TEMA 2 EVOLUCIN HISTRICA DE LA GEOMETRA 1

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TEMA 2: EVOLUCIÓN HISTÓRICA DE LA GEOMETRÍA 1 Prof. Dr. Modesto Sierra Vázquez Universidad

TEMA 2: EVOLUCIÓN HISTÓRICA DE LA GEOMETRÍA 1 Prof. Dr. Modesto Sierra Vázquez Universidad de Salamanca

2. 1 Evolución histórica de la Geometría 2

2. 1 Evolución histórica de la Geometría 2

Geometría = Medida de la Tierra. ORIGEN: Civilizaciones del Valle del Nilo y Mesopotamia.

Geometría = Medida de la Tierra. ORIGEN: Civilizaciones del Valle del Nilo y Mesopotamia. Problemas de deslindes de terrenos ---- Teorema de Pitágoras. Esencialmente, es una geometría de medida de terrenos, volúmenes y ángulos. Geometría experimental. BABILONIOS Conocimiento parecido a los egipcios pero con algunas cuestiones especulativas. Cálculo de superficies de polígonos simples. Semejanza de triángulos. HINDÚES Siglo VI a. C. Agrimensura. 3

 GEOMETRÍA RACIONAL El Universo obedece a un plan matemático y mediante las Matemáticas

GEOMETRÍA RACIONAL El Universo obedece a un plan matemático y mediante las Matemáticas el hombre puede descubrir ese plan. PITAGÓRICOS “El número es la medida de todas las cosas” Números en sentido geométrico (triangulares, cuadrados, rectangulares, oblongos, etc. ). Paso al sentido abstracto de número. Aritmética, Geometría, Astronomía y Música. DEMÓCRITO El mundo está compuesto de un número infinito de átomos simples y eternos, que difieren entre sí en la forma, tamaño y dureza y todo objeto es una combinación de esos átomos. Las propiedades de forma, tamaño, dureza, orden y posición eran propiedades de los átomos pero todas las demás no estaban en los átomos sino en el efecto que éstos producían en el perceptor, por lo que el conocimiento sensorial no era fiable y sólo se podía conocer 4 la realidad subyacente mediante las matemáticas.

PLATÓN No solamente intentó comprender la naturaleza mediante las matemáticas sino sustituir la naturaleza

PLATÓN No solamente intentó comprender la naturaleza mediante las matemáticas sino sustituir la naturaleza misma por ellas. ARISTÓTELES Criticó el intelectualismo de Platón y su reducción de la Ciencia a las Matemáticas. Para él las ciencias físicas eran fundamentales y las matemáticas ayudaban en el estudio de la naturaleza describiendo propiedades formales, como la forma y la cantidad. 5

FUNDAMENTACIÓN DE LA GEOMETRÍA Las Matemáticas se ocupan de abstracciones. Se parte de axiomas

FUNDAMENTACIÓN DE LA GEOMETRÍA Las Matemáticas se ocupan de abstracciones. Se parte de axiomas --- verdades evidentes que nadie pone en duda. Aristóteles distinguía entre axiomas, nociones comunes y postulados. Mediante una serie de razonamientos y deducciones llegamos a la conclusión. El razonamiento deductivo, que Aristóteles llamó razonamiento silogístico, podía tener ambas formas y entre sus leyes incluía: Ley de no contradicción (una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo). Ley del tercio excluso (una proposición debe ser o bien verdadera o bien falsa). 6

Se dio una importancia radical a la demostración mediante razonamiento deductivo y se insistía

Se dio una importancia radical a la demostración mediante razonamiento deductivo y se insistía en que era el uso exclusivo del razonamiento deductivo el que conducía a verdades eternas y universales, despreciando otras formas de acceso al conocimiento como la observación y la experimentación. No se sabe claramente qué filósofos o grupo de filósofos impuso la exigencia de la demostración deductiva pero en tiempos de Aristóteles esta exigencia estaba plenamente vigente. Thales de Mileto insistió en que las propiedades geométricas deberían establecerse por razonamientos deductivos y no por hechos experimentales. 7

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OTRAS CONTRIBUCIONES GRIEGAS Arquímedes (287 -212 a. C. ) contribuyó con importantes trabajos sobre

OTRAS CONTRIBUCIONES GRIEGAS Arquímedes (287 -212 a. C. ) contribuyó con importantes trabajos sobre la medición. Elaboró un método para obtener Π con una aproximación tan grande como se deseara. Trabajó también sobre las cónicas. Euclides escribió también un tratado sobre las cónicas que se ha perdido. Apolonio de Perga (262 -180 a. C. ) escribió su Tratado de Cónicas que tuvo mayor éxito. A él se deben los actuales nombres de elipse, parábola e hipérbola. 16

 Los griegos también conocieron y estudiaron un cierto número de curvas y superficies:

Los griegos también conocieron y estudiaron un cierto número de curvas y superficies: los conos, cilindros y la esfera, además de los conoides y esferoides de Arquímedes (paraboloide, hiperboloide y elipsoide de revolución y el toro). La espiral de Arquímedes ha dado lugar a numerosos estudios. Hiparco (-, 125 a. C. ) creó la Trigonometría. Menelao (98 d. C. ) y Tolomeo (168 d. C. ) desarrollaron la Trigonometría. La obra de Tolomeo llamada Composición Matemática se conoce con el nombre de su traducción al árabe Almagesto. 17

Inscribiendo polígonos p = 3 + 10/71 = 223/71 Circunscribiendo polígonos p = 3

Inscribiendo polígonos p = 3 + 10/71 = 223/71 Circunscribiendo polígonos p = 3 + 10/70 = 22/7 Promedio Π = (22/7 + 223/71)/2 = 3, 141815 18

SIGNIFICADO Y APLICACIONES CIENTÍFICAS DE LA GEOMETRÍA GRIEGA Para los griegos era evidente que

SIGNIFICADO Y APLICACIONES CIENTÍFICAS DE LA GEOMETRÍA GRIEGA Para los griegos era evidente que las proposiciones geométricas eran verdaderas en el sentido de que se correspondían con el espacio real, componente primario de la naturaleza. La geometría era una parte de la Cosmología. Los Fenómenos de Euclides que trataban de la geometría de la esfera estaban destinados a los astrónomos. En astronomía se consiguieron éxitos importantes, por ejemplo con la teoría matemática de Eudoxo que describía los movimientos de esferas en interacción. 19

 Apolonio, Hiparco y Tolomeo crearon otra teoría sobre los movimientos del Sol y

Apolonio, Hiparco y Tolomeo crearon otra teoría sobre los movimientos del Sol y los Planetas que se encuentra recogida en el Almagesto de Tolomeo. Según esta teoría la Tierra es el centro del Universo y en ella se describen los movimientos aparentes del Sol, la Luna y planetas en torno a la Tierra pero no hacen referencia a ninguna fuerza de interacción, pero a través de ellas pudieron predecirse eclipses de Sol y de Luna con precisión de algunas horas. Los griegos fundaron también la Mecánica, basada en principios racionales y aparentemente evidentes; la obra fundamental es la Física de Aristóteles. La Óptica fue fundada por los griegos; nos han llegado recopilaciones de diversas obras de Euclides. La estructura es la misma que la de los Elementos. Realizaron aplicaciones prácticas sobre propagación de la luz, lentes y espejos. Fundaron otras ciencias como la geografía y la hidrostática. A Eratóstenes de Cirene (284 a. C. -192 a. C. ) se le atribuye el cálculo del radio de la Tierra. 20

GEOMETRÍA ANALÍTICA DESCARTES (1596 -1650) es el creador de una nueva Geometría: la Geometría

GEOMETRÍA ANALÍTICA DESCARTES (1596 -1650) es el creador de una nueva Geometría: la Geometría Analítica. El único escrito matemático que publicó es Geométrie, tercero y último de los ensayos que figuran como apéndices del célebre Discurso del método para conducir bien la razón y buscar la verdad en las Ciencias. Tres ensayos figuran como apéndices: la Dióptrica, Los Meteoros y la Geometría. En el primer capítulo de la Geometría habla claramente de la unificación entre la Aritmética y la Geometría. “Cómo el cálculo de la aritmética se relaciona con las operaciones de la geometría”. 21

A cada problema geométrico corresponderá cierta relación entre letras, es decir una ecuación. Debido

A cada problema geométrico corresponderá cierta relación entre letras, es decir una ecuación. Debido a que la Geometría de Descartes se publicó como último apéndice de una obra en francés, editada en Holanda, su difusión no fue inmediata. La difusión fue debida, en parte, a los esfuerzos del profesor holandés Van Schooten, que en 1649 dio la versión latina de la Geometría con comentarios y se dedicó después a difundir el método de coordenadas. 22

FERMAT (1601 -1665) Conocedor profundo de la Geometría griega: Euclides, Apolonio, Diofanto. Es probable

FERMAT (1601 -1665) Conocedor profundo de la Geometría griega: Euclides, Apolonio, Diofanto. Es probable que la reconstrucción de ciertas obras de Apolonio le llevase a escribir la memoria Ad locos planos et solidos Isagoge, escrita antes de 1637 pero publicada póstuma en 1679, donde aparecen los principios fundamentales del método de coordenadas, en forma más clara que en la Geometría de Descartes. Lo mismo que Descartes, pero de forma más clara, toma un eje de referencia y en él un punto fijo que considera origen de segmentos variables, a partir de cuyos extremos toma otros segmentos variables, en general perpendicularmente, de manera que este segundo segmento dibujará un lugar diferente según sea la relación algebraica que vincula a los dos segmentos variables. 23

En esta Memoria aparece la ecuación de la recta que no figura explícitamente en

En esta Memoria aparece la ecuación de la recta que no figura explícitamente en Descartes. Igualmente da la ecuación de la circunferencia, con centro en el origen o en un punto cualquiera, y de las cónicas, elementos con los cuales resuelve algunos problemas geométricos relativos a lugares planos y sólidos. Fermat estudia la resolución geométrica de ecuaciones mediante la intersección de curvas y en el campo puramente algebraico problemas de eliminación y racionalización. 24

GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS El postulado V de los Elementos de Euclides se había intentado

GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS El postulado V de los Elementos de Euclides se había intentado sustituir por otros más en consonancia con el resto de los postulados. Posteriormente se intenta demostrar que este postulado es independiente de los demás. Saccheri en 1773, en el año de su muerte, hace conocer un Euclides……vindicatus obra en la quería demostrar la verdad del quinto postulado a partir de los demás ; sin embargo, empeñado en ello lo consigue pero con una demostración falsa.

GEOMETRÍA NO EUCLÍDEA Lobachewsky publicó en 1829 un artículo titulado “ Sobre los principios

GEOMETRÍA NO EUCLÍDEA Lobachewsky publicó en 1829 un artículo titulado “ Sobre los principios de la Geometría” que marca el nacimiento oficial de las geometrías no euclídeas Se convirtió en el primer matemático en construir una geometría que contradecía frontalmente el axioma de las paralelas. Se trataba de una geometría rigurosa, pero parecía tan opuesta al sentido común, que él mismo la llamó “geometría imaginaria” En los veinte años que van desde 1835 al 1855 escribió tres exposiciones completas de la nueva geometría. La geometría no euclídea continuó siendo durante varios años un aspecto marginal de las Matemáticas, hasta que se integró en ella gracias a las aportaciones de Riemann.

LA GEOMETRÍA PROYECTIVA Frente a las ideas de Fermat y Descartes, Carnot lanza una

LA GEOMETRÍA PROYECTIVA Frente a las ideas de Fermat y Descartes, Carnot lanza una divisa “liberar a la geometría del análisis”, es decir sustituir los métodos algebraicos cartesianos por los métodos geométricos intrínsecos, por los métodos sintéticos” Poncelet es quien retoma esta idea y en 1822 publica su Traité des propietés projectives de figures. Con su obra Poncelet, crea la geometría que recibió, entre otros los nombres de “superior” por liberarse de las medidas, “proyectiva” por el empleo de la proyección como transformación fundamental y “moderna” en contraposición a la clásica o euclídea.

EL PROGRAMA DE ERLANGEN Felix Klein al incorporarse a su puesto en Erlangen en

EL PROGRAMA DE ERLANGEN Felix Klein al incorporarse a su puesto en Erlangen en 1872 pronunció una conferencia en la que lque puso de manifiesto cómo el concepto de grupo es un medio adecuado para caracterizar las diversas geometrías que han ido apareciendo a lo largo del siglo. Esta conferencia que se hizo famosa como Programa de Erlangen describía una geometría como el estudio de aquellas propiedades de las figuras que permanecen invariantes bajo la acción de un grupo concreto de transformaciones. La geometría euclídea plana, por ejemplo, consiste en el estudio de las propiedades de las figuras del plano , que permanecen invariantes por el grupo de transformaciones llamadas “movimientos”

AXIOMATIZACIÓN DE LA GEOMETRÍA Para aclarar de una vez por todas lo que era

AXIOMATIZACIÓN DE LA GEOMETRÍA Para aclarar de una vez por todas lo que era necesario admitir como nociones básicas y axiomas y lo que habría que demostrar Hilbert (1862 -1943) publicó en 1899 su obra Fundamentos de la Geometría. Afirmó la existencia de seres abstractos llamados puntos, rectas y planos y dio 7 axiomas de asociación, 5 axiomas de orden, el axioma de las paralelas, 6 axiomas métricos o de congruencia y el axioma de Arquímedes. Con Hilbert la Geometría euclídea perdió su carácter intuitivo y se colocó bajo las leyes de la axiomática, como todas las partes de las matemáticas puras. 29