Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Lipat Dua [MA 1124] KALKULUS II

Integral Lipat Dua Misalkan z = f(x, y) terdefinisi pada R merupakan suatu persegi panjang tertutup, yaitu : R = {(x, y) : a x b, c y d} z Z=f(x, y) c a b yk xk 1. Bentuk partisi [a, b] dan [c, d] menjadi n bagian. 2. Pilih pada setiap sub interval pada [xi, xi-1] dan [yi, yi-1] 3. Bentuk jumlah Riemann. d y R 4. Jika n (|P| 0) diperoleh limit jumlah Riemann. x Jika limit ada, maka z = f(x, y) terintegralkan Riemann pada R, ditulis 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 2

Integral Lipat Dua Definisi integral lipat dua : Misalkan f suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R. Jika ada, kita katakan f dapat diintegralkan pada R. Lebih lanjut yang disebut integral lipat dua f pada R diberikan oleh : atau 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 3

Arti Geometri Integral Lipat Dua Jika z = f(x, y) kontinu, f(x, y) 0 pada persegpanjang R, maka menyatakan volume benda padat yang terletak di bawah permukaan z = f(x, y) dan di atas R. 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 4

Menghitung Integral Lipat Dua Jika f(x, y) 0 pada R, maka volume dapat dihitung dengan metode irisan sejajar, yaitu: (i) Sejajar bidang XOZ z z z= f(x, y) A(y) a A(y) c d a y b x 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 5

Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan) Maka 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 6

Menghitung Integral Lipat Dua (lanjutan) (ii) Sejajar bidang YOZ z z z= f(x, y) A(x) a c d c y d y b x 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 7

Menghitung Integral Lipat Dua (Lanjutan) Maka 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 8

Contoh 1. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana R = {(x, y) | 0 x 6, 0 y 4} Jawab: y 4 R 6 9/14/2021 x [MA 1124] KALKULUS II 9

Contoh Atau, 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 10

Contoh 2. Hitung integral lipat dua berikut ini : dimana R = {(x, y) | 0 x /2, 0 y /2} Jawab: y /2 R /2 9/14/2021 x [MA 1124] KALKULUS II 11

Latihan 1. Hitung 2. untuk fungsi a. f(x, y)= (x + 2 y)2 dengan R = [-1, 2] x [0, 2] b. f(x, y)= x 2 + y 2 dengan R = [0, 1] x [0, 1] c. f(x, y)= y 3 cos 2 x dengan R = [- /2, ] x [1, 2] 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 12

Sifat Integral Lipat Dua Misalkan f(x, y) dan g(x, y) terdefinisi di persegipanjang R 1. 2. 3. Jika R = R 1 + R 2 , maka 4. Jika f(x, y) g(x, y), maka 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 13

Integral Lipat Dua atas Daerah Sembarang Ada dua tipe 1 Tipe I D = {(x, y) | a x b , p(x) y q(x) } 1 Tipe II D = {(x, y) | r(y) x s(y) , c y d } 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 14

Tipe I Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut : x y D={(x, y)| a x b, p(x) y q(x)} 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 15

Tipe II Integral lipat dua pada daerah D dapat dihitung sebagai berikut : d x D c s (y) r (y) x y D={(x, y)|r(y) x s(y), c y d} 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 16

Aturan Integrasi 0 0 0 Urutan pengintegralan dalam integral lipat dua tergantung dari bentuk D (daerah integrasi). Dalam perhitungannya, kadangkala kita perlu merubah urutan pengintegralan. Hal ini dapat disebabkan dengan perubahan urutan pengintegralan akan memudahkan dalam proses integrasinya. Oleh karena itu, langkah pertama kita harus dapat menggambarkan daerah integrasi, integrasi selanjutnya kita dapat merubah urutan integrasi dengan mengacu pada sketsa daerah integrasi yang sama. 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 17

Contoh , R dibatasi x= y 2, y =1, sumbu y 1. Hitung R = {(x, y)| 0 x y 2, 0 y 1} y x = y 2 1 x R 1 9/14/2021 x [MA 1124] KALKULUS II 18

Contoh Atau dibalik urutan pengintegralannya, yaitu: R = {(x, y)| 0 x 1, x y 1} y x = y 2 1 R y 9/14/2021 1 x [MA 1124] KALKULUS II 19

Contoh Jawab: Daerah integrasinya R = {(x, y)| 0 x 4, x/2 y 2} Diubah urutan pengintegralannya, yaitu: y R = {(x, y)| 0 x 2 y, 0 y 2} Sehingga yx=2 y = x/2 2 x R y 9/14/2021 4 x [MA 1124] KALKULUS II 20

Latihan 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 21

Integral lipat dalam koordinat kutub/polar Hitung , D={(x, y)|x 2+y 2 4} Dalam sistem koordinat kartesius, integral ini sulit untuk diselesaikan. Sistem Koordinat Kutub Hubungan Kartesius – Kutub x = r cos x 2+y 2=r 2 y = r sin = tan-1(y/x) y r P(r, ) x 9/14/2021 =0 (sumbu kutub) [MA 1124] KALKULUS II 22

Transformasi kartesius ke kutub Misalkan z = f(x, y) terdefinisi pada persegipanjang kutub D D={(r, )| a r b, } Ak r=a Ak = r=b D = Sumbu Kutub rk-1 rk Pandang satu partisi persegi panjang kutub Ak Luas juring lingkaran dengan sudut pusat adalah ½ r 2 Ak = ½ rk 2 - ½ rk-12 = ½ (rk 2 - rk-12) = ½ (rk + rk-1) (rk - rk-1) = r r Jika |P| 0, maka d. A = r dr d (|P| panjang diagonal Ak) 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 23

Transformasi kartesius ke kutub Sehingga Contoh: 1. Hitung 2. Hitung 9/14/2021 , D={(x, y)|x 2+y 2 4} , D adalah daerah di kuadran I di dalam lingkaran x 2+y 2=4 dan di luar x 2+y 2=1 [MA 1124] KALKULUS II 24

Contoh dengan D = {(x, y)| x 2+y 2 4} Jawab. D adalah daerah di dalam lingkaran dengan pusat (0, 0) jari-jari 2. D = {(r, )| 0 r 2, 0 2 } y Sehingga 2 D 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II r 2 x 25

Contoh dengan D adalah persegipanjang kutub di kuadran I di dalam lingkaran x 2+y 2=4 di luar x 2+y 2=1 D = {(r, )| 1 r 2, 0 /2} Sehingga y D r 1 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 2 x 26

Latihan 1. Hitung 2. Hitung 3. Tentukan volume benda pejal di oktan I di bawah paraboloid z = x 2+y 2 dan di dalam tabung x 2 + y 2 = 9 dengan menggunakan koordinat kutub. 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 27

D daerah sembarang/umum 1. 2. D={(r, )| 1( ) r 2( ), } D={(r, )| a r b, 1(r) 2(r)} = 2(r) r=b = r= 2( ) r= 1( ) D D = r=a Sumbu Kutub 9/14/2021 = 1(r) [MA 1124] KALKULUS II 28

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 1 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (1, 0) dan berjari-jari 1 D 1 2 Jadi, (x – 1)2 + y 2 = 1 x 2 – 2 x + 1 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = 2 x r 2 = 2 r cos r 2 – 2 r cos =0 r (r – 2 cos )=0 r = 0 atau r = 2 cos Untuk batas (dari gambar) =– /2 = /2 Sehingga, D={(r, )| 0 r 2 cos , – /2 /2} 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 29

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar y = /4 x=1 x=2 y=0 y= D 1 2 x x 2 + y 2 – 2 x = 0 (x – 1)2 + y 2 = 1 ini merupakan lingkaran pusat (1, 0), jari-jari 1 y 2 = 2 x – x 2 Untuk batas r dihitung mulai r cos = 1 x=1 hingga r = 2 cos r = sec Untuk batas (dari gambar) =0 = /4 Sehingga koordinat polarnya adalah D={(r, )| sec r 2 cos , 0 /4} 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 30

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 2 Terlihat bahwa D adalah lingkaran dengan pusat di (0, 1) dan berjari-jari 1 1 Jadi, x 2 + (y – 1)2 = 1 x 2 + y 2 – 2 y + 1 = 1 x 2 + y 2 = 2 y r 2 = 2 r sin r 2 – 2 r sin =0 r (r – 2 sin )=0 r = 0 atau r = 2 sin 1 Untuk batas (dari gambar) =0 = Sehingga, D={(r, )| 0 r 2 sin , 0 } 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 31

Tuliskan daerah integrasi dalam koordinat polar 1 D 1 x=0 x=1 y=0 y=x Untuk batas r x=1 r cos = 1 r = sec Untuk batas (dari gambar) =0 = /4 Sehingga koordinat polarnya adalah D={(r, )| 0 r sec , 0 /4} 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 32

Contoh 1. Hitung Jawab: Dari soal terlihat batas untuk x dan y: x=1 x=2 y=0 y= x 2 + y 2 – 2 x = 0 (x – 1)2 + y 2 = 1 ini merupakan lingkaran dengan pusat (1, 0), jari-jari 1 y Koordinat polarnya adalah = /4 y 2 = 2 x – x 2 D={(r, )| sec r 2 cos , 0 /4} D 1 9/14/2021 2 x [MA 1124] KALKULUS II 33

Contoh (Lanjutan) Sehingga, 9/14/2021 [MA 1124] KALKULUS II 34

Latihan 1. Hitung 2. Hitung 3. Hitung 9/14/2021 , S daerah dalam lingkaran r = 4 cos dan di luar r = 2 (dengan koordinat kutub) , D daerah kuadran I dari lingkaran x 2+y 2=1 antara y=0 dan y=x [MA 1124] KALKULUS II 35