Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Vektor [MA 1124] KALKULUS II

Definisi 0 Definisi fungsi vektor Fungsi vektor merupakan aturan yang mengkaitkan t ε R dengan tepat satu vektor Notasi : atau : R R 2(3) t t dengan f(t), g(t), h(t) fungsi bernilai real 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 2

Contoh, Daerah Asal dan Daerah Nilai 0 Contoh 0 Daerah Asal (Df ) 0 Daerah Hasil (Rf ) 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 3

Contoh Tentukan Df (daerah asal)! Misalkan dan Diperoleh dan Sehingga 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 4

Contoh Misalkan Diperoleh dan , , dan Sehingga Misalkan Diperoleh dan Sehingga 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 5

Contoh Misalkan dan Diperoleh dan Sehingga 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 6

Latihan Tentukan Df (daerah asal)! 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 7

Grafik Fungsi Bernilai Vektor 0 Misalkan y c Df=[a, b] [ ] a t b x Jika t berubah sepanjang [a, b] ujung-ujung menjelajah lengkungan (kurva) C dengan arah tertentu disebut titik pangkal lengkungan C disebut titik ujung lengkungan C kurva C disebut kurva tertutup 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 8

Grafik fungsi vektor 0 0 Grafik fungsi bernilai vektor berupa lengkungan/kurva di R 2(3) dengan arah tertentu Cara menggambar grafik fungsi vektor 1. Tentukan persamaan parameter dari lengkungan C 2. Kemudian eliminasi parameter t dan gambarkan (Gambar kartesius kurva) 3. Tentukan arahnya 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 9

Contoh Gambarkan grafik fungsi dibawah ini: Persamaan parameter x = 3 cos t x/3 = cos t y = 2 sin t cos 2 t + sin 2 t =1 (ellips) y/2 = sin t Arahnya y 2 C 3 -3 x -2 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 10

Contoh Persamaan parameter x=t– 4 t = x+4 y= (parabola) y= Arahnya y 2 C -4 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II x 11

Contoh Persamaan parameter x=–t (lingkaran) y= Arahnya y a C –a 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II a x 12

Latihan Gambarkan grafik fungsi dibawah ini: 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 13

Persamaan Parameter di R 3 Persamaannya adalah sebagai berikut: x = f 1(t) ; y = f 2(t) ; z = f 3(t) , t ε I Contoh: x = cos t; y = sin t; z = t , t ε R 2. Garis z P(x, y, z) P 0=(x 0, y 0, z 0) x 12/2/2020 y [MA 1124] KALKULUS II 14

Garis (ljt) 0 Garis adalah himpunan semua titik P sehingga Jika w =<x, y, z> dan w 0 =<x 0, y 0, z 0> serta v = <a, b, c> maka persamaan garis dalam bentuk parameter ditulis sebagai berikut Sedangkan persamaan simetrinya adalah 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 15

Contoh 1. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (1, 2, 3) dan sejajar dengan vektor <-1, 2, 3> Jawab: Persamaan simetri garis tersebut adalah x=1–t y=2+2 t z=3+3 t 2. Tentukan persamaan parameter dari garis yang melalui titik (2, -3, -1) dan (5, -1, -4) Jawab: =<5 vektor dengan – 2, yang – 1 +sejajar 3, – 4 + 1> = garis <3, 2, tersebut: – 3> Pilih titik (x 0, y 0, z 0) = (2, – 3, – 1) maka persamaan parameter garis tersebut adalah x = 2 + 3 t , y = – 3 + 2 t , z = – 1 – 3 t 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 16

Latihan 1. Carilah persamaan parameter dari garis yang melalui pasangan titik yang diberikan: a. (1, -2, 3), (4 , 5, 6) b. (2, -1, 5), (7, -2, 3) c. (4, 2, 3), (6, 2, -1) 2. Tuliskan persamaan parameter dan persamaan simetri untuk garis yang melalui yang diberikan dan sejajar terhadap vektor yang diberikan a. (4, -6, 3), <-2, 1, 5> b. (-1, 3, 2), <4, 2, -1> c. (2, 5, -4), <-3, 4, 2> 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 17

Ekivalen 0 Fungsi 0 dan disebut ekivalen jika dan menjelajahi suatu lengkungan C yang sama dengan arah yang sama. Contoh dan ekivalen Norm Misalkan 12/2/2020 maka norm dari [MA 1124] KALKULUS II adalah 18

Sifat Misalkan dan 1. adalah sudut antara dua vektor tersebut 2. 3. c =konstanta 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 19

Limit Definisi y Ilustrasi . ( a- a ε ) a+ x 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 20

Teorema Misalkan , maka mempunyai limit di a f 1(t) dan f 2(t) mempunyai limit di a. Dan Contoh: Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan): 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 21

Contoh (Jawab) 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 22

Contoh (Jawab) karena Jadi 12/2/2020 (tidak ada) tidak ada [MA 1124] KALKULUS II 23

Latihan Hitung limit (fungsi vektor) berikut jika ada, (Jika tidak ada beri alasan): 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 24

Kekontinuan Definisi kontinu di a jika kontinu pada himpunan A R jika di setiap titik pada A kontinu Teorema Fungsi kontinu pada B f 1(t), f 2(t) , f 3(t) kontinu pada B 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 25

Turunan Definisi: Misalkan Jadi 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 26

Contoh 1. Diketahui . Tentukan dan Jawab i. ii. 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 27

Contoh. Tentukan 2. Diketahui dan Jawab a. b. 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 28

Latihan 1. Diketahui Tentukan dan 2. Diketahui Tentukan 3. Tentukan dan a. b. 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 29

Arti Geometris z P Df=[a, b] [ c ] a t b Vektor O x searah dengan vektor y Jika h 0, maka Merupakan vektor singgung pada kurva C di titik P pada saat t Arti Geometris 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II : Vektor Singgung 30

Garis Singgung z P Df=[a, b] [ ] a t b c x O y Persamaan garis singgung pada kurva C pada titik P adalah atau <x, y, z>=<f 1(t 0), f 2(t 0), f 3(t 0) >+t<f 1’ (t 0), f 2’ (t 0), f 3’(t 0) > 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 31

Contoh Diketahui Tentukan persamaan garis singgung di titik P (– 1, 0, ). Jawab: t 0 = waktu saat P tercapai, yaitu t 0 = Persamaan parameter garis singgung di titik P (– 1, 0, ) adalah x = – 1, y = – t , z = + t 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 32

Latihan 1. Diketahui Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 4). 2. Diketahui Tentukan persamaan garis singgung di titik P (0, 1, 1). 3. Diketahui Tentukan persamaan garis singgung di titik P (– 2, – 2). 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 33

Gerak Sepanjang Kurva Misalkan t menyatakan waktu dan P titik yang bergerak ditentukan oleh persamaan parameter x = f(t); y = g(t). maka menyatakan vektor posisi dari titik P. Jika t berubah ujung vektor bergerak sepanjang lintasan titik P. Gerak ini dinamakan Gerak Sepanjang Kurva (Gerak Curvilinear) 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 34

Definisi Contoh 1. Kecepatan 1. Gerak Linear titik P adalah di sebut laju titik P 2. Percepatan 2. Gerak pada Lingkaran titik P di sebut besar percepatan pada saat t 3. Gerak pada ellips 4. Gerak pada heliks Lingkaran 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 35

Contoh Gerak Sepanjang Kurva Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah x = 3 cos t dan y = 2 sin t (t = waktu) a. Gambarkan grafik lintasan P. b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 36

Jawab a. Persamaan parameter x = 3 cos t x/3 = cos t y = 2 sin t cos 2 t + sin 2 t =1 (ellips) y/2 = sin t y 2 . P 3 -3 x -2 b. 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 37

Jawab (Lanjutan) b. Laju maks = 3, dicapai saat sin t = ± 1, atau t = /2, 3 /2 yaitu pada titik (0, ± 2) Laju min = 2, dicapai saat sin t = 0, atau t = 0, yaitu pada titik (± 3, 0) 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 38

Latihan Persamaan parameter sebuah titik P yang bergerak pada bidang adalah x = 4 cos t dan y = 3 sin t (t = waktu) a. Gambarkan grafik lintasan P. b. Tentukan rumus untuk kecepatan, laju dan percepatan c. Tentukan nilai maksimum dan minimum laju dan pada saat mana nilai itu dicapai 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 39

Kelengkungan vektor posisi titik P. Andaikan a t b, Panjang lintasan s dari P(a) ke P(t) adalah Laju titik yang bergerak itu adalah 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 40

Kelengkungan (Ljt) 0 Definisi. Vektor Singgung Satuan di P. Notasi y didefinisikan sbb o Apabila P bergerak x berubah arah disebut vektor kelengkungan di P 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 41

Kelengkungan (Ljt) 0 Kelengkungan di P; (kappa). Dengan aturan rantai diperoleh Jadi dan disebut jari-jari kelengkungan 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 42

Contoh Tentukan kelengkungan dan jari-jari kelengkungan dari Jawab: 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 43

Contoh (lanjutan) (Jari-jari kelengkungan) Jadi kelengkungan ( ) kurva diatas di t= /12 adalah 1/6, Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 6 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 44

Contoh Jawab: 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 45

Contoh (lanjutan) (Jari-jari kelengkungan) Jadi kelengkungan ( ) kurva diatas di t= /12 adalah , Sedangkan jari-jari kelengkungannya (R) adalah 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 46

Latihan Tentukan vektor singgung satuan, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan di titik yang diberikan 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 47

Teorema Andaikan x = f (t) dan y = g (t) adalah persamaan parameter kurva yang mulus. Maka Khususnya, untuk kurva dengan persamaan y =g(x), berlaku 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 48

Contoh 1. Tentukan kelengkungan elips x = 2 cos t, y = 3 sin t pada titik t = 0 dan t = /2 Jawab: x’ = – 2 sin t x” = – 2 cos t y’ = 3 cos t y” = – 3 sin t Kita peroleh Sehingga 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 49

Contoh 2. Tentukan kelengkungan kurva y = x 2 di P(1, 1) Jawab: y’ = 2 x Kita peroleh y” = 2 Sehingga 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 50

Latihan Tentukan kelengkungan kurva berikut di titik P 1. y = x 2 – x, di P(1, 0) 2. r(t)=(t+t 3) i + (t+t 2) j , di P(2, 2) 3. r(t)=2 t 2 i + (4 t+2) j , di P(2, -2) 4. r(t)=4(1 – sint) i + 4(t+cos t) j , di P(8, 8 /3) 12/2/2020 [MA 1124] KALKULUS II 51