Rappel Valeurs propres et vecteurs propres Dfinitions Proprits

Rappel. . . • Valeurs propres et vecteurs propres. – Définitions; – Propriétés; – Équations aux différences; – Équation caractéristique; – Matrices similaires; – Applications aux systèmes dynamiques.

Aujourd’hui • Diagonalisation. • Transformations linéaires.

11. Diagonalisation et transformations linéaires Dans certains cas, on peut décomposer une matrice selon A = PDP-1, D étant une matrice diagonale. Cette décomposition contient de l’information à propos des valeurs propres et des vecteurs propres.

Diagonalisation Pourquoi diagonaliser? Calcul des puissances d’une matrice.

Diagonalisation (suite) On dit qu’une matrice A est diagonalisable si A est similaire à une matrice diagonale, i. e. A = PDP-1, pour une matrice inversible P et une matrice diagonale D.

Théorème de la diagonalisation Une matrice A n n est diagonalisable si et seulement si A possède n vecteurs propres linéairement indépendants.

Théorème de la diagonalisation (suite) Si A = PDP-1, où D est une matrice diagonale, alors les éléments de la diagonale de D sont les valeurs propres de A et les colonnes de P sont les vecteurs propres correspondants.

Base de vecteurs propres Le théorème précédent implique A n n est diagonalisable si on a assez de vecteurs propres pour former une base de Rn.

Méthode pour diagonaliser une matrice 1) Trouver les valeurs propres de A, n n. 2) Trouver les vecteurs propres de A. Il en faut n qui soient linéairement indépendants. 3) Construire P à partir des vecteurs propres. 4) Construire D à partir des valeurs propres.

Théorème: diagonalisation et valeurs propres distinctes Si une matrice A n n possède n valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable.

Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes Soit une matrice A n n ayant comme valeurs propres distinctes l 1, . . . , lp. a. Pour 1 k p, la dimension de l’espace propre de lk est inférieure ou égale à la multiplicité de la valeur propre lk.

Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes (suite) Soit une matrice A n n ayant comme valeurs propres distinctes l 1, . . . , lp. b. La matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des espaces propres distincts est égale à n, et ceci arrive si et seulement si la dimension de l’espace propre de chaque lk est égale à la multiplicité de lk.

Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes (fin) Soit une matrice A n n ayant comme valeurs propres distinctes l 1, . . . , lp. c. Si A est diagonalisable et Bk est une base pour l’espace vectoriel correspondant à lk pour chaque k, alors l’union de tous les vecteurs appartenant aux ensembles B 1, . . . , Bp forment une base de vecteurs propres pour Rn.

Vecteurs propres et transformation linéaire Nous allons maintenant explorer la relation entre la décomposition matricielle A = PDP-1 et les transformations linéaires. x Ax u Du

Matrice d’une transformation linéaire Vn-dim Wm-dim T: transformation linéaire de V vers W V: base B, vecteurs de coordonnées [x]B Rn. W: base C, vecteurs de coordonnées [T(x)]C Rm.

V Rn x T T(x) W Rm [x]B [T(x)]C

Calcul de la matrice À cause de la linéarité, on peut écrire [T(x)]C = M[x] B où M = [[T(b 1)]C [T(b 2)]C … [T(bn)]C ]

Matrice de la transformation T selon les bases B et C V Rn x T T(x) W Rm [x]B M [T(x)]C

Transformation linéaire de V dans V: matrice B de T. V Rn x T T(x) V Rn [x]B [T]B [T(x)]B

Représentation par une matrice diagonale Supposons que A = PDP-1, où D est une matrice diagonale n n. Si B est la base de Rn formée des colonnes de P, alors D est la matrice B de la transformation linéaire x Ax.

Prochain cours. . . • Systèmes dynamiques: – discrets; – continus.