Vecteurs et translations I Notion de vecteur Un

Vecteurs et translations I. Notion de vecteur : Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par : • une direction • un sens B • une longueur A

II. Vecteur et translation : Exercice : Construis l’image du bateau après un glissement qui amène A en A’. Quelle est la nature du quadrilatère DAA’D’ ? Une translation est définie par la donnée d’un sens (ici de A vers A’), d’une direction (ici la droite (AA’)) et d’une longueur (ici AA’). L’image B’ de B par cette translation est telle que BAA’B’ est un parallélogramme. Menu

B M' A M Propriétés : La translation conserve les distances, l’alignement des points, le parallélisme ou l’orthogonalité de droites, les angles, les milieux de segments. La translation transforme une figure en une figure superposable. Menu

Propriété : C Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) ; D B A A D O B C Cas où ABCD est un parallélogramme aplati.

Conséquences : C D O A M A B B

III. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs : F 2 F 1 B A C F 3 D

Construction de la somme deux vecteurs : B A D C C A B (On utilise la relation de Chasles) (On utilise la règle du parallélogramme puis la relation de Chasles)

IV. Composée de deux symétries centrales : Propriété : I et J étant deux points du plan, la composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de centre J est la translation de vecteur I J

V. Dans un repère : a. Coordonnées d’un vecteur : Propriété : Dans le plan muni d’un repère (O, I, J), si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (x. A ; y. A) et (x. B ; y. B), alors le vecteur Exemple : Dans un repère (O, I, J) du plan, on donne A(3 ; -2) et B(-5 ; 1). Ces coordonnées correspondent au déplacement à effec pour aller de A à B : -8 pour passer de 3 à – 5 en abscisse, 3 pour passer de – 2 à 1 en ordonnée.

b. Coordonnées du milieu d’un segment : Propriété : Dans le plan muni d’un repère (O, I, J), si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (x. A ; y. A) et (x. B ; y. B), alors le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées Exemple : Dans un repère (O, I, J) du plan, on donne A(3 ; 5) et B(-1 ; -1). Les coordonnées du milieu M du segment [AB] sont : d’où M(1 ; 2)

c. Distance entre deux points : Propriété : Dans le plan muni d’un repère (O, I, J), si deux points A et B ont pour coordonnées respectives (x. A ; y. A) et (x. B ; y. B), alors la distance entre les deux points A et B se calcule en utilisant la formule : (attention, aucune simplification n’est possible dans cette formule entre la racine et les carrés. . . ) Exemple : Dans un repère (O, I, J) du plan, on donne A(3 ; -2) et B(-5 ; 1).