PYTAGOROVA VETA Pytagorova veta Pytagorova veta je zkladn

PYTAGOROVA VETA

Pytagorova veta � Pytagorova veta je základná teoréma(synonymum pre poučka či veta) euklidovskej geometrie. (Euklidovská geometria je matematická teória, ktorej základy položil grécky matematik Euklides z Alexandrie iní tip geometrie vznikol až v 19. stor. )

Pytagorova veta Popisuje vzťah, ktorý platí medzi dĺžkami strán pravouhlého trojuholníka v rovine. Umožňuje jednoducho vypočítať dĺžku tretej strany trojuholníka, ak sú známe dĺžky jeho dvoch zvyšných strán. Slovne sa veta dá formulovať takto: � Obsah štvorca zostrojeného nad preponou (najdlhšou stranou) pravouhlého trojuholníka je rovný súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad jeho odvesnami. Formálne možno Pytagorovu vetu vyjadriť rovnicou � a 2 + b 2 = c 2 , kde a, b sú dĺžky odvesien a c je dĺžka prepony pravouhlého trojuholníka. � �

obrátená Pytagorova Veta � Obrátená Pytagorova veta: � Ak pre veľkosti strán a, b a c trojuholníka ABC platí vzťah c 2 = a 2 + b 2, potom je tento trojuholník pravouhlý s odvesnami a a b a preponou c. �

Dejiny Pytagorova veta je pomenovaná podľa starogréckeho matematika Pythagora zo Samu, ktorý ju v 6. storočí pred Kr. odvodil pre Európu resp. staroveké Grécko. Pravdepodobne bola ale známa aj v iných starovekých civilizáciách a navyše oveľa skôr (napríklad v Číne , Egypte). � Starí Egypťania a Indovia stavali pozoruhodné stavby. Pri týchto stavbách potrebovali vytyčovať aj pravé uhly. Často to robili takto: Na napnutom špagáte uviazali 13 uzlov tak, aby vzdialenosti medzi uzlami boli rovnaké (napr. po 50 cm). Špagát napli tak, že uzol 1 a 13 upevnili na tom istom mieste a uzly 4 a 8 tiež upevnili (pozri obrázok). Potom uhol 1, 4, 8 je pravý. �

Zovšeobecnenie Pytagorovej vety. Nahradenie štvorcov inými plošnými obrazcami Štvorce je možné vo formulácii vety nahradiť akýmikoľvek inými plošnými útvarmi (kružnicou, trojuholníkom, päťuholníkom a pod. ) za predpokladu, že sú si navzájom podobné a ich šírka je priamo úmerná dĺžke príslušnej strany trojuholníka. Súčet obsahov týchto obrazcov nad odvesnami bude opäť rovný obsahu obrazca zostrojeného nad preponou. � Fakt, že to vyplýva už z formulácie pôvodnej vety so štvorcami nad stranami trojuholníka, je možné si uvedomiť vtedy, ak sa vezme do úvahy, že obsah každého z obrazcov je vzhľadom na platnosť predpokladov úmerný obsahu štvorca nad danou stranou a konštanta úmernosti k je vždy rovnaká vďaka vzájomnej podobnosti obrazcov i štvorcov. Ak sa dosadí za plochu štvorcov do vzorca -násobok plochy obrazca, potom bude možné rovnicu krátiť konštantou a výsledkom bude hľadané zovšeobecnenie. �

Dôkazy Pytagorovej vety � � � Dôkazov Pytagorovej vety jestvuje veľmi veľa, uvádza sa až viac ako 300. Tu sú uvedené len niektoré z nich. Dôkaz číslo 1 K dôkazu č. 1 – porovnanie obsahov štvorcov zložených dvomi spôsobmi Ide o grafický dôkaz. Štvorec so stranou a + b je možné zložiť dvomi spôsobmi zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a dvoch štvorcov so stranami a a b zo štyroch pravouhlých trojuholníkov a jedného štvorca so stranou c. Z rovnosti obsahov štvorca pri oboch spôsoboch zloženia vyplýva platnosť Pytagorovej vety.

Dôkazy Pytagorovej vety � � � � Dôkaz číslo 2 Ide v podstate o zápis prvého dôkazu pomocou rovníc. Obsah celého štvorca je možné vyjadriť dvomi spôsobmi: Strana štvorca je zložená zo strán trojuholníka a a b. Pre jeho obsah teda platí: S = ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 S=(a+b)=(a+b)^{2}=a^{2}+2 ab+b^{2}}. Štvorec je tvorený štyrmi modrými pravouhlými trojuholníkmi a bielym štvorcom uprostred so stranou c. Obsah celého štvorca je teda súčtom obsahov štyroch pravouhlých trojuholníkov ( 4 a b 2 = 2 a bieleho štvorca so stranou c ( c 2). Obsah celého obrazca je daný vzorcom S = 2 a b + c 2. Pretože ide v oboch prípadoch o ten istý štvorec, musí sa jeho obsah spočítaný obidvomi spôsobmi rovnať. Preto platí a 2 + 2 a b + b 2 = 2 a b + c 2}=2 ab+c^{2}} a po úprave dostaneme Pytagorovu vetu v známom tvare a 2 + b 2 = c 2 {2}+b^{2}=c^{2}}.

Dôkazy Pytagorovej vety � Dôkaz číslo 3 � K dôkazu číslo 3 – podobnosť trojuholníkov � Je možné sa jednoducho presvedčiť, že ak sú zelenou farbou vyznačené uhly ( D C B a D A C, ktorý sa rovná uhlu B A C ) zhodné, potom sú si trojuholníky navzájom podobné (veľkosti ich strán sú v rovnakom pomere a ich uhly sú zhodné).

Pytagorejské čísla � Pytagorejské číslatvoria trojice prirodzených čísel a a c, pre ktoré platí a 2 + b 2 = c 2. Sú to teda prirodzené čísla, ktoré vyhovujú Pytagorovej vete. Pytagorejské čísla sú napríklad 3, 4, 5.

Pytagoras zo Samu/zo Samosu bol starogrécky filozof, nábožensko-morálny reformátor, matematik, astronóm, akustik. V juho talianskom meste Krotón založil vlastnú školu, ktorá bola zároveň aj náboženským spolkom. � Podstatou všetkého je podľa Pytagora číslo. Číslo je princíp, ktorý dáva veciam určitosť, jasnosť, poznateľnosť. Čísla sú aj symbolom etických hodnôt a vzťahu medzi ľuďmi. � Pytagoras pochádzal z ostrova Samos. Emigroval odtiaľ údajne na znak protestu proti Polykarpovej tyranii. Precestoval Egypt aj Perziu a zoznámil sa s náboženstvom tamojších národov i s výsledkami ich vedeckého skúmania a pozorovania. � V spolku, ktorý Pytagoras založil, ho považovali za veľkú autoritu a výrok 'Pytagoras to povedal' sa vraj používal ako argument pri uplatňovaní nejakého názoru. �

koniec