PNV3421 PROCESSOS ESTOCSTICOS SIMULAO Prof Dr Rui Carlos

PNV-3421 PROCESSOS ESTOCÁSTICOS SIMULAÇÃO Prof. Dr. Rui Carlos Botter e-mail: rcbotter@usp. br Novembro de 2018

Introdução à Simulação Discreta Na simulação discreta, a mudança de estado acontece em instantes discretos, na ocorrência de eventos. A simulação de sistemas discretos baseia-se portanto, na técnica de geração de eventos. Uma vez que o sistema estiver descrito e modelado, serão conhecidas todas as atividades e entidades envolvidas. Cada evento, que significa o início ou fim de uma atividade, pode ser perfeitamente caracterizado, e uma lista cronológica de todos eventos pode ser elaborada.

Definições Básicas • ENTIDADE - é um objeto de interesse dentro do sistema; • ESTADO DO SISTEMA - é número de entidades dentro do sistema, seja em fila ou em atendimento; • ATIVIDADES são ocorrências durante um intervalo de tempo que mudam o ESTADO do sistema; • EVENTO - é todo início ou fim de uma ATIVIDADE; • PROPRIEDADES do sistema - são valores observados de algumas ENTIDADES de interesse do sistema, medidos em algum instante de tempo qualquer.

Entradas (Políticas) Modelo de Simulação Experimentos Saídas (Resultados)

Modelagem de Sistemas utilizando Simulação Discreta – Caracterização dos processos de chegada e atendimento – Geração de números aleatórios – Geração das variáveis aleatórias – Montando a Simulação

Caracterização dos processos de chegada e atendimento • Para a utilização da Simulação Discreta é necessário também caracterizar-se os processos de chegada e atendimento dos elementos, por meio da identificação das distribuições de probabilidades que regem esse processos. • Para que isso seja possível, deve-se proceder inicialmente a uma coleta de dados, por exemplo dos os intervalos de tempo entre chegadas de peças e os tempos de atendimento de inspeção de cada funcionário • A limpeza dos dados é fundamental para que eles representem corretamente o processo. Esse assunto será discutido adiante e está no Anexo 1 da apostila de

Geração de números aleatórios Os processo de chegada e atendimento são estocásticos e regidos por distribuições de probabilidade com modelos e parâmetros conhecidos (num caso real admite-se que previamente houve a análise de aderência dos dados coletados com referência a modelos teóricos). A geração de cada um dos intervalos de chegada ou tempos de atendimento das entidades, deve ser feita segundo as seguintes etapas: - sorteia-se um número aleatório uniformemente distribuído entre 0 e 1, para cada atividade prevista no modelo; - utilizando-se a função inversa da distribuição de probablilidade e o número aleatório, determina-se o intervalo de tempo.

Geração de números aleatórios Existem algumas forma de gerar números realmente aleatórios, como por exemplo, utilizar dodecaedros (poliedro regular de 20 faces) com os número de 0 a 9 escritos nas faces opostas. No entanto, isso é impossível de ser inserido num computador. Outra opção é utilizar uma tabela de número aleatórios, mas que requer muita memória e se esgotada irá repetir a sequência sorteada. Os números aleatórios entre 0 e 1, em geral, são calculados por algoritmos, que partem de um valor inicial denominado "semente" e, por meio de diferentes manipulações matemáticas, geram os chamados números pseudo-aleatórios. Um exemplo de gerador de números aleatórios é o método da congruência ou resíduo. Considerando a, b, P e a semente Co como parâmetros iniciais.

Geração de números aleatórios - calcula-se o valor: X = (a. Co + b)/P - toma-se Y como o valor inteiro de X - calcula-se C 1 = X - Y (primeiro número aletório entre 0 e 1 gerado); - Substitui-se C 0 por C 1 e repete-se o algoritmo a partir do primeiro passo, possibilitando a geração de quantos números aleatórios forem necessários. . Adotando-se, a, b e P, suficientemente grandes, a quantidade de números gerados é muito grande, até a formação de um ciclo ou sequência. Os números gerados por esse método são chamados de números pseudo aleatórios, especialmente porque não se garante que, depois de um grande número de iterações, a sequência gerada não volte a se repetir.

Geração das variáveis aleatórias • F(x) = (x-A)/(B-A), 0 <= F(x) <= 1. • A função inversa dessa distribuição é x = A + (B-A). F(x). Substituindo F(x) por um número aleatório com distribuição é uniforme entre 0 e 1 obtido por um gerador de números aleatórios, pode-se obter valores para a variável x, cuja distribuição, por definição, é uniforme entre A e B.

Geração das variáveis aleatórias • A função distribuição da exponencial é F(x) = 1 - e-lx , onde l = 1/T. • A inversa dessa função é x= -T. ln[F(x)] Substituindo F(x) por ri, que é um número aleatório com distribuição é uniforme entre 0 e 1 obtido por um gerador de números aleatórios, pode-se obter valores para a variável x, cuja distribuição é exponencial com média T.

Montando um simulação em EXCEL

Caminhão

Processo Racional de Simulação

Processo Racional de Simulação A) Definição do Problema - é a etapa onde ocorre uma definição clara das metas do estudo, por que se está estudando este problema e quais respostas buscam-se encontrar; B) Planejamento do Projeto - busca-se nesta fase verificar a existência de recursos físicos, humanos e técnicos para a execução do projeto; C) Definição do Sistema - é a etapa onde ocorre a determinação das fronteiras e das restrições a serem usadas na definição do sistema bem como uma investigação como o sistema funciona; D) Formulação Conceitual do Modelo - é uma etapa onde se desenvolve um modelo preliminar de forma gráfica (por exemplo, diagrama de blocos) ou já em um pseudo-código, para definir os componentes, as variáveis e as interações lógicas que constituem o sistema;

Processo Racional de Simulação E) Projeto Experimental Preliminar - consiste na seleção das medidas de eficiência que serão empregadas, os fatores a serem variados e quais dados precisam ser colhidos do modelo, de que forma e em que extensão; F) Preparação dos Dados de Entrada - consiste na identificação e coleta dos dados necessários pelo modelo; G) Tradução do Modelo - é a formulação do modelo em uma linguagem de simulação apropriada; H) Verificação e Validação - consiste na confirmação de que o modelo opera da forma que o analista pretendia e que a saída do modelo é confiável e representativa de um sistema real. A verificação busca mostrar que o programa computacional se desempenhou como esperado e pretendido, fornecendo, desta forma, uma correta representação lógica do modelo. A validação, por outro lado, estabelece que o comportamento do modelo representa de forma válida, o sistema do mundo real que está sendo simulado.

Processo Racional de Simulação I) Projeto Final Experimental - consiste em projetar experimentos que irão gerar as informações desejadas e determinar como cada uma das "corridas" especificadas no projeto serão executadas; J) Experimentações - consiste em executar a simulação para gerar os dados desejados e realizar análises de sensibilidade; K) Análise e Interpretação - consiste em realizar inferências sobre os dados obtidos pela simulação; L) Implementação e Documentação - é a disponibilização e aplicação dos dados utilizados e dos resultados obtidos, além de uma documentação do modelo e de seu uso.

Aplicação do Processo Racional de Simulação Atendimento de caminhões na fábrica No exemplo das chegadas dos veículos a um único ponto de carregamento de uma fábrica e o tempo de atendimento de cada um, a descrição sistema de atendimento dos caminhões foi bastante simplificada, pois é sabido que o problema real desse tipo existem fatores que tornam o problema mais complexo, como por exemplo o horário de funcionamento, a presença da balança na entrada e na saída, eventuais falhas no sistema que interrompem o atendimento em alguns períodos e etc. Se o analista necessitasse de respostas globais de ocupação e fila desse posto em curto espaço de tempo, tal enunciado seria suficiente para descrever o sistema bancário em questão. Com isso, os passos “A”, “B” e “C” do processo de simulação estariam cumpridos. O modelo conceitual, que corresponde ao passo ”D” para simulação deste exemplo com as hipóteses simplificadoras que foram adotadas, segue as fases abaixo indicadas: • • • geram-se os intervalos entre chegadas de caminhões na fábrica; cada caminhão entra em fila e aguarda a liberação do posto de descarga; O caminhão sai da fila quando o ponto de atendimento está desocupado; gera-se o tempo de atendimento de cada caminhão, que é atendido; o caminhão sai da fábrica.

4 - MODELO CONCEITUAL

Exercício 1 Partindo do problema original, os analistas de simulação chegaram a enunciar um sistema a ser simulado que é descrito abaixo: Pretende-se analisar o setor de atendimento de um almoxarifado, que atualmente tem um funcionário para atender os pedidos durante 24 horas em turnos de 6 horas. O intervalo entre chegadas de pedidos é conhecido, bem como o tempo de atendimento (composto do picking, montagem, embalagem e despacho). Em determinados instantes, caracterizados pelos intervalo entre paradas, este funcionário é chamado para intervir com urgência em determinado local e para o que está fazendo, retomando o serviço quando voltar. Pede-se: a-) Com base nessa descrição, quais elementos do problema real não foram considerados nesse sistema? b-) Indique os dados necessários para montar a simulação desse sistema e os indicadores de interesse que devem ser calculados? c-) Monte um diagrama de blocos com o modelo conceitual desse sistema

Exercício 2 Partindo do problema original, os analistas de simulação chegaram a enunciar um sistema a ser simulado que é descrito abaixo: Uma empresa deseja analisar sua área de carga de caminhões. O processo é dividido em duas partes: carregamento e amarração da carga. A área possui 2 (duas) baias para atender um caminhão. Na primeira baia é feito o carregamento que tem média de 60 minutos. Em seguida, caso a segunda baia, esteja livre o caminhão desloca-se em 1 minuto para o lá onde é feita a amarração, que tem média de 20 minutos. Se a segunda baia estiver ocupada por algum caminhão em processo de amarração, esta operação é feita na primeira baia. Finalizada a amarração o caminhão é liberado para seguir viagem. Pede-se: a-) Com base nessa descrição, quais elementos do problema real não foram considerados nesse sistema? b-) Indique os dados necessários para montar a simulação desse sistema e os indicadores de interesse que devem ser calculados? c-) Monte um diagrama de blocos com o modelo conceitual desse sistema

Exercício 3 Partindo do problema original, os analistas de simulação chegaram a enunciar um sistema a ser simulado que é descrito abaixo: Considere um porto para recebimento de petróleo dotado de 1 berço de atracação com chegadas de navios com média de 40000 t. A taxa de descarga dos tem média de 15000 ton/hora. Admita que dutos enviem o petróleo para as refinarias segundo uma média de 5000 toneladas/hora. Estando o sistema em equilíbrio especifique um modelo para obter o tamanho do tanque e o estoque inicial necessário e demais estatísticas pertinentes. . Pede-se: a-) Com base nessa descrição, quais elementos do problema real não foram considerados nesse sistema? b-) Indique os dados necessários para montar a simulação desse sistema e os indicadores de interesse que devem ser calculados? c-) Monte um diagrama de blocos com o modelo conceitual desse sistema

Exercício 4 Partindo do problema original, os analistas de simulação chegaram a enunciar um sistema a ser simulado que é descrito abaixo: A chegada de pedidos de manufatura de um determinado produto tem média de 20 minutos. Quando esse pedido chega ele é desdobrado 3 (três) partes, sendo que cada um deles segue um determinado roteiro para a manufatura de partes daquele produto final. Os tempos manufaturas são diferentes. Pretende-se dimensionar o número de máquina necessárias para a manufatura de cada parte do produto final, de tal forma que o tempo médio de permanência das partes no sistema sejam próximos. Pede-se: a-) Com base nessa descrição, quais elementos do problema real não foram considerados nesse sistema? b-) Indique os dados necessários para montar a simulação desse sistema e os indicadores de interesse que devem ser calculados? c-) Monte um diagrama de blocos com o modelo conceitual desse sistema

5 - Projeto Experimental Preliminar Quais os índices de desempenho a serem medidos ? Ocupação do ponto de atendimento; Índice de Congestionamento; Tempo médio em fila; Tamanho médio da fila; Relação Tempo em fila/tempo atendimento.

Aplicação do Processo Racional de Simulação O próximo passo do processo de simulação seria, “ 6 - Preparação dos dados de entrada”, que basicamente, seria buscar as distribuições de probabilidade para a geração dos intervalos entre chegada dos clientes e seus tempos de atendimento, respectivamente. Em seguida o passo “ 7 – Codificação ou Tradução do modelo” poderia ser executado. Nota-se, no entanto, que deve haver uma modificação importante nesse processo de simulação entre os passos “ 6” e “ 7”, pois a simulação sempre dependerá de dados e informações, para que o modelo responda de acordo com a situação real que originou o problema em estudo. Um cuidado que todo usuário de simulação deve ter é que um modelo pode ser muito bem concebido. Todavia, se os dados utilizados para sua experimentação forem inadequados, os resultados serão desastrosos.

6) Preparação dos Dados de Entrada Lembrando que os dados devem avaliados antes de serem inseridos no modelo, será visto na próxima aula uma série de procedimentos para que as distribuições teóricas podem ser aderidas aos dados observados utilizando-se o EXCEL, o MINITAB e STAT FIT ou INPUT ANALYSER Com essa fase concluída poderá ou não haver a necessidade de alterar as etapas de 1 até 5 do procedimento de simulação.

Finalizando o processo de simulação 7) Tradução do Modelo 8) Verificação e Validação 9) Projeto Final Experimental 10) Experimentações 11) Análise e Interpretação 12) Implementação e Documentação.