I solidi Un solido una parte di spazio

I solidi Un solido è una parte di spazio delimitata da una superficie chiusa. I solidi delimitati da poligoni vengono chiamati poliedri. I solidi che hanno superfici curve vengono chiamati solidi rotondi.

I poliedri Si dice poliedro un solido delimitato da poligoni, situati su piani diversi e disposti in modo che ognuno dei lati sia comune a due di essi. I poligoni si dicono facce del poliedro; i loro lati si dicono spigoli del poliedro. i loro vertici si dicono vertici del poliedro; due facce con uno spigolo comune si dicono facce adiacenti.

Relazione di Eulero per i poliedri Osserviamo il poliedro della figura a fianco. Indichiamo con: • V il numero dei vertici • F il numero delle facce • S il numero degli spigoli Osserviamo che per tutti i poliedri vale la seguente relazione: RELAZIONE DI EULERO V+F−S=2 o anche V + F = S + 2

Alcuni esempi • Quanti spigoli ha il poliedro a fianco? I vertici sono 12 e le facce 8. Sostituiamo i numeri che conosciamo nella relazione di Eulero: V+F=S+2 12 + 8 = S + 2 Il numero degli spigoli è: S = 12 + 8 − 2 = 18 Prova tu • Quanti spigoli ha un poliedro con 6 facce e 8 vertici? ………………. V+F=S+2 S=V+F− 2 S = 8 + 6 − 2 = 12 Il poliedro ha 12 spigoli

I prismi Si chiama prisma un poliedro delimitato da due poligoni congruenti, detti basi, situati su piani paralleli e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due poligoni. Un prisma prende il nome dal numero dei lati del poligono di base. TRIANGOLARE QUADRANGOLARE PENTAGONALE

I prismi retti Un prisma si dice retto se i suoi spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi. Un prisma si dice regolare se è retto e ha per basi due poligoni regolari. QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO ESAGONO REGOLARE

Apriamo… un prisma Consideriamo il modello in cartone di un prisma retto a base triangolare. Se lo tagliamo lungo i suoi spigoli in modo da poterlo distendere su un piano, otteniamo una figura piana che si chiama sviluppo della superficie del prisma. La superficie di tutte le facce di un solido è detta superficie totale, mentre quella delle sole facce laterali è detta superficie laterale.

Alcuni esempi Il solido P è un prisma quadrangolare regolare, quindi è retto, le facce laterali sono 4 rettangoli R congruenti e le sue basi sono due quadrati Q congruenti. P Qui sotto è disegnato lo sviluppo della superficie del solido P. Prova tu Disegna lo sviluppo della superficie di un prisma triangolare regolare.

Le piramidi Si dice piramide un poliedro limitato da un poligono qualunque, detto base, e da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono, aventi tutti un vertice comune. faccia laterale Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base. PIRAMIDE TRIANGOLARE PIRAMIDE QUADRANGOLARE PIRAMIDE PENTAGONALE

Piramidi rette e regolari Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile a una circonferenza, il cui centro coincide con il piede dell’altezza. Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base un poligono regolare. QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO PENTAGONO REGOLARE

Alcuni esempi Il solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base. Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q. Prova tu • Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale? ……. 6 Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati? …………. . isoscele

Poliedri regolari Un poliedro si dice regolare se: tutte le sue facce sono poligoni regolari congruenti; tutti gli angoli diedri, formati da facce adiacenti, sono congruenti. Tetraedro regolare 4 facce (triangoli equilateri) 4 vertici, 6 spigoli Cubo (esaedro regolare) 6 facce (quadrati) 8 vertici, 12 spigoli Ottaedro regolare 8 facce (triangoli equilateri) 6 vertici, 12 spigoli Dodecaedro regolare 12 facce (pentagoni regolari) 20 vertici, 30 spigoli Icosaedro regolare 20 facce (triangoli equilateri) 12 vertici, 30 spigoli

Esercitati solido • Un poliedro è un. . . delimitato da. . . poligoni piani posti in. . . diversi e disposti in modo che ognuno dei due lati sia comune a. . . . di essi. vertici Indicando con V il numero di. . . , con F quello spigoli facce delle. . . e con S quello degli. . . , la relazione di Eulero stabilisce che: V + F − S =. . . . 2 • Osserva la figura del poliedro e inserisci i nomi che indicano le sue parti. Determina il numero di spigoli, vertici e facce del poliedro in figura e verifica per questo la relazione di Eulero. vertice spigolo S = 12 V=6 F=8 6 + 8 − 12 = 2 faccia

Esercitati • Collega il nome dei solidi con la loro definizione e con il loro sviluppo. 2), b) 3), a) 1), c)

Esercitati • Completa scegliendo tra i termini e i simboli regolare, retta, poligono circoscrivibile, poligono regolare. retta Una piramide si dice. . . . se ha per base un. . . . poligono circoscrivibile. . . . . e il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza circoscritta. retta regolare Una piramide si dice. . . . . se è. . . e ha per poligono regolare base un. . . . • Traccia le altezze delle seguenti piramidi e stabilisci quale delle tre è regolare e quale è retta: …………. . retta …………. . regolare …………. .

I solidi rotondi Alcuni solidi hanno una caratteristica forma “rotonda” e la loro superficie non è costituita da poligoni. Per esempio: CILINDRI Facendo ruotare di 360° una figura piana intorno a una retta (detta asse di rotazione) otteniamo i solidi di rotazione. Non tutti i solidi rotondi sono solidi di rotazione. CONO SFERA

Solidi di rotazione Ruotando di 360° un rettangolo attorno a un suo lato, si genera un cilindro retto. Ruotando di 360° un triangolo rettangolo attorno a uno dei suoi cateti, si genera un cono retto. Ruotando di 360° un semicerchio attorno al suo diametro, si genera una sfera.

Apriamo… un solido di rotazione È sempre possibile ottenere lo sviluppo della superficie di un cilindro o di un cono. CILINDRO RETTO CONO RETTO

Esercitati • Collega il nome dei diversi solidi con la figura piana che li genera (ruotando di 360° attorno a un proprio lato) e con l’opportuno sviluppo della superficie. Perché gli sviluppi delle superfici sono soltanto 2? 1), b) 3), a) 2)