PREHRAMBENO BIOTEHNOLOKI FAKULTET Poslijediplomski studij PREHRAMBENE TEHNOLOGIJE MODELIRANJE
PREHRAMBENO -BIOTEHNOLOŠKI FAKULTET Poslijediplomski studij: PREHRAMBENE TEHNOLOGIJE MODELIRANJE, OPTIMIRANJE I PROJEKTIRANJE PROCESA Prof. dr. sc. Želimir Kurtanjek PBF tel: 4605 294 fax: 4836 083 E-mail: zkurt@mapbf. hr URL: http: /mapbf. hr/~zkurt 1
OPTIMIRANJE 2 Literatura 1) J. Petrić, S. Zlobec " Nelinearno programiranje", Naučna knjiga, 1983. 2) W. H. Ray, J. Szekely " Process Optimiztion", J. Wiley and Sons, London, 1973. 3) T. F. Edgar, D. M. Himmelblau " Optimization of Chemical Processes ", Mc. Graw Hill, New York, 1992.
Matematički modeli i optimiranje industrijskih procesa 3 1. Sustavski pristup modeliranju i optimiranju industrijskih procesa Sa sustavskog gledišta matematički model industrijskog procesa (promatrani sustav ) zasniva se na definiranju slijedećih pojmova: svrha procesa, granica između sustava i okoline, struktura sustava, veličine stanja sustava, te ulaznih i izlaznih veličine koje određuju interakciju između okoline i sustava.
Prikaz odnosa sustava i okoline. 4
U tipičnom industrijskom okruženju optimiranje proizvodnje može se prikazati nadređenom ( hijerarjskom strukturom ). VRIJEME EKONOMSKI EFEKTI MENAĐMENT 1 -5 godina PROJEKTIRANJE PROCESA I TEHNOLO[KIH OPERACIJA DNEVNI PLANOVI OPERACIJA 0, 1 -1 godina 1 -7 dana 5
Matematički model sustava 6 Na osnovu prikaza strukture prikazanog na slici 2 matematički model sustava određen je slijedećim matematičkim modelima: MP = model procesa , MU = model upravljačkog sustava, i MO = model optimiranja svrhe procesa. U svrhu upravljanja i optimiranja industrijskih procesa koriste se raznovrsni oblici matematičkih modela. Razvojem suvremenih računala, računalnih jezika i metoda umjetne inteligencije ( AI ) rabe se slijedeće klase modela: 1) analitički modeli ( dinamički, kontinuirani, diskretni, stacionarni, . . . ) 2) ekspertni sustavi 3) modeli s neizraženom logikom ( fuzzy logic models ) 4) neuralne mreže ( artifcial neural network models ) 5) hibridni modeli
7 Analitički matematički modeli predstavljau najvišu razinu modela, odnosno sadrže najviše znanja i informacija o procesu. Nastaju sintezom znanja iz kemije, biologije, kemijskog i biokemijskog inženjerstva, teorije upravljanja, računalnih znanosti i ekonomije industrijskih procesa. Takovi modeli su definirani veličinama stanja u prostoru stanja konačnih dimenzija N, i izraženi su deferencijalnim ( integralnim ) jednadžbama koje su izvedene iz bilanci mase, energije, količine gibanja, algoritama upravljanja, i kriterija optimalnosti procesa. Matematički formalizam modela sastoji se od slijedećih sustava jednadžbi:
MP model procesa 8
MU model upravljačkog sustava 9
MS model svrhovitosti ( funkcija cilja, kriterij optimalnosti ) I = funkcional optimalnosti, svrhovitost proizvodnje izražena cijenama proizvoda i svih troškova proizvodnje g = jednadžbe ograničenja svih ulaznih i izlaznih veličina 10
Optimiranje industrijskih procesa na osnovu matematičkih 11 modela zasniva se na sinergizmu izraženog relacijama međudjelovanja upravljačkih, ekonomskih, tehnoloških značajki proizvodnje, odnosno povezivanjem ekonomskih kriterija i planova, materijalnih i energetskih bilanci, informacija i upravljačkih odluka. Izvor mogućnosti optimiranja Okolina sinergizam MP x MU x MS Optimalno upravljanje
Primjeri modela optimiranja industrijske proizvodnje U industriji najčešću uporabu imaju modeli klase linearnog programiranja ( LP = linear programming ). Matematički model se sastoji iz dva dijela: 1) modela funkcije cilja F 2) modela ograničenja Funkcija cilja je linearna funkcija varijabli ( vektora x ): Ograničenja su linearne jednakosti i nejednakosti: Parametri modela su vektori c , b i matrica A. 12
13 Kriterij optimalnosti: gdje je S skup dopustivih rješenja određen modelom ograničenja Iako je osnovni oblik modela LP vrlo jednostavan on omogućuje optimiranje veliki broj raznorodnih aspekata industrijske proizvodnje.
Prikaz raznorodnih aspekata industrijske proizvodnje koji se mogu primjeniti pri izgradnji LP modela. LP model 14
Primjeri LP modela 1) Optimiranje sastava proizvoda ( LP blending ) Potrebno je odrediti optimalan sastav proizvoda za koji se ima na raspolaganju tri sirovine ( x 1, x 2, x 3). Sirovine imaju različite sastave bitnih komponenata, A, B i C. Zadane su cijene sirovina i proizvoda. 15
Proizvod mora zadavoljavati normativ kvalitete: 16 Na tržištu se može prodati maksimalna količina proizvoda od 2500 t. Za proizvodnju ima se na raspolaganju slijedeće količine proizvoda: x 1 = 800 t, x 2 = 2000 t, x 3 = 1500 t. Model funkcije cilja: max ( dobit ) = vrijednost proizvoda troškovi ( cijena sirovina ) max F ( x 1, x 2, x 3 ) = 1200 (x 1+ x 2 + x 3 ) - 750 x 1 - 800 x 2 -950 x 3
Model ograničenja: raspoloživie sirovine x 1 <= 800 x 2 <= 2000 x 3 <= 1500 maksimalna količina proizvoda x 1 + x 2 + x 3 <= 2500 normativ kvalitete bilanca A 0, 35 x 1 + 0, 15 x 2 + 0, 27 x 3 >= 0, 20 ( x 1 + x 2 + x 3 ) 0, 35 x 1 + 0, 15 x 2 + 0, 27 x 3 <= 0, 35 ( x 1 + x 2 + x 3 ) bilanca B 0, 27 x 1 + 0, 17 x 2 + 0, 12 x 3 >= 0, 12 ( x 1 + x 2 + x 3 ) 0, 27 x 1 + 0, 17 x 2 + 0, 12 x 3 <= 0, 25 ( x 1 + x 2 + x 3 ) 17
bilanca C 0, 15 x 1 + 0, 12 x 2 + 0, 19 x 3 >= 0, 13 ( x 1 + x 2 + x 3 ) 0, 15 x 1 + 0, 12 x 2 + 0, 19 x 3 <= 0, 20 ( x 1 + x 2 + x 3 ) LP model u matričnom obliku: max F( x 1, x 2, x 3 ) = 450 x 1 + 400 x 2 + 250 x 3 18
19 Model se prevodi u standardni oblik uvođenjem nadopunjujućih ( slack ) varijabli s x -> x (+ / - ) s tako da je model ograničenja standardnog oblika
Skup dopustiv rješenja je N dimenzionalan poligon omeđen ravninama, a funkcija cilja je ravnina. Odgovarajući prikaz u dvodimenzionalnom prostoru dan je na slici x 2 S A F B x 1 konveksnost skupa S 20
Primjenjuje se iterativni postupak rješavnja - Simplex algoritam. 21 Program je sastavni dio standardne PC računalne podrške, kao što su QUATTRO, EXCEL, WR Mathematica itd. Zavisnost dobiti o cijeni sirovine A.
Zavisnost dobiti od raspoložive količine sirovine A 22
Zavisnost dobiti o kvaliteti sirovine A. 23
Optimiranje uporabe industrijskih kapaciteta 24 Vrlo često se želi postići maksimalno iskorištenje kapaciteta industrijskih pogona pri čemu se želi primjeniti kriterij maksimalnog profita ( dobiti ). Jednostavan, ali tipičan primjer je slučaj proizvodnje u tri pogona (P 1, P 2, P 3 ) u kojima se mogu proizvesti dva proizvoda, A i B.
Potrebno je optimirati dnevni plan proizvodnje uzimajući u obzir: 1) cijenu proizvoda A i B 2) troškove proizvodnje za A i B 3) maksimalne potrebe tržišta za proizvodima A i B 4) raspoložive količine sirovina za proizvodnju A i B 5) vremenski dnevni kapacitet pojedinih pogona P 1, P 2, P 3 6) proizvodnost pojedinih pogona P 1, P 2, P 3 za proizvodnju A i B. LP model: Funkcija cilja: potrebe tržišta 25
26 raspoloživa sirovina proizvodni kapaciteti
Problem minimizacije transportnih troškova također je model 27 linearnog programiranja. Na primjer, potrebno je minimizirati troškove prijevoza robe iz tri izvora S 1, S 2, S 3 ( skladišta, tvornica, itd. ) do četiri mjesta potrošnje D 1, D 2, D 3, D 4 ( npr. pogona, opskrbna centra, itd. ). Problem se može prikazati grafički kao na slici Grafički prikaz transportnog problema s tri izvora S 1, S 2, S 3 i četiri destinacije (npr. transpot piva, pića, kruha, mlijeka …) D 1, D 2, D 3, D 4. Troškovi transporta iz izvora Si do destinacije Dj su tij
Pri optimiranju potrebno je uzeti u obzir slijedeća ograničenja: 1) raspoložive količine robe u pojedinim izvorima 2) potrebne količine robe u pojedinim destinacija Funkcija cilja Varijable optimiranja su xij količine robe transportirane iz izvora i do destinacije j. Jednadžbe ograničenja su: raspoložive količine robe proizvoda 28
Potrebne količine robe u destinacijama Budući da su sva ograničenja oblika jednakosti s koeficijentima 1, za optimiranje se rabi poseban oblik Simplex algoritma, tj. transportni algoritam koji je djelotvorniji od samog Simplex postupka. 29
Nelinarno optimiranje Optimiranje bez ograničenja: Nelinearna funkcija može imati više lokalnih minimuma (maksimuma) i točke infleksije. gradijent f(x) lokalni minimum globalni minimum 30
Gradijent funkcije 31 Gradijent skalarne funkcije s n varijabli je matrica (vektor) čije su komponente u prvom retku parcijalne derivacije funkcije po varijablama. Gradijent određuje smjer najstrmijeg porasta vrijednosti funkcije: smjer najstrmijeg porasta: smjer najstrmijeg pada: U ekstremima (stacionarne točke ) gradijent isčezava
Cauchyev postupak najbržeg spusta 32 Iterativni postupak kojim se određuje lokalni minimum /maksimum funkcije. 1). Odredimo po volji početnu iteracijsku točku , i=0 , (po mogućnosti u blizini globalnog minimuma). 2). Odredimo gradijent u točki: 3) Odredimo vrijednost parametra koji daje minimum funkcije pomakom u negativnom smjeru gradijenta (to je zadatak jednodimenzionalnog optimiranja): 4) Sljedeća točka u iterativnom nizu je: 5) Ako je ( je po volji mali broj) onda je minimum u suprotnom se ponavlja 2) za i=i+1
Nelinearno optimiranje s ograničenjima 33 model funkcije cilja : model ograničenja: m<n, manje ograničenja nego li varijabli Različiti oblici ograničenja moguće je transformacijama i uvođenjem dopunskih (“slack”) varijabli prikazati u danom obliku. Ograničenja određuju skup dopustivih rješenja S. Skup je omeđen nelinearnim plohama, ne mora biti jedinstven, a može biti i prazan. Elementi skupa mogu ali ne moraju biti lokalni i globalni ekstremi.
Iterativni postupak 1. Odredimo početno približno rješenje iz skupa S, 2. Riješimo LP problem primjenom Simplex algoritma: 3. Ako je dn+1 < onda je xi = xopt , ako nije prelazi se na korak 4). 34
35 4) Riješimo jednodimenzionalan problem optimiranja za tako da je: uz ograničenje 5) Sljedeća iteracija i = i+1, vratimo se na korak 2) za Primjer: Diplomski rad: Snježana Pećur “ Optimiranje sastava hrenovke”, Lab. MRA, PBF.
- Slides: 35