Anvendelser I Leg og spil 1 Plan Leg

Anvendelser I Leg og spil 1

Plan • Leg og spil Ordkvadrater Tomandsspil (Kryds-og-bolle) • Stakke og oversættere Check af parentesstrukturer En simpel kalkulator Indlæsning og beregning af aritmetiske udtryk 2

Ordkvadrater Problem: Givet et kvadrat bestående af bogstaver samt en ordbog. Find alle de ord i kvadratet, der optræder i ordbogen. Ordene læses vandret, lodret eller diagonalt i enhver retning (i alt 8 retninger). Eksempler: tank, an, en, real, te, anke, nota, ral, ro, et, ark, kok 3

Løsningsalgoritmer Ineffektiv algoritme: for ethvert ord W i ordbogen for enhver række R for enhver søjle C for enhver retning D afgør om W findes i række R, søjle C og retning D Antag R = C = 32 og W = 40, 000 Antal ordsammenligninger i indre løkke: 40, 000*R*C*8 = 327, 680, 000 4

Forbedret algoritme: for enhver række R for enhver søjle C for enhver retning D for enhver ordlængde L afgør om de L tegn i række R, søjle C og retning D findes som et ord i ordbogen Antal check i indre løkke (antag L = 20): R*C*8*L = 32*32*8*20 = 163, 840 Hvis hvert opslag i ordbogen foretages med binær søgning maksimalt 163, 840 * (Îlog 240, 000˚ + 1) = 163, 840 * 16 = 2, 621, 440 ordsammenligninger. For eksemplet her er algoritmen blevet cirka 125 gange hurtigere. 5

Yderligere forbedret algoritme: for enhver række R for enhver søjle C for enhver retning D for enhver ordlængde L afgør om de L tegn i række R, søjle C og retning D findes som et ord i ordbogen hvis de ikke udgør et præfiks for noget ord i ordbogen, så break; // ud af den inderste løkke Om de L tegn udgør et præfiks for et ord i ordbogen kan afgøres ved binær søgning. 6

Implementering i Java int solve. Puzzle() { int matches = 0; for (int r = 0; r < rows; r++) for (int c = 0; c < columns; c++) for (int rd = -1; rd <= 1; rd++ ) for (int cd = -1; cd <= 1; cd++) if (rd != 0 || cd != 0 ) matches += solve. Direction(r, c, rd, cd); return matches; } 7

int solve. Direction(int r, int c, int rd, int cd) { int num. Matches = 0; String chars = "" + the. Board[r][c]; for (int i = r + rd, j = c + cd; i >= 0 && j >= 0 && i < rows && j < columns; i += rd, j += cd) { chars += the. Board[i][j]; int index = prefix. Search(the. Words, chars, num. Entries); if (!the. Words[index]. starts. With(chars)) break; if (the. Words[index]. equals(chars)) { num. Matches++; System. out. println("Found " + chars + " at " + r + " " + c + " to " + i + " " + j ); } } return num. Matches; } 8

int prefix. Search(String[] a, String chars, int n) { int low = 0; int high = n - 1; while (low < high) { int mid = (low + high)/2; if (a[mid]. compare. To(chars) < 0) low = mid + 1; else high = mid; } return low; } 9

Spil 10

Kryds-og-bolle (Engelsk: Tic-tac-toe) . . . Bolle vinder Uafgjort . . . Kryds vinder 11

Mini-max strategien 1. Hvis stillingen er en slutstilling, så returner dens værdi. 2. Ellers, hvis det er computeren til at trække, så returner den maksimale værdi af alle de stillinger, der fremkommer ved at udføre et træk. Værdierne beregnes rekursivt. 3. Ellers, hvis det er mennesket til at trække, så returner den minimale værdi af alle de stillinger, der fremkommer ved at udføre et træk. Værdierne beregnes rekursivt. 12

Mini-max strategien udfører megen overflødig søgning C 1 C 2 C 3 maksimer uafgjort H 2 A H 2 B uafgjort H 2 C H 2 D minimer Beskæring: C 2 kan aldrig blive bedre end “uafgjort”. 13

Alpha-beta-beskæring Trækket H 2 A kaldes en gendrivelse af trækket C 2. Trækket er godt nok, men ikke nødvendigvis det bedste. alpha: Den hidtil bedste værdi opnået af computeren. beta: Den hidtil bedste værdi opnået af mennesket. Beskæring sker (1) hvis mennesket opnår en værdi, der er mindre end eller lig med alpha. (2) hvis computeren opnår en værdi, der er større end eller lig med beta. 14

public Best choose. Move(int side, int alpha, int beta) { int best. Row = 0, best. Column = 0; int value, opp; if ((value = position. Value()) != UNCLEAR) return new Best(value); if (side == COMPUTER) { opp = HUMAN; value = alpha; } else { opp = COMPUTER; value = beta; } Outer: for (int row = 0; row < 3; row++) for (int column = 0; column < 3; column++) if (square. Is. Empty(row, column)) { place(row, column, side); Best reply = choose. Move(opp, alpha, beta); place(row, column, EMPTY); if (side == COMPUTER && reply. val > value || side == HUMAN && reply. val < value) { value = reply. val; if (side == COMPUTER) alpha = value; else beta = value; best. Row = row; best. Column = column; if (alpha >= beta) break Outer; } } return new Best(value, best. Row, best. Column); } 15

Driver-rutine Best choose. Move(int side) { return choose. Move(side, HUMAN_WIN, COMPUTER_WIN); } 16

Effekten af alpha-beta-beskæring Beskæringen er størst, når algoritmen i enhver stilling altid undersøger det bedste træk først. I praksis er antallet af knuder, der bliver undersøgt ved brug af alpha-beta-beskæring O( ), hvor N er det antal knuder, der ville blive undersøgt uden brug af alpha-beta-beskæring. På den samme tid kan der søges dobbelt så dybt. 17

Beskæring ved hjælp af tabel Undgå genberegninger ved at gemme evaluerede stillinger i en tabel. To søgninger resulterer i samme stilling. Benyt en hashtabel. 18

class Position implements Hashable { int[][] board; int value; Position(int the. Board[][]) { board = new int[3][3]; for (int i = 0; i < 3; i++) for (int j = 0; j < 3; j++) board[i][j] = the. Board[i][j]; } public boolean equals(Object rhs) { for (int i = 0; i < 3; i++) for (int j = 0; j < 3; j++) if (board[i][j] != ((Position) rhs). board[i][j]) return false; return true; } public int hash(int table. Size) { int hash. Val = 0; for (int i = 0; i < 3; i++) for (int j = 0; j < 3; j++) hash. Val = hash. Val*4 + board[i][j]; return hash. Val % table. Size; } } 19

public Best choose. Move(int side, int alpha, int beta, int depth) { int best. Row = 0, best. Column = 0; int value, opp; Position this. Position = new Position(board); int table. Depth = 5; if ((value = position. Value()) != UNCLEAR) return new Best(value); if (depth == 0) transpositions. make. Empty(); else if (depth >= 3 && depth <= table. Depth) { try { Position lookup. Val = (Position) transpositions. find(this. Position); return new Best(lookup. Val. value); } catch (Item. Not. Found e) {} }. . . this. Position. value = value; if (depth >= 3 && depth <= table. Depth) transpositions. insert(this. Position); return new Best(value, best. Row, best. Column); } 20

En generel pakke til tomandsspil med perfekt information package two. Person. Game; public abstract class Position { public boolean max. To. Move; public abstract Vector successors(); public abstract int value(); public boolean unclear() { return false; } public int alpha_beta(int alpha, int beta, int max. Level); public Position best. Successor() { return best. Successor; } private Position best. Successor; } 21

public int alpha_beta(int alpha, int beta, int max. Level) { Vector successors; if ((max. Level <= 0 && !unclear()) || (successors = successors()). is. Empty()) return value(); for (int i = 0; alpha < beta && i < successors. size(); i++) { Position successor = (Position) successors. element. At(i); int value = successor. alpha_beta(alpha, beta, max. Level-1); if (max. To. Move && value > alpha) { alpha = value; best. Successor = successor; } else if (!max. To. Move && value < beta) { beta = value; best. Successor = successor; } } return max. To. Move ? alpha : beta; } 22

Minimering af kode (nega-max) public int alpha_beta(int alpha, int beta, int max. Level) { Vector successors; if ((max. Level <= 0 && !unclear()) || (successors = successors()). is. Empty()) return (max. To. Move ? 1 : -1) * value(); for (int i = 0; alpha < beta && i < successors. size(); i++) { Position successor = (Position) successors. element. At(i); int value = -successor. alpha_beta(-beta, -alpha, max. Level-1); if (value > alpha) { alpha = value; best. Successor = successor; } } return alpha; } 23

import two. Person. Game. *; public class Tic. Tac. Toe. Position extends Position { public Tic. Tac. Toe. Position(int row, int column, Tic. Tac. Toe. Position predecessor) {. . . } public Vector successors() { Vector successors = new Vector(); if (!is. Terminal()) for (int row = 0; row < 3; row++) for (int column = 0; column < 3; column++) if (board[row][column] == '. ') successors. add. Element( new Tic. Tac. Toe. Position(row, column, this)); return successors; } public int value() { return is. AWin('O') ? 1 : is. AWin('X') ? -1 : 0; } public boolean unclear() { return value() == 0; } public boolean board. Is. Full() {. . . } public boolean is. AWin(char symbol) {. . . } public boolean is. Terminal() {. . . } public void print() {. . . } } int row, column; char[][] board = new char[3][3]; 24

Stakke og oversættere 25

Check af parentesstrukturer Problem: Givet en streng indeholdende parenteser. Afgør om parenteserne ”balancerer”, d. v. s. om der til hver venstreparentes svarer en højreparentes, og der til hver højreparentes svarer en venstreparentes. For eksempel balancerer parenteserne i “[()]”, ikke i “[(])”. men I det følgende forsimples problemet ved at antage, at strengen udelukkende indeholder parenteser. 26

Kun én type parenteser Hvis der kun er én type parenteser, f. eks. ’(’ og ’)’, er løsningen simpel. Vi kan kontrollere balancen med en tæller. boolean balanced(String s) { int balance = 0; for (int i = 0; i < s. length(); i++) { char c = s. char. At(i); if (c == '(') balanced++; else if (c == ')') { balance--; if (balance < 0) return false; } } return balance == 0; } 27

Flere typer af parenteser Hvis derimod er flere typer af parenteser, kan problemet ikke løses ved tællere. Men vi kan let kontrollere balancen med en stak. Algoritme: 1. Lav en tom stak. 2. Sålænge strengen ikke er læst, så læs det næste tegn. a. Hvis tegnet er en startparentes, så læg det på stakken. b. Hvis tegnet er en slutparentes, og stakken er tom, så giv en fejlmeddelelse. c. Ellers, afstak det øverste tegn. Hvis dette ikke er en startparentes svarende til den læste slutparentes, så giv en fejlmeddelelse. 3. Hvis stakken ikke er tom, så giv en fejlmeddelelse. 28

Eksempel parenteser: (, ), [, ], { og } Streng s = "([]}" ( [ ( ( ( [ ] } Fejl! 29

Javakode boolean balanced(String s) { Stack stack = new char. Stack(); for (int i = 0; i < s. length(); i++) { char c = s. char. At(i); if (c == '(' || c == '[' || c == '{') stack. push(c); else if (stack. is. Empty() || (c == ')' && stack. pop() != '(')) || (c == ']' && stack. pop() != '[')) || (c == '}' && stack. pop() != '{')) return false; } } return stack. is. Empty(); } 30

Indlæsning og beregning af aritmetiske udtryk Beregn udtrykket 1*2+3*4 Værdi = (1 * 2) + (3 * 4) = 2 + 12 = 14. Simpel beregning fra venstre mod højre kan ikke benyttes. Vi må tage højde for, at multiplikation har hørere præcedens end addition (* binder stærkere end +). Det er nødvendigt at gemme mellemresultater. 31

Associativitet Hvis to operatorer har samme præcedens, afgør deres associativitet beregningsrækkefølgen. Udtrykket 4 - 3 - 2 beregnes som (4 - 3) - 2, minus associerer fra venstre mod højre. fordi Udtrykket 4 ^ 3 ^ 2, hvor ^ betegner potensopløftning, beregnes som 4 ^ (3 ^ 2), fordi ^ associerer fra højre mod venstre. 32

Parenteser Beregningsrækkefølgen kan klarlægges ved hjælp af parenteser. Eksempel: 1 -2 -4*5^3*6/7^2 ^2 beregnes som (1 -2)-(((4*(5^3))*6)/(7^(2^2))) Parenteserne hjælper, men det er uklart, hvorledes beregningerne kan automatiseres. 33

Postfix-notation Den normale notation for aritmetiske udtryk kaldes for infixnotation (operatorerne står imellem sine operander, f. eks. 3 + 4). Beregningerne kan forenkles ved omskrivning til postfixnotation (operatorerne står efter sine operander, f. eks. 3 4 +). 1 -2 -4^5*3*6/7^2 ^2 (infix) omskrives til 12 -45^3*6*722^^/- (postfix) Postfix-notation er parentesfri. 34

Beregning af postfix-udtryk ved hjælp af en stak 12 -45^3*6*722^^/- 1 1 6 3072 -1 6 18432 -1 * 2 1 2 7 18432 -1 7 (postfix) -1 - 4 -1 4 5 4 -1 5 2 7 18432 -1 2 2 2 7 18432 -1 2 4 7 18432 -1 ^ 1024 -1 ^ 3 1024 -1 3 3072 -1 * 2401 18432 -1 ^ 7 -1 / -8 - 35

class Calculator { static int value. Of(String str) { int. Stack s = new int. Stack(); for (int i = 0; i < str. length(); i++) { char c = str. char. At(i); if (Character. is. Digit(c)) s. push(Character. get. Numeric. Value(c)); // only one digit else if (!Character. is. Whitespace(c)) { int rhs = s. pop(), lhs = s. pop(); switch(c) { case '+': s. push(lhs + rhs); break; case '-': s. push(lhs - rhs); break; case '*': s. push(lhs * rhs); break; case '/': s. push(lhs / rhs); break; case '^': s. push((int) Math. pow(lhs, rhs)); break; } } } return s. pop(); } } class int. Stack { void push(int v) { s[++top] = v; } int pop() { return s[top--]; } int s[] = new int[100], top = -1; } 36

Omformning fra infix til postfix ved hjælp af en stak (Dijkstras vigesporsalgoritme) Infix-streng operander Postfix-streng operatorer Operatorstak 37

Omformning fra infix til postfix 1 -2 -4^5*3*6/7^2 ^2 1 12 -45^3* 12 12 -4 12 - (infix) 12 -4 - - ^ - - 2 - 4 ^ 12 -45^ ^ - * - 5 * 12 -45^3*6*722^^/- 12 -45^3*6*7 12 -45^3*6*72 ^ ^ * - * - / - / - / - 3 * 6 / 7 ^ 2 38

Syntaksanalyse Mål: Et program til indlæsning og beregning af aritmetiske udtryk (AE). Løs et lettere problem først: Læs en streng og undersøg, om den er et lovligt AE. 39

Grammatik for aritmetiske udtryk Benyt en grammatik til at beskrive AE: <expression> : : = <term> | <term> + <expression> | <term> - <expression> <term> : : = <factor> | <factor> * <term> | <factor> / <term> <factor> : : = <number> | (<expression>) Grammatikken er beskrevet ved produktionsregler og består af (1) nonterminale symboler: expression, term, factor og number. (2) terminale symboler: +, -, *, /, ( og ). (3) metasymboler: : : =, <, >, og |. 40

Syntaksanalyse En streng er et aritmetisk udtryk, hvis det ved hjælp af produktionsreglerne er muligt at udlede strengen ud fra expression, dvs. ud fra expression i en række skridt nå frem til strengen ved i hvert skridt at erstatte et nonterminalsymbol med et af alternativerne på højresiden af en produktion for dette symbol. Syntakstræ for (3*5+4/2)-1 expression term - expression factor term ( expression ) term + factor expression factor * factor number 3 number 5 number term 1 factor / factor number 4 number 2 41

Syntaksdiagrammer term: expression: term factor + * - / factor: number ( expression ) 42

Syntaksanalyse ved rekursiv nedstigning (top-down parsing) Et rekursivt Java-program til syntaksanalyse kan konstrueres direkte ud fra syntakstræerne. void expression() { term(); while (token == PLUS || token == MINUS) if (token == PLUS) { get. Token(); term(); } else { get. Token(); term(); } } static final int PLUS MULT LPAR NUMBER int token; = = 1, 3, 5, 7, MINUS DIV RPAR EOS = = 2, 4, 6, 8; 43

void term() { factor(); while (token == MULT || token == DIV) if (token == MULT) { get. Token(); factor(); } else { get. Token(); factor(); } } void factor() { if (token == NUMBER) ; else if (token == LPAR) { get. Token(); expression(); if (token != RPAR) error("missing right paranthesis"); } else error("illegal factor: " + token); get. Token(); } 44

String. Tokenizer str; void parse(String s) { str = new String. Tokenizer(s, "+-*/() ", true); get. Token(); expression(); } Eksempel på kald: parse("(3*5+4/2)-1"); 45

void get. Token() { String s; try { s = str. next. Token(); } catch(No. Such. Element. Exception e) { token = EOS; return; } if (s. equals(" ")) get. Token(); else if (s. equals("+")) token = PLUS; else if (s. equals("-")) token = MINUS; else if (s. equals("*")) token = MULT; else if (s. equals("/")) token = DIV; else if (s. equals("(")) token = LPAR; else if (s. equals(")")) token = RPAR; else { try { Float. value. Of(s); token = NUMBER; } catch(Number. Format. Exception e) { error(”number expected"); } } } 46

Beregning af aritmetiske udtryk Beregning kan opnås ved få simple ændringer af syntaksanalyseprogrammet. Analysemetoderne skal returnere med deres tilhørende værdi (i stedet for void). float value. Of(String s) { str = new String. Tokenizer(s, "+-*/() ", true); get. Token(); return expression(); } Eksempel på kald: float r = value. Of("(3*5+4/2)-1"); 47

float expression() { float v = term(); while (token == PLUS || token == MINUS) if (token == PLUS) { get. Token(); v += term(); } else { get. Token(); v -= term(); } return v; } float term() { float v = factor(); while (token == MULT || token == DIV) if (token == MULT) { get. Token(); v *= factor(); } else { get. Token(); v /= factor(); } return v; } 48

float factor() { float v; if (token == NUMBER) v = value; else if (token == LPAR) { get. Token(); v = expression(); if (token != RPAR) error("missing right paranthesis"); } else error("illegal factor: " + token); get. Token(); return v; } 49

void get. Token() { String s; try { s = str. next. Token(); } catch(No. Such. Element. Exception e) { token = EOS; return; } if (s. equals(" ")) get. Token(); else if (s. equals("+")) token = PLUS; else if (s. equals("-")) token = MINUS; else if (s. equals("*")) token = MULT; else if (s. equals("/")) token = DIV; else if (s. equals("(")) token = LPAR; else if (s. equals(")")) token = RPAR; else { try{ value = Float. value. Of(s). get. Float(); token = NUMBER; } catch(Number. Format. Exception e) { error(”number expected"); } } } 50

Ugeseddel 5 9. oktober - 16. oktober • Læs kapitel 12 og 13 i lærebogen (side 331 -365) • Løs følgende opgaver 5 -1. Opgave 10. 2 5 -2. Opgave 11. 2 5 -3. Opgave 11. 3 5 -4. Løs opgaven på næste side. 51

Møntproblemet En 20 -krone, en 1 -krone og en 25 -øre er lagt på et bræt med 5 felter, som vist nedenfor. 20 10 1 25 Opgaven går ud på at placere mønterne i omvendt rækkefølge i de 4 felter længst til højre på brættet, ved anvendelse af færrest muligt antal træk. 25 1 10 20 I hvert træk flyttes en mønt et felt til højre eller venstre. Mønterne kan stables, men i et træk må kun den øverste mønt i en stabel flyttes, og en mønt må aldrig placeres ovenpå en mønt, der er mindre. Løs denne opgave ved hjælp af et Java-program 52