Pytagorova veta Ciele Osvoji si Pytagorovu vetu Vedie

Pytagorova veta

Ciele § Osvojiť si Pytagorovu vetu § Vedieť použiť Pytagorovu vetu pri riešení úloh z praxe

Grécky matematik. Študoval matematiku a astronómiu v Egypte a Babylone. Žil v južnom Taliansku a na Sicílii, kde založil školu, ktorá významne prispela k rozvoju matematiky a astronómie. Jeho žiaci dokázali platnosť vzťahu, ktorý nesie názov „Pytagorova veta“.

Motivácia Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Často to robili takto: Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napríklad po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 148 je pravý.

Pravouhlý trojuholník B β c - prepona odvesna - a . C Prepona pravouhlého trojuholníka leží oproti pravému uhlu. Je to najdlhšia strana pravouhlého trojuholníka. α b - odvesna A Dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka je jednoznačne určená dĺžkami oboch jeho odvesien.

9 + 16 = 25 32 + 4 2 = 5 2 5 cm 16 cm 2 4 cm 25 cm 2 3 cm 9 cm 2 B c 2 a a 2 c Platí: b C A b 2 a 2 + b 2 = c 2

Pytagorova veta: Obsah štvorca nad preponou sa rovná súčtu obsahov štvorcov nad oboma odvesnami. c 2 = a 2 + b 2 Dôkaz: b a c b a b 3 c a a 4 2 c c 2 2 b c 1 a b b a a b 2 4 a 2 a b 3 1 b a

Obrátená Pytagorova veta: Ak pre veľkosti strán a, b, c trojuholníka platí vzťah c 2 = a 2+ b 2 , potom je tento trojuholník pravouhlý s preponou c a odvesnami a, b. Príklad: Zistite, či trojuholník ABC so stranami a = 12 cm, b = 5 cm a c = 13 cm je pravouhlý. c 2 = a 2+ b 2 132 = 122 + 52 169 = 144 + 25 169 = 169 → platí Odpoveď: Trojuholník ABC je pravouhlý.

Príklad: Aká dlhá je prepona pravouhlého trojuholníka, ktorého odvesny majú dĺžky 56 mm a 33 mm? A a = 56 mm b = 33 mm c = ? mm b = 33 mm . c = ? mm C c 2 = a 2 + b 2 c 2 = 562 + 332 c 2 = 3 136 + 1 089 a = 56 mm B Z Pytagorovej vety vieme, že súčet obsahov štvorcov nad odvesnami sa rovná obsahu štvorca nad preponou. c 2 = 4 225 c = 65 mm Odpoveď: Prepona pravouhlého trojuholníka má dĺžku 65 mm.

Príklad: Vypočítaj dĺžku odvesny m pravouhlého trojuholníka MNP, ak prepona p má dĺžku 12, 4 cm a druhá odvesna n má dĺžku 8, 5 cm. N p = 12, 4 cm n = 8, 5 cm p= m = ? cm p 2 = m 2 + n 2 12 , 4 Opäť využijem Pytagorovu vetu. cm . P M n = 8, 5 cm 2. spôsob: 12, 42 = m 2 + 8, 52 m 2 = p 2 – n 2 153, 76 = m 2 + 72, 25 . m 2 = 153, 76 – 72, 25 . m 2 = 81, 51 . m = 81, 51 m = 9, 03 cm ≐ 9 cm Odpoveď: Odvesna m pravouhlého trojuholníka MNP má dĺžku približne 9 cm.

Námety na domácu úlohu: 1. Sú dané dĺžky strán trojuholníka. Rozhodnite, ktorý z nich je 2. pravouhlý. 3. a) 5 cm, 6 cm, 7 cm b) 80 mm, 150 mm, 170 mm 4. c) 10 m, 24 m, 26 m d) 7 dm, 9 dm, 11 dm 2. Vypočítajte dĺžku písmenom označenej strany pravouhlého 3. trojuholníka. a) y b) 86 ˙ x 8 · 16 c) 19 a 47 . 64

Pytagoras okolo seba šíril mýtus tajomnosti. Prednášal iba v noci, v dôstojnom bielom odeve a nie každý sa s ním mohol rozprávať. Mal obrovskú autoritu a medzi jeho žiakmi bolo najsilnejším argumentom, že niečo povedal sám Pytagoras: „ autos efa – sám to povedal“. „ Mlč, alebo povedz niečo, čo je lepšie, ako mlčať. “ Pytagoras „ Najkratšie odpovede – áno a nie – vyžadujú najdlhšie rozmýšľanie. “ Pytagoras

Zoznam informačných zdrojov § O. Šedivý a kol. : Matematika pre 8. ročník ZŠ, 2002 § P. Bero: Matematici, Ja a Ty, 1989 § I. Štoll: Objavitelia prírodných zákonov, 1997 § Power. Point, Clip. Art, skicár, scanner, internet

Ďakujem za pozornosť Anna Gočiková annagocikova@centrum. sk