MATHEMATICS III TS 4353 CLASS B Integral Rangkap

MATHEMATICS III TS 4353 CLASS B Integral Rangkap Herlina Setiyaningsih Civil Engineering Department Petra Christian University

INTEGRAL RANGKAP DUA Integral garis Integrannya merupakan suatu fungsi f(x) yang terdefinisikan untuk semua x di dalam selang a ≤ x ≤ b pada sumbu x. Integral rangkap dua, integrannya adalah suatu fungsi f(x, y) yang terdefinisikan untuk semua (x, y) di dalam suatu daerah D yang terbatas dan tertutup pada suatu bidang xy. Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

INTEGRAL RANGKAP DUA Y Q d Z = F(Xk, Yk) D A c ΔXk a ΔAk = ΔXkΔYk B ΔYk P b X D dibagi n daerah bagian ΔDk dengan luas ΔAk (k=1, 2, 3, …, n). Diambil titik Z misalkan (xk, yk). Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

D = daerah integrasi D dicakup oleh pertidaksamaan: a ≤ x ≤ b, APB ≤ y ≤ AQB f 1(x) ≤ y ≤ f 2(x) c ≤ y ≤ d, QBP ≤ x ≤ QAP g 1(y) ≤ x ≤ g 2(y) Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Diintegralkan terhadap y dengan menganggap x konstan Diintegralkan terhadap x dengan menganggap y konstan Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE 1 Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE 2 Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE 3 Diketahui a/. Hitung I dan gambarkan daerah integrasinya b/. Ubah urutan integrasinya & hitung nilai I y y=x y = x 3/2 x=y 2/3 1 1 Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra x Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE 3 Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Diketahui: Y x=y 2 y=x 1 0 x=0 y =1 1 X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA Perhitungan Luas Y dx dy Elemen luas d. L = dx dy Luas: D X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi y=2 -x 2 dan y=1 Y Titik-titik potong y = 2 -x 2 = 1 y=1 1 -x 2 = 0 x = -1 or x = 1 D y=1 -1 1 y=2 -x 2 X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x = y 2 dan x+y = 2 Y Titik-titik potong x = y 2=2 -y x= 2 -y y 2+y-2 = 0 (y-1)(y+2)=0 y=1 or y=-2 x = y 2 1 X -2 x + y =2 Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Perhitungan Massa Y ρ= ρ(x, y) dx dy X Rapat massa (untuk pelat tipis tidak punya ketebalan) Elemen massa d. M= ρ dx dy Massa : Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Tentukan massa pelat tipis yang dibatasi y=2√x, sumbu x dan garis x=4 jika rapat massanya sebanding dengan jaraknya terhadap sumbu x. Y y = 2√x y k = konstanta kesebandingan ρ = ky X x=4 Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat Y ρ= ρ(x, y) x dx dy y X • Elemen momen terhadap sumbu x: d. Mx = y ρ dx dy • Momen terhadap sumbu x: Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Elemen momen terhadap sumbu y: d. My = x ρ dx dy Momen terhadap sumbu y: Pusat Massa Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Tentukan pusat massa lamina (lapisan tipis (pelat)) homogen (rapat massanya konstan) yang dibatasi kurva y=x dan y=x 2 Y Titik-titik potong y = x 2=x y= x x 2 -x = 0 x(x-1)=0 x=0 or x=1 y=x 2 y=x D 0 ρ = c (konstan) 1 X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Pusat massa : (1/2, 2/5) Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Perhitungan Momen Inersia Y Elemen momen inersia thd sumbu x: d. Ix= y 2 ρ dx dy Momen inersia thd sb x: ρ= ρ(x, y) dx r dy y x D X Elemen momen inersia thd sumbu y: d. Iy= x 2 ρ dx dy Momen inersia thd sb y: Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Momen Inersia thd titik pusat O Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Tentukan momen inersia terhadap: a/. Sumbu x b/. Sumbu y c/. Titik pusat O yang dibatasi oleh kurva y=x dan y=x 2 Y y=x D Titik-titik potong: y=x 2 x 2=x y=x x 2 -x=0 ρ = c (konstan) x(x-1)=0 x=0 or x=1 X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Perhitungan Volume Z Z= f(x, y) Elemen volume d. V = z dx dy Volume: Y D X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

X Y Z Oktan (ruang) + + + I - + + II - - + III + - + IV + + - V - + - VI - - - VII + - - VIII Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Hitung volume benda yang dibatasi 2 x+3 y+z = 6 di oktan pertama! Z 6 z = 6 – 2 x – 3 y 3 2 Y X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Hitung volume benda di oktan pertama yang dibatasi z=y, y=x 2 dan x=y 2 Y Z y=x 2 x=y 2 z=y y=x 1/2 y=x 2 x=0 x=1 X Y z=y x=y 2 X x=y 2 y=x 2 Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra y=x 2 Matematika III (TS 4353) Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Perhitungan Luas Permukaan Kulit Z Z= f(x, y) Elemen luas permukaan/ kulit: k=? Luas permukaan/ kulit: Y X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Hitung luas permukaan bidang 3 x + 2 y + z = 6 di oktan I Z Y 3 z = 6 - 3 x – 2 y Y 3 x + 2 y = 6 y = (6 -3 x)/2 2 X X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

SISTEM KOORDINAT POLAR/ KUTUB Y x r θ O P(x, y) = P(r, θ) y X Transformasi sistem koordinat kartesius ke sistem koordinat polar: x = r cos θ y = r sin θ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

NILAI JACOBIAN Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Hitung luas daerah yang dibatasi x 2 + y 2 = 4 Y Sistem Koordinat Kartesius 2 X -2 Sistem Koordinat Polar b 2π 2 r Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Hitung momen inersia terhadap titik pusat dari lamina homogen x 2 + y 2 = a 2 di atas sumbu x Sistem koordinat kartesius: x 2+y 2=a 2 -a Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra a Matematika III (TS 4353) Bab 2

INTEGRAL RANGKAP TIGA Z ∆zk f(x, y, z) ∆yk ∆xk Y Diintegralkan thd z dengan menganggap x, y konstan X Diintegralkan thd y dengan menganggap x konstan Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

APLIKASI INTEGRAL LIPAT TIGA Perhitungan Volume Z Elemen volume: d. V = dx dy dz Volume: ∆zk ∆yk ∆xk Y X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Hitung volume benda yang dibatasi tabung x 2 + z 2 = 4, bidang XOZ, bidang y=x, bidang XOY yang terletak di oktan I. Z Y Tabung x 2 + z 2 =4 z=√ 4 -x 2 Bid Y=X y=x Bidang XOZ y = 0 X X 2 Y Bid XOY z =0 Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Perhitungan Massa Z ρ = ∫(x, y, z) = rapat massa Elemen massa: d. M= ρ dx dy dz Massa: dz dy dx Y X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Perhitungan Pusat Massa/ Titik Berat Momen terhadap bidang: Titik Berat: Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Hitung titik berat benda homogen yang dibatasi z=1 -x 2, bid XOY, bid YOZ, bid XOZ dan bid y=2 yang terletak di oktan I! Z z = 1 -x 2 Bidang XOZ y=0 y=2 1 X 2 Y Bidang XOY z=0 Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Perhitungan Momen Inersia Z ρ = ∫(x, y, z) = rapat massa dz dy Momen inersia thd sb x: Momen inersia thd sb y: dx Y Momen inersia thd sb z: X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Hitung momen inersia thd sb x dari balok homogen dgn panjang p, lebar l dan tinggi t, jika ρ = 2! Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

SISTEM KOORDINAT TABUNG Z P(x, y, z)= P(r, θ, z) Y Transformasi Koordinat: x = r cos θ y = r sin θ z=z X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

NILAI JACOBIAN Dengan demikian Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

EXAMPLE Hitung momen inersia terhadap sb z dari tabung homogen x 2 + y 2 = 4 dan tingginya 3. Z Y x 2 + y 2 = 4 X Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2

Sistem koordinat polar Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan Universitas Kristen Petra Matematika III (TS 4353) Bab 2