Poslovne simulacije 2 Analitiko modeliranje M ZekiSuac EFO

Poslovne simulacije 2. Analitičko modeliranje M. Zekić-Sušac, EFO

Što ćete naučiti u ovom poglavlju o o o Što je analitičko modeliranje Kako se izgrađuje jednostavan model u Excel-u Kako se izgrađuje model za optimizaciju linearnim programiranjem i cjelobrojnim programiranjem Kako se izgrađuju modeli slučajnih varijabli Što je Monte Carlo simulacija Kako rade virtualna tržišta vrijednosnica M. Zekić-Sušac, EFO

Analitičko simulacijsko modeliranje o o o Pod analitičkim simulacijskim modeliranjem smatra se upotreba matematičkih modela za optimizaciju ili simulaciju – najčešće s pomoću tabličnih kalkulatora ili drugih alata Alati za analitičko modeliranje najčešće se koriste kao dodaci tabličnom kalkulatoru, tj. Add-in alati (npr. Excel Solver, Risk Solver i drugi) – nakon instalacije koriste se iz sučelja MS Excel-a (pojavljuje se dodatni izbornik) Analitički modeli mogu se koristiti i za tzv. “what-if” (“štoako”) analizu kod sustava za potporu odlučivanju “What if” analize omogućuju praćenje različtih outputa ako se mijenjaju inputi u modelu, npr. praćenje promjene dobiti ako se promijeni cijena proizvoda. M. Zekić-Sušac, EFO

Matematički modeli analitičkog modeliranja o Opći oblik matematičkog modela problema odlučivanja sastoji se od: n n o skupa matematičkih relacija, i logičkih pretpostavki o problemu. Većina ekonomskih problema odlučivanja može se opisati ovim matematičkim modelom: gdje je Y zavisna (izlazna) varijabla, X 1, X 2, . . . , Xn su nezavisne (ulazne) varijable koje imaju neki utjecaj na izlaznu varijablu, f je funkcija koja opisuje vezu ili ovisnost između ulaznih i izlaznih varijabli M. Zekić-Sušac, EFO u modelu.

Primjer matematičkog modela za računanje dobiti o Jednostavni matematički model za određivanje dobiti: Dobit = prihodi – troškovi o Ako je Y=dobit, X 1=prihodi, X 2= troškovi, tada je matematički model: o Kod analitičkog modeliranja izgrađuju se npr. modeli izračuna otplate kredita, minimalnih zaliha, maksimalnog profita, optimalnog broja djelatnika na šalterima i sl. M. Zekić-Sušac, EFO

Matematički model za računanje otplate kredita o Cilj: kreirati model koji: n n o Primjer ako su poznate vrijednosti: n n n o će računati iznos mjesečnog obroka kredita, i ukupnog iznosa za otplatu, ako je poznat iznos kredita, godišnja kamatna stopa (nepromjenjiva), te rok otplate. Iznos kredita: 50. 000, 00 kn Godišnja kamatna stopa: 9% Rok otplate: 5 godina Model se jednostavno može napraviti u nekom od tabličnih kalkulatora (npr. MS Excel) M. Zekić-Sušac, EFO

Matematički model za računanje otplate kredita – u Excel tablici Formula u ćeliji B 6 – za izračunavanje iznosa mjesečnog obroka koristi funkciju PMT u Excelu, koja ima opći oblik: =PMT(mjesečna stopa; broj rata; iznos kredita) Vrijednosti koje treba osoba treba platiti su označene negativno (-). Prema Čerić, 1998, modificirano M. Zekić-Sušac, EFO

Matematički model za računanje otplate kredita – nastavak o o U modelu otplate kredita, izlazna varijabla (y) je u ćeliji B 6 – iznos rate kredita Ulazne varijable: n n n o Ćelija B 2 – iznos kredita (x 1) Ćelija B 3 – godišnja kamatna stopa (x 2) Ćelija B 4 – broj godina otplate (x 3) Matematički model ima oblik: M. Zekić-Sušac, EFO

Vrste analize modela Nakon izgradnje modela, potrebno je analizirati njegovo ponašanje. Postoje 4 glavne skupine analize modela: 1. “Što-ako” (What-if) analiza – korisnik mijenja jednu ili više nezavisnih (ulaznih) varijabli, i promatra kako se mijenja zavisna (izlazna) varijabla o o 2. Primjer: analiza rizika, najbolje je ako se obavlja simulacijom na način da se nezavisne varijable mijenjaju na slučajan način koristeći neku od distribucija Analiza osjetljivosti – korisnik mijenja samo jednu nezavisnu varijablu i promatra kako ona utječe na promjenu zavisne varijable o Primjer: ako se mijenja cijena, i promatra se kako ona utječe na promjenu profita M. Zekić-Sušac, EFO

Vrste analize modela - nastavak 3. Traženje cilja (eng. Goal seeking ili How can) – korisnik postavlja ciljnu vrijednost zavisne varijable, i traži da se mijenja vrijednost jedne od nezavisnih varijabli sve dok se ne dostigne ciljna vrijednost zavisne varijable. o 4. Primjer: ako postavimo da želimo postići profit od 10. 000 kn, i zadamo da se mijenja cijena, dok se ne pronađe cijena koja daje toliki profit. Optimizacija – zadaje se jedna ili više zavisnih varijabli koje treba optimirati promjenom jedne ili više nezavisnih varijabli uz zadana ograničenja. o Primjer: Treba optimirati (pronaći maksimalni) profit, ako su zadane cijene proizvoda, količine, troškovi, a ograničenja su raspoloživi kapacitet strojeva i ljudi, te potražnja M. Zekić-Sušac, EFO

Optimizacijski modeli linearnim programiranjem o Optimizacijski modeli često se rješavaju metodama linearnog programiranja, gdje se definira: n n n o o Što se želi optimirati (funkcija cilja), te da li se želi pronaći minimum ili maksimum Koje su varijable odlučivanja – što će se mijenjati u modelu Koja su ograničenja – postoje lijeve i desne strane ograničenja (funkcije koje definiraju ograničenja su lijeve, a konstante su desne strane) Ako su funkcije cilja i ograničenja u modelu linearne – koristi se linearno programiranje za njihovo rješavanje Ako nisu linearne, radi se o općenitom problemu optimizacije M. Zekić-Sušac, EFO

Optimizacija product-mix-a o o o Kao primjer linearne optimizacije navodimo optimizaciju product-mix-a (Model za određivanje optimalne količine pojedinih proizvoda iz proizvodnog programa ) Zadatak: U nekoj pekari proizvodi se 6 vrsta proizvoda. Zadani su uvjeti: prodajna cijena, troškovi. Mijenjaju se količine koje treba proizvesti da bi dobit bila maksimalna. Ograničenja su raspoloživi kapacitet strojeva, raspoložive sirovine i potražnja. Model će biti kreiran u alatu Excel Solver, koji se koristi za rješavanje problema optimizacije. n Alat Excel Solver dolazi ugrađen s instalacijom MS Excel tabličnog kalkulatora. Aktivira se u Excel-u s pomoću izbornika File / Options / Add Ins / Solver Add-in. Ukoliko je aktiviran, raspoloživ je putem izbornika Data / Solver. M. Zekić-Sušac, EFO

Optimizacija product-mix-a nastavak o Nezavisne varijable su: Broj proizvedenih komada proizvoda 1, . . . , proizvoda 6, tj. X 1, X 2, . . . , X 6 n o Funkcija cilja: maksimizirati dobit n Max: C 1 X 1+. . . + C 6 X 6 gdje je Ci – pojedinačna dobit za svaki proizvod i (razlika između prodajne cijene i cijene koštanja za proizvod i) o Uvjeti (ograničenja) su: n n n Iskorišteni broj radnih sati mora biti manji ili jednak raspoloživom broju radnih sati Iskorištena količina sirovina mora biti manja ili jednaka raspoloživoj količini sirovina Proizvedene količine moraju biti manje ili jednake od traženih količina za svaki od proizvoda i M. Zekić-Sušac, EFO

Optimizacija product-mix-a nastavak Dobit (profit) koji treba maksimizirati Proizvedene količine proizvoda koje se mijenjaju (varijable Xi) M. Zekić-Sušac, EFO

Optimizacija product-mix-a nastavak o Formula za izračunavanje ukupne dobiti (profita): =SUMPRODUCT(D 2: I 2; D 9: I 9) – količine svakog proizvoda se pomnože s jediničnom razlikom u cijeni (profitom) svakog proizvoda o Upotreba modela u Excel Solver-u n n Pokrenuti alat Solver (izbornik Tools / Solver) Upisati u odgovarajuća polja parametre modela o n Funkciju cilja, varijable i ograničenja Aktivirati naredbu Solve M. Zekić-Sušac, EFO

Optimizacija product-mix-a nastavak Funkcija cilja (maksimizirati dobit koja je u ćeliji D 2 Varijable – količine u ćelijama D 2 do I 2 Ograničenja M. Zekić-Sušac, EFO

Optimizacija product-mix-a nastavak Dodatne opcije modela u Excel Solver-u: • mogućnost izbora vremena trajanja optimizacije, broja iteracija, tolerancije, da li će se pretpostaviti linearni model ili nelinearni, itd. M. Zekić-Sušac, EFO

Optimizacija product-mix-a nastavak o Klikom na tipku Solve dobije se ovo rješenje modela: Model je dobio rješenje po kojem treba proizvoditi samo bijeli kruh, pecivo i kifle u količinama gore prikazanima, da bi se ostvario profit of 4096. 93 kn. M. Zekić-Sušac, EFO

Optimizacija product-mix-a nastavak Tumačenje rezultata modela: o Maksimalni profit koji je moguće ostvariti s obzirom na ograničene raspoložive resurse (radnu snagu i sirovine) je 4096, 93 kune. o Za ostvarivanje tog profita potrebno je proizvesti 69 kom. bijelog kruha, 1084 kom. peciva i 1055 kom. kifli. o Model ne garantira da će se ovom proizvodnjom sigurno ostvariti profit od 4096, 93 kn (jer se mogu dogoditi nepredviđene situacije u stvarnosti), ali garantira da je to maksimalni profit koji se može ostvariti s obzirom na zadane parametre modela. o Navedeno rješenje moguće je pohraniti klikom na tipku "Save Scenario", dati željeno ime scenariju, koji će nakon toga biti moguće učitati s pomoću izbornika Tools, Scenarios. o Nakon dobivenog rješenja, klikom na tipku Reports / Answer dobije se izvještaj sljedećeg oblika: M. Zekić-Sušac, EFO

Optimizacija product-mix-a – izvještaj s rezultatima Početna i krajnja vrijednost izlazne varijable (profit) Početne i krajnje vrijednosti ulaznih varijabli (količina) Stanje ograničenja – da li su iskorištena do kraja kod ostvarivanja max. profita ili ne M. Zekić-Sušac, EFO

Optimizacija product-mix-a – izvještaj o granicama Izvještaj o granicama dobije se klikom na tipku Report / Limits. Prikazuje kolika bi bila vrijednost ciljne varijable, ako bi ulazna bila na donjoj Zekić-Sušac, limit). EFO granici (Lower limit) i gornjoj granici. M. (Upper

Optimizacija product-mix-a – izvještaj o osjetljivosti Izvještaj o osjetljivosti dobije se klikom na tipku Report / Sensitivity Pokazuje koliko je optimalno rješenje osjetljivo na promjene svih koeficijenata. M. Zekić-Sušac, EFO Veličine u stupcu Reduced Gradient pokazuju za koliko jedinica možemo povećati ili smanjiti određenu ulaznu varijablu da ciljna varijabla (profit) poprimi vrijednost u stupcu Final Value (u prvoj tablici gore).

Optimizacija cjelobrojnim programiranjem o o U prošlom optimalnom rješenju, preporučene količine proizvoda su decimalni brojevi. S obzirom da u praksi proizvodimo samo cijele količine proizvoda, potrebno je dobiti cjelobrojno rješenje. Da bi Solver dao cjelobrojno rješenje, potrebno je dodati još jedno ograničenje u definiciju modela naredbom Add Constraints. Količine proizvoda su izabrane da budu cijeli brojevi (integer) M. Zekić-Sušac, EFO

Daljnja primjena Solver-a o Alatom Solver moguće je rješavati različite tipove problema: n n n n Transportni problem Problem trgovačkog putnika Probleme mrežnog planiranja Probleme upravljanja projektima Probleme optimalnih zaliha, Probleme potrebnog broja djelatnika i dr. M. Zekić-Sušac, EFO

Transportni problem o o Transportni problem (TP) je takav problem linearnog programiranja kod kojeg treba programirati prijevoz određenog broja jedinica (tereta, osoba) iz više ishodišta (mjesta gdje se nalazi roba koja se raspoređuje) u više odredišta (mjesta u kojem se podmiruje potražnja) s ciljem da troškovi prijevoza budu minimalni. (Frančić, 2013) Pretpostavka je da ponuda pojedinih ishodišta tj. količina s kojom raspolažu određena ishodišta mora biti iskorištena i da potražnja svih odredišta tj. potrebe moraju biti zadovoljene. Najčešći elementi vezani za TP jesu troškovi, vrijeme i udaljenost Cilj transportnog problema - minimizirati troškove ili minimizirati udaljenost koju treba prijeći. M. Zekić-Sušac, EFO

Primjer 1 transportnog problema – Opskrba barova pivom Problem: Iz dva skladišta treba opskribiti pivom 5 barova. Skladište A može isporučiti 1000 sanduka piva dnevno, skladište B 4000 sanduka. Bar 1 potražuje 500 sanduka piva dnevno, bar 2 traži 900, bar 3 traži 1800, bar 4 traži 200, a bar 5 potražuje 700 sanduka piva. Grafička prezentacija transportnog problema distribucije piva. Izvor: Pulp. OR, 2013 M. Zekić-Sušac, EFO

Primjer 1 transportnog problema nastavak Za primjer opskrbe pivom zadani su sljedeći troškovi (u nekim novčanim jedinicama, npr. kunama) po jednom preveženom sanduku piva: Troškovi iz skladišta u bar Skladište A B Barovi 1 2 3 4 5 2 3 4 1 5 3 2 2 1 3 CILJ: Izračunati koliko treba prevesti sanduka piva iz kojeg skladišta u koji bar, da bi troškovi prijevoza bili minimalni. M. Zekić-Sušac, EFO

Primjer 1 transportnog problema - model Ciljna varijabla (minimizirati) Količine (nepoznate varijable Xi) Troškovi prijevoza

Primjer 1 transportnog problema rješavanje o Cilj: minimizirati ukupne troškove koji se računaju prema formuli: o gdje su cmn troškovi prijevoza, a xmn su količine koje treba prevesti. Ista formula se može upisati u Excel u ćeliju gdje su prikazani ukupni troškovi na sljedeći način: =SUMPRODUCT(B 4: F 5; B 12: F 13)

Primjer 1 transportnog problema – rješavanje u Solver-u Ciljna ćelija: $B$8 (uk. troškovi) Izabrati Min Varijable koje se mijenjaju (X) su ćelije u kojima su količine koje treba prevesti: B 4: F 5 M. Zekić-Sušac, EFO Ograničenja: prevezene količine iz svakog skladišta trebaju biti manje ili jednake raspoloživima, prevezene količine u svaki bar trebaju biti veće ili jednake od potražnje

Primjer 1 transportnog problema – rješenje Iz skladišta A u Bar 1 treba prevesti: 300 sanduka piva. Iz skladišta A u Bar 5 treba prevesti: 700 sanduka piva. Iz skladišta B u Bar 1 treba prevesti: 200 sanduka piva. Iz skladišta B u Bar 2 treba prevesti: 900 sanduka piva. Iz skladišta B u Bar 3 treba prevesti: 1800 sanduka piva. Iz skladišta B u Bar 4 treba prevesti: 200 sanduka piva. Količine koje treba prevesti da bi troškovi bili minimalni, tj. 8600 kuna

Primjer 1 transportnog problema – Izvještaj o Izvještaj koji se dobiva u alatu Solver (Answer Report) daje tablicu kao na slici: Vrijednost ukupnih minimalnih troškova (u stupcu Final Value) M. Zekić-Sušac, EFO Količine koje treba prevesti da bi se ostvariili minimalni troškovi (u stupcu Final Value)

Primjer 1 transportnog problema – Izvještaj o ograničenjima U stupcu Cell Value vidljivo je koliko je sanduka ukupno isporučeno u svaki bar i iz svakog skladišta. U stupcu Slack vidljivo je koliko je sanduka ostalo u nekom baru ili skladištu na zalihi (neiskorišteno).

Primjer 2 transportnog problema – Prijenos el. energije Problem: o Iz 3 centrale treba opskrbiti električnom energijom 4 grada tako da troškovi prijenosa energije budu minimalni. Ograničenja: o Centrala 1 može proizvesti 35 mil. k. W/h, Centrala 2 može proizvesti 50 mil. k. W/h, Centrala 3 može proizvesti 40 mil. k. W/h. o Grad 1 potražuje 45 mil. k. W/h, Grad 2 potražuje 20 mil. k. W/h, a Grad 3 i Grad 4 potražuju svaki po 30 mil. k. W/h. o Cilj: pronaći optimalne količine energije koje treba prenijeti iz svake centrale do svakog grada da bi ukupni troškovi prijenosa bili minimalni.

Primjer 2 transportnog problema – Prijenos el. energije M. Zekić-Sušac, EFO

Primjer 2 transportnog problema – Prijenos el. energije o o Primjer 2 rješava se s pomoću alata Solver na isti način kao i primjer 1. Rješenje: M. Zekić-Sušac, EFO

Drugi primjer transportnog problema o o o Transportni problem moguće je modelirati na brojnim primjerima: Isporuke brašna iz mlinova u prodavaonice Isporuke proizvoda iz tvornice u prodavaonice Isporuke sirovina od proizvođača do tvornice za preradu itd. na mnogim primjerima gdje postoje određene udaljenosti, troškovi i vrijeme koje treba minimizirati, uz dana ograničenja M. Zekić-Sušac, EFO

Problem trgovačkog putnika o o Jedan od također poznatih problema koji se mogu riješiti analitičkim modeliranjem je Problem trgovačkog putnika (eng. Traveller Salesman Problem TSP) Problem: Ako je dan popis od više gradova i udaljenosti između svakog para gradova, koja je najkraća ruta (put) koji netko treba prijeći tako da posjeti svaki grad točno jedanput, i vrati se na polazište (Wikipedia, 2013). M. Zekić-Sušac, EFO Simetrični TSP problem (ako treba obići 4 grada) (Wikipedia, 2013)

Problem trgovačkog putnika TSP problem rješava se metodom grananja i ograđivanja (eng. Bounce and Bound) Više o rješavanju problema vidi u: o Perić, T. , Problem trgovačkog putnika, http: //web. efzg. hr/dok/mat/svlah/PROBLEM%20 TRGOV A%C 4%8 CKOG%20 PUTNIKA. pdf o Wikipedia, Travelling Salesman Problem, http: //en. wikipedia. org/wiki/Travelling_salesman_proble m, 16. 10. 2013. o M. Zekić-Sušac, EFO

Zaključak o o Pod analitičkim simulacijskim modeliranjem smatra se upotreba matematičkih modela za optimizaciju ili simulaciju – najčešće s pomoću tabličnih kalkulatora ili drugih alata Analize modela uključuju: „što-ako” analize, analize osjetljivosti, traženje cilja i optimizaciju. Najčešći problemi koji se na taj način rješavaju su: product-mix problem, transportni problem trgovačkog putnika. Metode analitičkog modeliranja mogu pomoći u donošenju odluka menadžerima, uštedjeti troškove i povećati profit. M. Zekić-Sušac, EFO

Literatura 1. 2. 3. 4. 5. 6. Čerić, V. , i dr. , Informacijska tehnologija u poslovanju, Element, Zagreb, 2004. Čerić, V. , Varga, M. , Birolla, H. , Poslovno računalstvo, Znak, Zagreb, 1998. Frančić, M. , Transportni problem linearnog programiranja, Veleučilište u Rijeci, Poslovni odjel, studij Informatike, http: //veleri. hr/~mfrancic/TRANSPORTNI%20 PROBLEM%20 SKRIPTA. p df Perić, T. , Transportni problem, http: //web. efzg. hr/dok/MAT//jkraljevic/TRANSPORTNI%20 PROBLEM_we b. pdf, 14. 10. 2013. Pulp. OR, A Transportation Problem, The Beer Distribution Problem, https: //code. google. com/p/pulp-or/wiki/ATransportation. Problem, 14. 10. 2013. Wikipedia, Travelling Salesman Problem, M. Zekić-Sušac, EFO http: //en. wikipedia. org/wiki/Travelling_salesman_problem, 16. 10. 2013.