CHAPITRE 6 Vecteurs et translations Objectifs Connatre et

CHAPITRE 6 Vecteurs et translations

Objectifs: -Connaître et savoir utiliser l’écriture vectorielle -Reconnaître des vecteurs égaux. -Construire un point défini par une égalité vectorielle. - Construire le vecteur représentant la composée de deux translations. -Simplifier les écritures vectorielles. .

« Vecteur » vient du latin « vehere » (conduire, transporter) Le mot a été introduit en 1925 et la notation en 1920. A l’origine des vecteurs, un italien, Giusto Bellavitis (1803 -1880) qui les désignait comme segments équipollents.

I. Translations La translation est une transformation qui consiste à faire glisser un objet d’un point vers un autre point. Fig 1 Ici, la figure 2 est l’image de la figure 1 par la translation qui transforme A en B. Fig 2 A B

1) Définition Une translation est définie par la donnée: - d’une direction - d’un sens - d’une longueur ici la droite (AB) ici de A vers B ici AB A B 2) Propriétés Une translation : - conserve les distances, les angles , les surfaces. - transforme une droite en une droite qui lui est parallèle.

II. Vecteurs 1) Définition Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par : - une direction, - un sens, - une longueur. l’arrivée l’origine AB B A Notation : on note AB le vecteur allant de A vers B. m Ici, le vecteur m

Quelques vecteurs particuliers • Soit A un point quelconque, AA est appelé le vecteur nul et est noté O AA ou O • Le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB on note A BA = − AB AB B BA ou − AB Remarque: Deux vecteurs opposés ont la même direction, la même longueur et des sens contraires.

Exemple 1 : Construire le point M’ image du point M dans la translation de vecteur AB. Cliquez sur l’icône pour voir l’animation Remarque: Pour construire l’image d’une figure, il suffit de reproduire la même construction à partir des sommets de la figure de départ.

Exemple 2 : Construire l’image F ’de la figure F par la translation de vecteur m. m 6 vers la droite F 4 vers le haut ’ m 6 vers la droite 4 vers le haut

2) Vecteurs égaux Deux vecteurs égaux signifie que les deux vecteurs ont la même direction, le même sens et la même longueur. Remarque : pour construire deux vecteurs égaux, on utilise la construction du parallélogramme. ABCD est un parallélogramme A B AB = DC AD = BC D C

Propriétés Si ABCD est un parallélogramme alors AB = DC. Réciproquement: Si AB = DC alors ABCD est un parallélogramme. Remarque : les phrases suivantes sont équivalentes . AB = DC. . ABCD est un parallélogramme. . C est l’image de D par la translation de vecteur AB. . C est l’image de D par la translation qui transforme A en B.

III. Composée de deux translations et somme de deux vecteurs Construisons l’image de F 1 par la translation de vecteur AB. On la note F 2 F 1 F 2. B F 2 par la translation de vecteur BC. On la note A Conclusion : Construisons l’image de F 3 C F 3. Il existe une translation permettant de passer directement de F 1 à F 3. C’est la translation de vecteur AC.

1) La relation de Chasles A, B et C étant trois points du plan, la composée dela translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur BC est la translation de vecteur AC. Remarque: On dit que le vecteur AC est la somme des vecteurs AB et BC. cette relation est appelée … « RELATION DE CHASLES » AC = AB + BC

« RELATION DE CHASLES » AC = AB + BC Michel Chasles (Fr, 1793 -1880) : La relation n’est pas de lui, mais nommée ainsi en hommage à ses travaux sur les vecteurs. Homme naïf, il fut ruiné en achetant de fausses lettres (Jeanne d’arc à sa mère, Vercingétorix à César, …) !

2) Construction de la somme de deux vecteurs Construisons un représentant du vecteur u + v. Cliquez sur l’icône pour voir l’animation

IV. Composée de deux symétries centrales Cliquez sur l’icône pour voir l’animation

I et J étant deux points du plan, la composée de la symétrie de centre I suivie de la symétrie de centre J est la translation de vecteur IJ + IJ que l’on note 2 IJ Remarque : Pour démontrer cette nouvelle propriété, on utilise la « propriété de la droite des milieux » dans le triangle AA’A’’ pour montrer que ( IJ ) // ( AA’’ ) et que 2 IJ = AA’’