Rappel Systmes dynamiques discrets continus valeurs propres complexes
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Rappel. . . • Systèmes dynamiques: – discrets; – continus. (valeurs propres complexes)
Aujourd’hui • Orthogonalité. – Produit scalaire, module; – Ensembles orthogonaux.
13. Orthogonalité L’équation Ax = b n’a souvent pas de solution. On cherche alors une solution telle que la distance entre A et b soit la plus petite possible. Distance: (. )2
Géométriquement d < d 1 x d < d 2 d 1 x 1 d Orthogonalité d 2 x 2
Produit scalaire, module et orthogonalité Nous allons reprendre des concepts qui nous sont très familiers dans R 2 et R 3, soit la distance, la longueur et l’orthogonalité ( « perpendicularité » ), et les placer dans le contexte de Rn. Vecteurs dans Rn
Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs, u et v, est donné par:
Produit scalaire (suite) • Processeurs DSP (TMS 320). • Le résultat est un scalaire. • En anglais: dot product, inner product.
Propriétés du produit scalaire Soit u, v et w des vecteurs dans Rn, et soit c un scalaire. Alors a. u. v = v. u b. (u + v). w = u. w + v. w c. (cu). v = c(u. v) = u. (cv)
Propriétés du produit scalaire (suite) Soit u, v et w des vecteurs dans Rn, et soit c un scalaire. Alors d. u. u 0, et u. u = 0 si et seulement si u = 0 e.
Module d’un vecteur Le module d’un vecteur v est le scalaire ||v|| 0 défini par: et ||v||2 = v. v
Distance entre deux vecteurs Pour des vecteurs u et v dans Rn, la distance entre u et v, qu’on écrit dist(u, v), est le module du vecteur u - v. Autrement dit: dist(u, v) = ||u - v||
Vecteurs orthogonaux u ||u - v|| v ||u - (-v)|| -v
Orthogonalité Deux vecteurs u et v dans Rn sont orthogonaux (l’un par rapport à l’autre) si u. v = 0.
Théorème de Pythagore Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si ||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2
Complément orthogonal 1. Si un vecteur z est orthogonal à tous les vecteurs d’un sous-espace W, on dit que z est orthogonal à W. 2. L’ensemble de tous les vecteurs z orthogonaux à un sous-espace W est appelé le complément orthogonal de W et est dénoté par W.
Propriétés du complément orthogonal 1. Un vecteur x est dans W si et seulement si x est orthogonal à chacun des vecteurs d’un ensemble engendrant W. 2. W est un sous-espace de Rn.
Sous-espaces fondamentaux d’une matrice et complément orthogonal Soit A une matrice n n. Alors le complément orthogonal de l’espace des lignes de A est le noyau de A, et le complément orthogonal de l’espace des colonnes de A est le noyau de AT. (Row A) = Nul A (Col A) = Nul AT
Angles dans R 2 et R 3 u. v = ||u|| ||v||cos
Ensemble orthogonal Un ensemble de vecteurs {u 1, u 2, . . . , up} dans Rn est appelé ensemble orthogonal si chaque paire de vecteurs distincts provenant de cet ensemble est orthogonale, c’est-à-dire si ui. uj = 0 pour i j
Théorèmes sur les ensembles orthogonaux Si S = {u 1, u 2, . . . , up} est un ensemble orthogonal de vecteurs non nuls dans Rn, alors S est linéairement indépendant et est donc une base pour le sous-espace engendré par S.
Base orthogonale Une base orthogonale pour un sous-espace W de Rn est une base pour W qui est aussi un ensemble orthogonal.
Théorème sur la représentation unique Soit {u 1, u 2, . . . , up} une base orthogonale d’un sous-espace W de Rn. Alors chaque vecteur y dans W possède une représentation unique selon une combinaison linéaire des vecteurs u 1, u 2, . . . , up.
Théorème sur la représentation unique (suite) En fait, si alors
Projection orthogonale On désire décomposer un vecteur y Rn en une somme de deux vecteurs, l’un multiple de u Rn et l’autre orthogonal à u. y = + z, où = u et z u.
Projection orthogonale (suite) y u
Déf: Projection orthogonale La projection orthogonale du vecteur y sur le vecteur u est donnée par La composante du vecteur y orthogonale au vecteur u est donnée par
Interprétation géométrique u 2 y u 1
Ensemble orthonormal Un ensemble orthogonal de vecteur unitaire est appelé ensemble orthonormal.
Théorème sur les matrices ayant des colonnes orthonormales Une matrice U m n possède des colonnes orthonormales si et seulement si UTU = I.
Propriétés des matrices ayant des colonnes orthonormales Soit U une matrice m n ayant des colonnes orthonormales, et soit x et y deux vecteurs dans Rn. Alors a. ||Ux|| = ||x|| b. (Ux). (Uy) = x. y c. (Ux). (Uy) = 0 si et seulement si x. y = 0
Application aux matrices carrées Une matrice orthogonale est une matrice carrée U telle que U-1 = UT colonnes orthonormales lignes orthonormales
Prochain cours. . . • Projections orthogonales. • Procédure de Gram-Schmidt
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