SUPERFICIE NELLO SPAZIO LORO AREA FORMULE DELLA DIVERGENZA

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SUPERFICIE NELLO SPAZIO, LORO AREA. FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES

SUPERFICIE NELLO SPAZIO, LORO AREA. FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES

Argomenti della lezione è Superficie nello spazio. Loro area è Formule della divergenza e

Argomenti della lezione è Superficie nello spazio. Loro area è Formule della divergenza e di Stokes

SUPERFICIE NELLO SPAZIO. LORO AREA

SUPERFICIE NELLO SPAZIO. LORO AREA

Già abbiamo incontrato le superficie in R 3 come grafico di una funzione. Converrà

Già abbiamo incontrato le superficie in R 3 come grafico di una funzione. Converrà presentare altri modi per descrivere una superficie; precisamente ci occuperemo della loro rappresentazione implicita come superficie di livello di una funzione f(x, y, z) e della loro rappresentazione parametrica

ì x = x(u, v) ï íy = y(u, v) ï z z(u, v)

ì x = x(u, v) ï íy = y(u, v) ï z z(u, v) î = con x(u, v), y(u, v), z(u, v) funzioni definite sulla chiusura di un aperto connesso E R 2, che supporremo sufficientemente regolari: tipicamente di classe C 1(E)

Cominciamo ad occuparci delle superficie in forma implicita. Sia Dunque data una funzione f:

Cominciamo ad occuparci delle superficie in forma implicita. Sia Dunque data una funzione f: A R 3 R che supporremo sufficientemente regolare: solitamente funzione di classe C 1(A) Per il teorema di Dini sulle funzioni implicite sappiamo che se f(x 0, y 0, z 0) = 0 e fz(x 0, y 0, z 0) ≠ 0, allora esistono un intorno U di (x 0, y 0) e uno V di z 0, tali che l’insieme dei punti che soddisfano l’equazione f(x, y, z) = 0 e che stanno

in U V è il grafico di una funzione z = g(x, y), definita

in U V è il grafico di una funzione z = g(x, y), definita su U e a valori in V, di classe C 1(U) Dunque, sotto ipotesi di sufficiente regolarità, un’equazione f(x, y, z) = 0 è in grado di descrivere una superficie in R 3 Determiniamo l’equazione del piano tangente a una superficie implicitamente definita in un suo punto (x 0, y 0, z 0)T

Consideriamo una curva regolare che giace sulla superficie e che passa per il punto

Consideriamo una curva regolare che giace sulla superficie e che passa per il punto (x 0, y 0, z 0)T Tale curva abbia equazioni parametriche x = x(t), y = y(t), z = z(t). Deve accadere che F(t) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0 per ogni t in [0, 1] e, per esempio, x(0) = x 0 , y(0) = y 0 e z(0) = z 0.

Poiché necessariamente F’(t) = 0, è, in particolare, F’(0) = 0; ma F’(0) =

Poiché necessariamente F’(t) = 0, è, in particolare, F’(0) = 0; ma F’(0) = <grad f(x(0), y(0), z(0)), (x’(0), y’(0), z’(0))T > = 0 Dunque ogni vettore tangente alla superficie e passante per (x 0, y 0, z 0)T è ortogonale a grad f(x 0, y 0, z 0) Ma i vettori ortogonale a un assegnato vettore di R 3 stanno tutti su uno stesso piano.

Questo piano si dice il piano tangente alla superficie in (x 0, y 0,

Questo piano si dice il piano tangente alla superficie in (x 0, y 0, z 0)T Dunque l’equazione del piano tangente alla superficie f(x, y, z) = 0 in (x 0, y 0, z 0)T è in termini vettoriali Ñf (x , y , z ), (x - x , y - y , z - z ) 0 0 0 T =0

ossia, esplicitamente: (∂xf)0(x-x 0) + (∂yf)0(y-y 0) + (∂zf)0(z-z 0) = 0 Dove (∂xf)0

ossia, esplicitamente: (∂xf)0(x-x 0) + (∂yf)0(y-y 0) + (∂zf)0(z-z 0) = 0 Dove (∂xf)0 indica la derivata parziale di f rispetto a x calcolata in (x 0, y 0, z 0)T e notazioni analoghe per le altre derivate parziali. Il vettore grad f(x 0, y 0, z 0) è normale alla superficie f(x, y, z) = 0 nel punto (x 0, y 0, z 0)T

Supponiamo ora che una superficie sia data in forma parametrica : E R 2

Supponiamo ora che una superficie sia data in forma parametrica : E R 2 R 3 con (u, v) E e (u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) )T Diremo che la superficie è regolare se è di classe C 1(E) e inoltre la matrice jacobiana ha caratteristica massima, cioè 2, in ogni punto interno di E.

æxu çç è xv yu yv zu ö ÷÷ zv ø Esempi di questa

æxu çç è xv yu yv zu ö ÷÷ zv ø Esempi di questa situazione sono: (u, v) = (R sen u cos v, R sen u sen v, R cos u)T , E = [0, π] [0, 2π] : (sfera di centro l’origine e raggio R)

Una superficie si dirà semplice se (u 1, v 1)T ≠ (u 2, v

Una superficie si dirà semplice se (u 1, v 1)T ≠ (u 2, v 2)T implica (u 1, v 1) ≠ (u 2, v 2) quando almeno uno dei due punti è interno ad E Consideriamo una superficie regolare semplice e un punto (u 0, v 0)T E. Al variare di u in modo che (u, v 0)T E otteniamo una linea d’equazione (u, v 0) che giace su e passa per (u 0, v 0). Analogamente troveremo

una linea d’equazione (u 0, v) che giace su e passa per (u 0,

una linea d’equazione (u 0, v) che giace su e passa per (u 0, v 0). Tali linee si diranno linee coordinate della superficie passanti per x 0 = (u 0, v 0). Per le ipotesi fatte sul rango della matrice jacobiana, sappiamo che i due vettori u(u 0, v 0) e v(u 0, v 0) sono linearmente indipendenti e sono tangenti alla superficie. Il vettore u(u 0, v 0) v(u 0, v 0) è ortogonale a V

L’equazione del piano tangente si ottiene sviluppando il determinante x - x 0 y

L’equazione del piano tangente si ottiene sviluppando il determinante x - x 0 y - y 0 z - z 0 xu (u 0 , v 0 ) y u (u 0 , v 0 ) zu (u 0 , v 0 ) = 0 xv (u 0 , v 0 ) yv (u 0 , v 0 ) zv (u 0 , v 0 )

Se, in particolare, la superficie è data in forma cartesiana, x = u, y

Se, in particolare, la superficie è data in forma cartesiana, x = u, y = v, z = f(u, v), il vettore normale è (1, 0, fu)T (0, 1, fv)T = V N = - f u e 1 - fv e 2 + e 3 Il vettore ha norma |N| = √[1+|grad f|2] Il versore normale è n = N/|N|

Vogliamo ora occuparci del problema della definizione dell’area di una superficie regolare. Il problema

Vogliamo ora occuparci del problema della definizione dell’area di una superficie regolare. Il problema non è banale, poiché l’idea intuitiva di approssimare una superficie con tratti di superficie triangolare, prendendo il sup di queste aree, non è praticabile. Infatti semplici esempi mostrano come anche un cilindro possa essere avvolto con carta sufficientemente “increspata” in modo che il sup sia +∞

Partendo dall’osservazione che l’area di un parallelogramma delimitato da due vettori a e b

Partendo dall’osservazione che l’area di un parallelogramma delimitato da due vettori a e b è data dal modulo del prodotto vettoriale di a e b, definiremo elemento d’area sulla superficie come segue V ds =| j u jv |dudv Cioè d = |N| dudv

Data una superficie regolare semplice d’equazione : E R 2 R 3 definiremo area

Data una superficie regolare semplice d’equazione : E R 2 R 3 definiremo area della superficie il valore del seguente integrale V A (S) = òòE |j u jv | dudv = òòE |N | dudv Se è data in forma cartesiana esplicita 2 ( ) | f | A S = òò 1+ Ñ dxdy E

Se è la sfera di centro l’origine e raggio R, avente l’equazione parametrica già

Se è la sfera di centro l’origine e raggio R, avente l’equazione parametrica già ricordata, si trova d = R 2 sen u dudv , con 0 ≤ u ≤ π e 0 ≤ v ≤ 2 π. L’area è p 2 p 0 0 A (S) = R 2 ò senudu ò dv = 4 p. R 2

Supponiamo che sia data una linea nel piano x z, x ≥ 0, d’equazione

Supponiamo che sia data una linea nel piano x z, x ≥ 0, d’equazione (u) = (x(u), z(u))T , u [a, b]. Se facciamo rotare questa linea intorno all’asse z di un angolo ]0, 2 π] , otteniamo una figura di rotazione. Ricordiamo che x= òg xds l (g )

dà l’ascissa del baricentro della curva . L’equazione della superficie di rotazione è (u,

dà l’ascissa del baricentro della curva . L’equazione della superficie di rotazione è (u, v) = (x(u) cos v, x(u) sen v, z(u))T con E = [a, b] [0, ] u(u 0, v 0) v(u 0, v 0) = (- x(u)z’(u) cos v, -x(u)z’(u) sen v, x(u) x’(u) )T V e il modulo è

Quanto abbiamo appena enunciato è il Primo teorema di Pappo-Guldino L’area di una superficie

Quanto abbiamo appena enunciato è il Primo teorema di Pappo-Guldino L’area di una superficie di rotazione ottenuta rotando di un angolo ]0, 2 π] attorno all’asse z una curva regolare semplice è data da A (S) = a × x × l (g ) dove x è l’ascissa del baricentro di (I)

L’area del toro ottenuto rotando intorno all’asse z un cerchio di raggio r nel

L’area del toro ottenuto rotando intorno all’asse z un cerchio di raggio r nel piano x z , cerchio a distanza R > r con centro sull’asse x è A(T) = 2π R (2π r) = 4 π2 R r

z + r R x

z + r R x

z E x

z E x

Sia E un dominio del piano x, z , con x ≥ 0, e

Sia E un dominio del piano x, z , con x ≥ 0, e lo si faccia rotare di un angolo ]0, 2 π] , intorno all’asse z. Vogliamo determinare il volume del solido di rotazione S generato da E. Sia D = E [0, ] e sia F: D S data da F(u, v, w) = (u cos w, u sen w, v)T che ha determinante jacobiano =u>0

Allora V (S) = òòò 1 dxdydz = òòò u dudvdw = D S

Allora V (S) = òòò 1 dxdydz = òòò u dudvdw = D S a = ò dwòòE ududv = a ò xdm E 0 = a × x × m(E) dove x è l’ascissa del baricentro del dominio E. Dunque abbiamo

Secondo teorema di Pappo - Guldino Il volume di un solido di rotazione S

Secondo teorema di Pappo - Guldino Il volume di un solido di rotazione S ottenuto rotando di un angolo ]0, 2 π] , intorno all’asse z un dominio E, contenuto nel piano x, z, con x ≥ 0 è dato da V(S) = x m(E) dove x è l’ascissa del baricentro geometrico di E.

Applicato al toro, questo teorema ci dà il volume V(T) = 2πR π r

Applicato al toro, questo teorema ci dà il volume V(T) = 2πR π r 2 = 2π2 R r 2

FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES

FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES

Una superficie regolare si può orientare localmente scegliendo come positivo uno dei due orientamenti

Una superficie regolare si può orientare localmente scegliendo come positivo uno dei due orientamenti possibili del vettore normale N o -N. In generale si potrà dire che è data, almeno localmente, un’orientazione positiva se in un intorno di uno stesso punto è assegnata un’orientazione dell vettore normale.

Il vettore normale, se la superficie è regolare, varia in modo continuo con il

Il vettore normale, se la superficie è regolare, varia in modo continuo con il punto nel quale è calcolato. Se, al variare del punto sulla superficie n è una funzione continua su tutta la superficie, allora la superficie si dice orientabile.

Sfortunatamente esistono superficie non orientabili quali il nastro di Möbius

Sfortunatamente esistono superficie non orientabili quali il nastro di Möbius

Il nastro di Möbius ha equazioni 1 x(u , v) = ( r +

Il nastro di Möbius ha equazioni 1 x(u , v) = ( r + hu × cos( v )) cos(v) 2 1 y (u , v ) = ( r + hu × cos( v)) sen(v) 2 1 z (u , v) = hu × sen( v) 2 con 0 ≤ v ≤ 2π e -1 ≤ u ≤ 1, r > h

Ma molte superficie sono orientabili come la sfera o come le superficie che delimitano

Ma molte superficie sono orientabili come la sfera o come le superficie che delimitano un dominio normale rispetto al piano x y. Data una funzione f : A R 3 R , f continua, e data una superficie regolare con sostegno = (E) A , definiremo l’integrale superficiale di f esteso a , come segue

òò fds = òòE f (j (u, v))| j u j v | dudv

òò fds = òòE f (j (u, v))| j u j v | dudv S V Se indichiamo con E = | u|2 , con G = | v|2, e con F = < u, v> si trova che V | ju jv |= E × G - F 2

Sia dato un dominio regolare D normale rispetto al piano x y, delimitato da

Sia dato un dominio regolare D normale rispetto al piano x y, delimitato da due superficie di classe C 1(A), , : A R 2 R e sia Z(x, y, z) una funzione continua con la sua derivata rispetto a z su un aperto contente D. Allora vale il seguente

Teorema (Formula di Gauss) Nelle ipotesi dette in precedenza, si ha òòò Zz (x,

Teorema (Formula di Gauss) Nelle ipotesi dette in precedenza, si ha òòò Zz (x, y, z)dxdydz = òò Z áne , e 3 ñds +s D

Qui si è scelta come positiva la normale esterna. Dalla formula di riduzione per

Qui si è scelta come positiva la normale esterna. Dalla formula di riduzione per corde si ha b (x, y) òòò Zz dxdydz = òò dxdy( ò Zz dz) D A a (x, y) = òò Z(x, y, b (x, y))dxdy - òò Z(x, y, a )dxdy A A

Z n , e d òò ñ s á e = +s 3 Più

Z n , e d òò ñ s á e = +s 3 Più in generale, con procedimenti analoghi, si può dimostrare che T (X Y Z )dxdydz (X, Y , Z) , ne ñds òòò x + y + z = òò á D s Lo scalare Xx + Yy + Zz si dice la divergenza del campo F = (X, Y, Z)T : div F

Dunque la divergenza di un campo su un dominio D uguaglia il flusso uscente

Dunque la divergenza di un campo su un dominio D uguaglia il flusso uscente dalla superficie laterale Infine abbiamo il teorema di Stokes

Teorema (Teorema di Stokes) Sia A un dominio nel piano x y avente frontiera

Teorema (Teorema di Stokes) Sia A un dominio nel piano x y avente frontiera A gen. reg. e orientata positivamente. Sia f(x, y) di classe C 1(A)

Sia X(x, y, z) continua con le derivate Xy e Xz su un aperto

Sia X(x, y, z) continua con le derivate Xy e Xz su un aperto contenente f(A). Allora vale ò Xdx = òò G (- X y á n, e 3 ñ + X z á n, e 2 ñ ) ds S dove = f( A)

Infatti, posto g(x, y) = X(x, y f(x, y)), risulta gy = Xy +

Infatti, posto g(x, y) = X(x, y f(x, y)), risulta gy = Xy + Xz fy Per Green ò Xdx = ò gdx = -òò A G g y dxdy = A - òò ( X y + X z f y )dxdy = A = òò ( - X y á n, e 3 ñ + X z á n, e 2 ñ )ds s

Se Y(x, y, z) e Z(x, y, z) soddisfano ipotesi analoghe con le loro

Se Y(x, y, z) e Z(x, y, z) soddisfano ipotesi analoghe con le loro derivate opportune, e la superficie è rappresentabile esplicitamente anche nelle variabili x, z e y, z, allora ò ( Xdx + Ydy + Zdz ) =òò G con F = (X, Y, Z)T s árot. F , nñ ds

n A A

n A A