SUPERFICIE NELLO SPAZIO LORO AREA FORMULE DELLA DIVERGENZA
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SUPERFICIE NELLO SPAZIO, LORO AREA. FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES
Argomenti della lezione è Superficie nello spazio. Loro area è Formule della divergenza e di Stokes
SUPERFICIE NELLO SPAZIO. LORO AREA
Già abbiamo incontrato le superficie in R 3 come grafico di una funzione. Converrà presentare altri modi per descrivere una superficie; precisamente ci occuperemo della loro rappresentazione implicita come superficie di livello di una funzione f(x, y, z) e della loro rappresentazione parametrica
ì x = x(u, v) ï íy = y(u, v) ï z z(u, v) î = con x(u, v), y(u, v), z(u, v) funzioni definite sulla chiusura di un aperto connesso E R 2, che supporremo sufficientemente regolari: tipicamente di classe C 1(E)
Cominciamo ad occuparci delle superficie in forma implicita. Sia Dunque data una funzione f: A R 3 R che supporremo sufficientemente regolare: solitamente funzione di classe C 1(A) Per il teorema di Dini sulle funzioni implicite sappiamo che se f(x 0, y 0, z 0) = 0 e fz(x 0, y 0, z 0) ≠ 0, allora esistono un intorno U di (x 0, y 0) e uno V di z 0, tali che l’insieme dei punti che soddisfano l’equazione f(x, y, z) = 0 e che stanno
in U V è il grafico di una funzione z = g(x, y), definita su U e a valori in V, di classe C 1(U) Dunque, sotto ipotesi di sufficiente regolarità, un’equazione f(x, y, z) = 0 è in grado di descrivere una superficie in R 3 Determiniamo l’equazione del piano tangente a una superficie implicitamente definita in un suo punto (x 0, y 0, z 0)T
Consideriamo una curva regolare che giace sulla superficie e che passa per il punto (x 0, y 0, z 0)T Tale curva abbia equazioni parametriche x = x(t), y = y(t), z = z(t). Deve accadere che F(t) = f(x(t), y(t), z(t)) = 0 per ogni t in [0, 1] e, per esempio, x(0) = x 0 , y(0) = y 0 e z(0) = z 0.
Poiché necessariamente F’(t) = 0, è, in particolare, F’(0) = 0; ma F’(0) = <grad f(x(0), y(0), z(0)), (x’(0), y’(0), z’(0))T > = 0 Dunque ogni vettore tangente alla superficie e passante per (x 0, y 0, z 0)T è ortogonale a grad f(x 0, y 0, z 0) Ma i vettori ortogonale a un assegnato vettore di R 3 stanno tutti su uno stesso piano.
Questo piano si dice il piano tangente alla superficie in (x 0, y 0, z 0)T Dunque l’equazione del piano tangente alla superficie f(x, y, z) = 0 in (x 0, y 0, z 0)T è in termini vettoriali Ñf (x , y , z ), (x - x , y - y , z - z ) 0 0 0 T =0
ossia, esplicitamente: (∂xf)0(x-x 0) + (∂yf)0(y-y 0) + (∂zf)0(z-z 0) = 0 Dove (∂xf)0 indica la derivata parziale di f rispetto a x calcolata in (x 0, y 0, z 0)T e notazioni analoghe per le altre derivate parziali. Il vettore grad f(x 0, y 0, z 0) è normale alla superficie f(x, y, z) = 0 nel punto (x 0, y 0, z 0)T
Supponiamo ora che una superficie sia data in forma parametrica : E R 2 R 3 con (u, v) E e (u, v) = ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) )T Diremo che la superficie è regolare se è di classe C 1(E) e inoltre la matrice jacobiana ha caratteristica massima, cioè 2, in ogni punto interno di E.
æxu çç è xv yu yv zu ö ÷÷ zv ø Esempi di questa situazione sono: (u, v) = (R sen u cos v, R sen u sen v, R cos u)T , E = [0, π] [0, 2π] : (sfera di centro l’origine e raggio R)
Una superficie si dirà semplice se (u 1, v 1)T ≠ (u 2, v 2)T implica (u 1, v 1) ≠ (u 2, v 2) quando almeno uno dei due punti è interno ad E Consideriamo una superficie regolare semplice e un punto (u 0, v 0)T E. Al variare di u in modo che (u, v 0)T E otteniamo una linea d’equazione (u, v 0) che giace su e passa per (u 0, v 0). Analogamente troveremo
una linea d’equazione (u 0, v) che giace su e passa per (u 0, v 0). Tali linee si diranno linee coordinate della superficie passanti per x 0 = (u 0, v 0). Per le ipotesi fatte sul rango della matrice jacobiana, sappiamo che i due vettori u(u 0, v 0) e v(u 0, v 0) sono linearmente indipendenti e sono tangenti alla superficie. Il vettore u(u 0, v 0) v(u 0, v 0) è ortogonale a V
L’equazione del piano tangente si ottiene sviluppando il determinante x - x 0 y - y 0 z - z 0 xu (u 0 , v 0 ) y u (u 0 , v 0 ) zu (u 0 , v 0 ) = 0 xv (u 0 , v 0 ) yv (u 0 , v 0 ) zv (u 0 , v 0 )
Se, in particolare, la superficie è data in forma cartesiana, x = u, y = v, z = f(u, v), il vettore normale è (1, 0, fu)T (0, 1, fv)T = V N = - f u e 1 - fv e 2 + e 3 Il vettore ha norma |N| = √[1+|grad f|2] Il versore normale è n = N/|N|
Vogliamo ora occuparci del problema della definizione dell’area di una superficie regolare. Il problema non è banale, poiché l’idea intuitiva di approssimare una superficie con tratti di superficie triangolare, prendendo il sup di queste aree, non è praticabile. Infatti semplici esempi mostrano come anche un cilindro possa essere avvolto con carta sufficientemente “increspata” in modo che il sup sia +∞
Partendo dall’osservazione che l’area di un parallelogramma delimitato da due vettori a e b è data dal modulo del prodotto vettoriale di a e b, definiremo elemento d’area sulla superficie come segue V ds =| j u jv |dudv Cioè d = |N| dudv
Data una superficie regolare semplice d’equazione : E R 2 R 3 definiremo area della superficie il valore del seguente integrale V A (S) = òòE |j u jv | dudv = òòE |N | dudv Se è data in forma cartesiana esplicita 2 ( ) | f | A S = òò 1+ Ñ dxdy E
Se è la sfera di centro l’origine e raggio R, avente l’equazione parametrica già ricordata, si trova d = R 2 sen u dudv , con 0 ≤ u ≤ π e 0 ≤ v ≤ 2 π. L’area è p 2 p 0 0 A (S) = R 2 ò senudu ò dv = 4 p. R 2
Supponiamo che sia data una linea nel piano x z, x ≥ 0, d’equazione (u) = (x(u), z(u))T , u [a, b]. Se facciamo rotare questa linea intorno all’asse z di un angolo ]0, 2 π] , otteniamo una figura di rotazione. Ricordiamo che x= òg xds l (g )
dà l’ascissa del baricentro della curva . L’equazione della superficie di rotazione è (u, v) = (x(u) cos v, x(u) sen v, z(u))T con E = [a, b] [0, ] u(u 0, v 0) v(u 0, v 0) = (- x(u)z’(u) cos v, -x(u)z’(u) sen v, x(u) x’(u) )T V e il modulo è
Quanto abbiamo appena enunciato è il Primo teorema di Pappo-Guldino L’area di una superficie di rotazione ottenuta rotando di un angolo ]0, 2 π] attorno all’asse z una curva regolare semplice è data da A (S) = a × x × l (g ) dove x è l’ascissa del baricentro di (I)
L’area del toro ottenuto rotando intorno all’asse z un cerchio di raggio r nel piano x z , cerchio a distanza R > r con centro sull’asse x è A(T) = 2π R (2π r) = 4 π2 R r
z + r R x
z E x
Sia E un dominio del piano x, z , con x ≥ 0, e lo si faccia rotare di un angolo ]0, 2 π] , intorno all’asse z. Vogliamo determinare il volume del solido di rotazione S generato da E. Sia D = E [0, ] e sia F: D S data da F(u, v, w) = (u cos w, u sen w, v)T che ha determinante jacobiano =u>0
Allora V (S) = òòò 1 dxdydz = òòò u dudvdw = D S a = ò dwòòE ududv = a ò xdm E 0 = a × x × m(E) dove x è l’ascissa del baricentro del dominio E. Dunque abbiamo
Secondo teorema di Pappo - Guldino Il volume di un solido di rotazione S ottenuto rotando di un angolo ]0, 2 π] , intorno all’asse z un dominio E, contenuto nel piano x, z, con x ≥ 0 è dato da V(S) = x m(E) dove x è l’ascissa del baricentro geometrico di E.
Applicato al toro, questo teorema ci dà il volume V(T) = 2πR π r 2 = 2π2 R r 2
FORMULE DELLA DIVERGENZA E DI STOKES
Una superficie regolare si può orientare localmente scegliendo come positivo uno dei due orientamenti possibili del vettore normale N o -N. In generale si potrà dire che è data, almeno localmente, un’orientazione positiva se in un intorno di uno stesso punto è assegnata un’orientazione dell vettore normale.
Il vettore normale, se la superficie è regolare, varia in modo continuo con il punto nel quale è calcolato. Se, al variare del punto sulla superficie n è una funzione continua su tutta la superficie, allora la superficie si dice orientabile.
Sfortunatamente esistono superficie non orientabili quali il nastro di Möbius
Il nastro di Möbius ha equazioni 1 x(u , v) = ( r + hu × cos( v )) cos(v) 2 1 y (u , v ) = ( r + hu × cos( v)) sen(v) 2 1 z (u , v) = hu × sen( v) 2 con 0 ≤ v ≤ 2π e -1 ≤ u ≤ 1, r > h
Ma molte superficie sono orientabili come la sfera o come le superficie che delimitano un dominio normale rispetto al piano x y. Data una funzione f : A R 3 R , f continua, e data una superficie regolare con sostegno = (E) A , definiremo l’integrale superficiale di f esteso a , come segue
òò fds = òòE f (j (u, v))| j u j v | dudv S V Se indichiamo con E = | u|2 , con G = | v|2, e con F = < u, v> si trova che V | ju jv |= E × G - F 2
Sia dato un dominio regolare D normale rispetto al piano x y, delimitato da due superficie di classe C 1(A), , : A R 2 R e sia Z(x, y, z) una funzione continua con la sua derivata rispetto a z su un aperto contente D. Allora vale il seguente
Teorema (Formula di Gauss) Nelle ipotesi dette in precedenza, si ha òòò Zz (x, y, z)dxdydz = òò Z áne , e 3 ñds +s D
Qui si è scelta come positiva la normale esterna. Dalla formula di riduzione per corde si ha b (x, y) òòò Zz dxdydz = òò dxdy( ò Zz dz) D A a (x, y) = òò Z(x, y, b (x, y))dxdy - òò Z(x, y, a )dxdy A A
Z n , e d òò ñ s á e = +s 3 Più in generale, con procedimenti analoghi, si può dimostrare che T (X Y Z )dxdydz (X, Y , Z) , ne ñds òòò x + y + z = òò á D s Lo scalare Xx + Yy + Zz si dice la divergenza del campo F = (X, Y, Z)T : div F
Dunque la divergenza di un campo su un dominio D uguaglia il flusso uscente dalla superficie laterale Infine abbiamo il teorema di Stokes
Teorema (Teorema di Stokes) Sia A un dominio nel piano x y avente frontiera A gen. reg. e orientata positivamente. Sia f(x, y) di classe C 1(A)
Sia X(x, y, z) continua con le derivate Xy e Xz su un aperto contenente f(A). Allora vale ò Xdx = òò G (- X y á n, e 3 ñ + X z á n, e 2 ñ ) ds S dove = f( A)
Infatti, posto g(x, y) = X(x, y f(x, y)), risulta gy = Xy + Xz fy Per Green ò Xdx = ò gdx = -òò A G g y dxdy = A - òò ( X y + X z f y )dxdy = A = òò ( - X y á n, e 3 ñ + X z á n, e 2 ñ )ds s
Se Y(x, y, z) e Z(x, y, z) soddisfano ipotesi analoghe con le loro derivate opportune, e la superficie è rappresentabile esplicitamente anche nelle variabili x, z e y, z, allora ò ( Xdx + Ydy + Zdz ) =òò G con F = (X, Y, Z)T s árot. F , nñ ds
n A A
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