Yulvi Zaika PD LINEAR TK 2 HOMOGEN PD

Yulvi Zaika

� PD LINEAR TK 2 HOMOGEN � PD LINEAR TK 2 NON HOMOGEN

Sebagai contoh ilustrasi dari perilaku persamaan orde dua, kita ambil contoh kasus dimana b = 0 dan a = 1 Jika c =-1, maka kita akan menemukan solusi dari persamaan y’’ = y c =1

Persamaan karakteristik dengan akar k 1 dan k 2 Kasus 1: k 1 k 2 maka persamaan umum PD Kasus 2: k 1=k 2 maka persamaan umum PD Kasus 3: k 1=a+bi k 2=a-bi maka persamaan umum PD

� PD tereduksi(PR); � PUPL : y=yc +yp � yc= fungsi komplementer (FC)= PUPR � yp = integral partikular

KOEFISIEN TAK TENTU f(x) Yp ekx Aekx cos kx A cos kx + B sin kx Acos kx + B sin kx anxn +. . . +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 Anxn +. . . +A 2 x 2 +A 1 x+A 0 x 2 ekx (A 2 x 2+A 1 x+A 0) ekx cos rx ekx (Acos rx+Bsin rx) ekx sin rx ekx (Acos rx +B sin rx) f 1(x) +f 2(x) yp 1 + yp 2 Catatan: Solusi parsial tidak boleh muncul dalam solusi homogennya. Jika ini terjadi kalikan solusi khusus dengan x atau x 2 sehingga tidak memuat lagi solusi homogennya

CONTAH 1: y’’- 3 y’+2 y = e-x � y’’-3 y’+2 y=0 � yp = Ae-x � Masukkan ke persamaan awal: � PUPL

� yp =Acosx +B sinx yp’= -Asinx + B cosx ; yp’’= -Acosx – B sinx Masukan ke persamaan awal: -Acosx – B sinx – 3(-Asinx + B cosx )+2(Acosx +B sinx)=cosx (A-3 B)cos x +(3 A+B)sin x= cos x maka A-3 B = 1 dan 3 A+B=0 ; A=1/10 dan B= -3/10 � Yp = 1/10 cos x- 3/10 sinx

Contoh 4 1; y(0)=1 : y’’-3 y’+2 y=ex y’(0)=- � y’’-3 y’+2 y=0 � yp = Axex � Masukkan ke persamaan awal: � PUPL

1. y’’-3 y’-4 y=e 2 x 2. y’’-3 y’-4 y=3 x 2+2 3. y’’+4 y=2 sinx 4. y’’-4 y=4 sinx, y=4 , y’’=0 bila x=0

VARIASI PARAMETER � Metode ini digunakan untuk memecahkan persamaan - persamaan yang tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan metode koefisien tak tentu � PUPR � L 1 : dan L 2

Persamaan karakteristik: