas], išsiskyrimas iš 1 taško, prasiskyrimas, krypties, srauto šakojimasis. Matematikoje skaliarinis dydis, apibūdinantis vektorinio lauko intensyvumą konkrečiame taške. cirkuliacija [lot. circulatio - judėjimas ratu] – matematikoje vektorių lauko srauto skaitinė charakteristika.

Pritaikius Stokso teoremą pirmajai ir antrajai Maksvelio lygčiai, o Gauso – Ostrogradskio trečiajai ir ketvirtai gauname visas keturias lygtis diferencialinėje formoje: (1. 27)

Tam, kad pilnai aprašyti lauką diferencialinėmis Maksvelio lygtimis reikia įvesti dar viena tolydumo lygtį aprašančia krūvio tvermės dėsnį. Šios lygties pagrindas – ištekančios iš elementaraus tūrio srovės tankis lygus krūvio šiame tūryje mažėjimo spartai: (1. 28)

Pilnoji Maksvelio lygčių sistema a. Pašalinės elektrinės jėgos Jei elektromagnetinį lauką kuria šaltiniai nepriklausantys nagrinėjamai sričiai, jie vadinami pašaliniais. Jie apibūdinami: pašalinės srovės tankio vektoriumi pašalinio erdvinio elektrinio krūvio tankiu Todėl pirmoji ir trečioji Maksvelio lygtys yra papildomos: (1. 29)

Diferencialines jų formos bus: (1. 30) Likusios dvi lygtys lieka nepakitusios, o visa tokiu lygčių sistema vadinama pilnąja nesimetrine sistema.

b. Pašalinės magnetinės jėgos Spendžiant daugelį elektrodinamikos uždavinių analogiškai pašalinėms elektrinėms jėgoms yra įvedamos fiktyvios magnetinės srovės ir krūviai. Jie apibūdinami: pašalinės magnetinės srovės tankio vektoriumi tūriniu magnetinio krūvio tankiu , kuris matuojamas V/m 2 , matuojamu V/m 3 Pagal analogija elektriniams krūviams, magnetinėms srovėms galėtume užrašyti tolydumo lygtį: (1. 31) Reikia nepamiršti, kad gamtoje vieno ženklo magnetiniu „krūvininkai“ neegzistuoja, tačiau magnetiniai dipoliai gali būti lyginami su elektriniais dipoliais.

Tokiu fiktyvių magnetinių srovių ir krūvių įvedimas leidžia antrąją ir ketvirtąją Maksvelio lygtis užrašyti paprastesnėje integralinėje formoje: (1. 32) arba diferencialinėje: (1. 33) Maksvelio lygčių sistema įvertinus elektrines ir magnetines pašalines jėgas vadinama pilnąja simetrine sistema.

Maksvelio lygčių sistema kompleksinėje formoje Analizuojant harmoninius elektrodinaminius procesus patogu naudotis nagrinėjamų dydžių simbolinį įsivaizdavimo metodą. Kintantys laike laukai: Tada Maksvelio lygtis supaprastėja ir įgauna tokį pavidalą: (1. 34) Čia w-harmoninio proceso dažnis.

Lyginant su pradinėmis Maksvelio lygtimis kurios šiuo atveju turėtų laikinę priklausomybę ejwt, (1. 34) lygčių sistema yra išdiferencijuota laiko atžvilgiu ir padalinta iš ejwt. Tokiu būdu esant harmoninėms laikinėms priklausomybėms diferencijavimo laike operacija Maksvelio lygčių sistemoje keičiama į daugybą iš pastovaus daugiklio jw. Uždavinių sprendimas tada atliekamas kompleksinėje formoje, o momentinė gautoji ieškomo vektoriaus vertė tada bus tikrinė kompleksinio skaičiaus dalis padauginta iš pastovaus daugiklio.

Jeigu pirmoje (1. 34) lygčių sistemos lygtyje laidumo srovės tankio ir elektrinės indukcijos vektorius išreikštume per materialiąsias lygtis (1. 18) ir (1. 19) tai: arba (1. 35) - absoliutinė kompleksinė dielektrinė skverbtis;

Realioji skverbties dalis charakterizuoja slinkties srovių tankį, o menamoji – laidumo sroves: jei ea 1>> ea 2 – dielektrinė aplinka; jei ea 1≈ ea 2 – puslaidininkis; jei ea 1 << ea 2 – laidininkas; Kadangi menamoji kompleksinės skverbties dalis priklauso nuo dažnio, tai laidumo supratimas tampa sąlyginis, t. y ta pati aplinka priklausomai nuo dažnio gali buti ir laidi ir ne, nors jos santykine dielektrine skverbtis ea ir laidumas g išlieka patovūs. Tam kad pilnai nusakyti radiotechnines medžiagas (aplinkas) pakanka nurodyti dielektrinę skverbtį ea ir dielektrinių nuostolių kampo tangentą tgd: (1. 36) (1. 37)

Umovo – Pointingo teorema Lauko šaltiniai (išoriniai taškiniai ar kiti krūviai) atiduoda savo energija elektomagnetiniam laukui, ir ši energija gali virsti įvairios rūšies energija (šilumine, chemine, …) ar lauko pernešta į kitus erdves taškus arba virsti elektromagnetinio lauko energija. Galima užrašyti galios balanso lygtį: (1. 38) Čia: Pis – išorinio šaltinio išspinduliuota galia; PT – Šiluminių nuostolių galia PSp – peršama energijos galia spinduliavimo būdu PE – elektromagnetinio lauko energijos galia. Šios teoremos įrodymas slypi pirmoje ir antroje Maksvelio lygčių diferencialinėje formoje kurioje naudojami pašalinių elektros ir magnetinių srovių šaltiniai.

Iš lauko vektorių teorijos Gausime Suintegruojame pagal tūrį ir iš (1. 39)

Tai matematinė Umovo –Pointingo teoremos išraiška Pašalinių šaltinių galią (minusas rodo kad ši galia yra išspinduliuojama iš riboto tūrio erdvės) Šiluminius spinduliavimo nuostolius (erdvė kurią nagrinėjame gali įkaisti) – tai parodo tolydinis integralas ir pointegrlinė išraiška, kuri dar yra žinoma kaip diferencialinė Džiaulio – Lenco dėsnio išraiška.

Šių dviejų pointegralinių narių sudėtis reiškia elektromagnetinio lauko energijos kitimą laike nagrinėjamoje erdvėje. - Elektrinio lauko energijos tankis - Magnetinio lauko energijos tankis

Galios srauto tankio vektorius, matuojamas VA/m 2. Jis dar vadinamas Pointingo vektoriumi, kuris nusako elektromagnetinio lauko pernešamos energijos dydį ir kryptį. Pointingo vektoriaus integralas uždaru paviršiumi nusako galia pernešamą pro šį paviršių. Priklausomai nuo šio integralo ženklo energija arba išeina pro paviršių iš nagrinėjamo tūrio arba pro jį ateina į paviršiaus ribojamą tūrį.