Derivada de una funcin compleja La reglas de

Derivada de una función compleja

La reglas de derivabilidad: : (c f)/ = c f/ (f+g)/ = f/ + g/ (f g)/ = f/ g + f g/ (f/g)/ = (f/ g - f g/)/g 2 2

Regla de L'Hôpital: Si f(z 0) = 0 y g(z 0) = 0 y las funciones son diferenciables en z 0 con g'(z 0) diferente de 0, entonces: 3

Derivada de Funciones complejas Ejemplo 4

Ecuaciones de Cauchy-Riemann 1 5

Ecuaciones de Cauchy-Riemann 2 6

Ecuaciones de Cauchy-Riemann: 7

Las ECR son una condición necesaria para la derivabilidad. 8

Analizar diferenciabilidad 9

Condiciones suficientes de derivabilidad Sea f(z) = u(x, y) + iv(x, y) definida en un entorno del punto z 0= x 0 + iy 0, Si: • u’(x, y) y v’(x, y) existen en el entorno de ese punto y son continuas en z 0. • Se cumple las ECR en z 0 Entonces la derivada f’(z) en z 0 existe. 10

Funciones analíticas u holomorfas Una función f(z) es analítica (u holomorfa) en un abierto A si posee derivada en todo punto de A.

Teorema Sea f(z) es analítica en un dominio D sii u(x, y) y v(x, y) poseen primeras derivadas parciales continuas en D y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann: 12

Analizar f(z)=1/z

(1) Las funciones polinómicas son analíticas en todo punto? (2) La funciones racionales donde g(z) y h(z) son polinomios, son analíticas? 14

Puntos singulares Una singularidad o punto singular de f (z) es un punto zo en el cual f (z) no es analítica, pero es analítica en algún punto de todo entorno de z 0. 15

Polos Un polo de orden n de f (z) es un punto z 0 para el cual se cumple: 16

Funciones armónicas Si f(z)=u(x, y)+i v(x, y) cumplen la ec. de Laplace. 17

Ejemplo: Verificar que u(x, y) = x 2 -y es armónica en todo el plano complejo y encontrar la función armónica conjugada v(x, y). 18