Edy Mulyanto Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu

Edy Mulyanto

*Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu fungsi pada suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui *cara menentukan harga fungsi f dititik x* ε [x 0, xn] dengan menggunakan informasi dari seluruh atau sebagian titik-titik yang diketahui ( x 0, x 1, …. , xn) x x 0 x 1 x 2 ……. xn f(x) f(x 0) f(x 1) f(x 2) ……. f(xn)

* Interpolasi Linier * Interpolasi Kuadrat * Interpolasi Lagrange * Interpolasi Newton

*Misalkan ada m bilangan : x 1, x 2, …. , xm dan bilangan lain yang berkaitan : y 1, y 2 , …. , ym *maka masalahnya : berapa harga y* pada y x* ε [xk, xk+1] ? yk+1 ? y* yk xk x* xk+1 x

* Ambil ruas garis yang menghubungkan titik (xk, yk) dan (xk+1, yk+1) * Diperoleh persamaan garisnya : Persamaan (1) :

* * Jadi persamaan garisnya adalah : y yk+1 ? y* yk xk x* xk+1 x

* * Perkirakan jumlah penduduk Amerika Serikat pada tahun 1968 berdasarkan data tabulasi berikut : Tahun 1960 1970 Jumlah Penduduk (juta) 179, 3 203, 2 Dengan menggunakan Persamaan (1) : 1968 -1960 Y(1968) = 179, 3+ _____(203, 2 -179, 3) = 198, 4 1970 -1960 Jadi taksiran jumlah penduduk AS pada tahun 1968 adalah 198, 4 juta.

* Diketahui data sebagai berikut : x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 Tentukan harga y pada x = 6, 5 ! Jawab : x = 6, 5 terletak antara x=6 & x=7 Hasilnya

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49 *Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut !! *Mana yang mendekati jawaban yang sesungguhnya. . ? ? *Karena hub. x & y adalah y = x 2 maka untuk harga x = 6, 5 didapat y = (6, 5)2 = 42, 25 => Kesalahan mutlak (E) : |42, 5 – 42, 25| = 0, 25

* *Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier *Untuk itu digunakan polinomial lain yg berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya *Caranya : - Pilih 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui ke - 3 titik tsb. , shg dpt dicari harga fgs. pada x = x* - Pemilihan ke-3 ttk tsb. , dapat : - xk-1 < xk+1 atau - xk-1 < x* < xk+1

* P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 …. . (1*) 3 titik (xk-1, yk-1), (xk, yk) & (xk+1, yk+1) dilalui fgs. P(x) berarti: yk-1 = a 0 + a 1 xk-1 + a 2 xk-12 ……………. (2*) yk = a 0 + a 1 x k + a 2 x k 2 yk+1 = a 0 + a 1 xk+1+ a 2 xk+12 => Akan diperoleh dari 3 pers. yaitu a 0, a 1 dan a 2 kemudian subst. ke (1*) & diperoleh pers. kuadrat, shg dapat dicari nilai fgs. untuk x = x* yaitu P(x*) = a 0 + a 1 x* + a 2 x*2

* * Diberikan titik ln(8. 0) = 2. 0794, ln(9. 0) = 2. 1972, dan ln(9. 5) = 2. 2513. Tentukan nilai ln(9. 2) dengan interpolasi kuadratik. * Penyelesaian: * Sisten persamaan lanjar yang terbentuk adalah a 0 + 8. 0 a 1 + 64. 00 a 2 = 2. 0794 a 0 + 9. 0 a 1 + 81. 00 a 2 = 2. 1972 a 0 + 9. 5 a 1 + 90. 25 a 2 = 2. 2513 * Penyelesaian sistem persamaan dengan metode eliminasi Gauss menghasilkan a 0 = 0. 6762, a 1 = 0. 2266, dan a 3 = -0. 0064. * Polinom kuadratnya adalah p 2(x) = 0. 6762 + 0. 2266 x - 0. 0064 x 2 * sehingga p 2(9. 2) = 2. 2192

* *Interpolasi Lagrange adalah satu formula untuk interpolasi berselang tidak. Walaupun demikian dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama.

* Jika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dg y(x) x 0, x 1, …. , xn : nilai x dan y 0, y 1, …. , yn : nilai y

* Nilai yg. berkorespondensi dengan y = X 10 log x adalah : 300 304 305 307 2, 4771 2, 4829 2, 4843 2, 4871 Carilah 10 log 301 ? Untuk menghitung y(x) = 10 log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi x 0 = 300 x 1 = 304 y 0 = 2, 4771 y 1 = 2, 4829 x 2 = 305 x 3 = 307 y 2 = 2, 4843 y 3 = 2, 4871