ENGENHARIA DE PROCESSOS Anlise Simulao e Otimizao de

ENGENHARIA DE PROCESSOS Análise, Simulação e Otimização de Processos Químicos CAPÍTULO 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 27 de março de 2017

1. 1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS O conjunto de ações desenvolvidas Desde A decisão de se produzir um determinado produto químico Até Um plano bem definido para a construção e a operação da instalação industrial. É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!! Elas aparecem organizadas nas 2 grandes áreas da ENGENHARIA DE PROCESSOS

ANÁLISE DE PROCESSOS 1 INTRODUÇÃO GERAL SÍNTESE DE PROCESSOS Calcular o consumo de utilidades Definir a rota química para o produto Calcular a vazão das correntes intermediárias Estabelecer o número e o tipo dos reatores Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo dos insumos Calcular o consumo de matéria prima Avaliar a lucratividade do processo Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo Para transmitir tudo isso de forma sistemática, essas ações são organizadas em Capítulos.

ORGANIZAÇÃO DO TEXTO/DISCIPLINA INÉDITA 1 INTRODUÇÃO GERAL À ENGENHARIA DE PROCESSOS ANÁLISE DE PROCESSOS 6 2 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 3 4 ESTRATÉGIAS AVALIAÇÃO DE CÁLCULO ECONÔMICA SÍNTESE DE PROCESSOS 5 OTIMIZAÇÃO X SÍNTESE DE SISTEMAS DE REATORES 7 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 8 Y SÍNTESE DE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA MÁSSICA São Universos inteiramente diferentes que se complementam no Projeto de Processos Químicos

As três áreas interagem da seguinte forma: PROJETO SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA ANÁLISE Previsão e Avaliação do Desempenho de cada Fluxograma (a) dimensionamento, simulação (b) avaliação econômica SÍNTESE Geração dos fluxogramas plausíveis para a Rota (a) escolha de um equipamento para cada tarefa. (b) definição da fluxograma.

O PROJETO DE PROCESSOS É CARACTERIZADO PELA MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma de um processo RM RT DS A DE Aquecedor Reator de mistura Reator tubular Coluna de destilação extrativa simples R Resfriador T Trocador de Integração A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor.

Aqui, na Síntese, as soluções são fluxogramas Um problema com multiplicidade de soluções

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Cada par (x 1, x 2) é uma solução fisicamente viável Q* = 10. 000 kg. A/h xo*= 0, 02 kg AB/kg A alimentação W 1 kg B/h ? Q = 10. 000 kg. A/h x 1 kg. AB/kg A ? 1 rafinado W 1 kg B/h ? y 1 kg AB/kg B ? extrato Modelo 1. Q* (xo* - x 1) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q* (x 1 - x 2) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 W 2 kg B/h ? Q = 10. 000 kg. A/h x 2 kg. AB/kg. A ? 2 rafinado W 2 kg B/h ? y 2 kg AB/kg B ? extrato Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização) Variáveis de Projeto: x 1, x 2

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Na Análise, as soluções são pares de valores x 1, x 2 Variáveis contínuas: uma infinidade de soluções viáveis MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

A multiplicidade de soluções de um problema conduz ao conceito de Otimização. Todo problema com Multiplicidade de Soluções Exige a busca da sua Solução Ótima através de Otimização OTIMIZAÇÃO é a busca da solução ótima de um problema com múltipla soluções

O Projeto de Processos pode ser identificado como um problema complexo de otimização Fonte da complexidade multiplicidade de soluções nos três níveis Nível Tecnológico: determinação da melhor rota química. Otimização Tecnológica Nível Estrutural (Síntese): determinação do fluxograma ótimo. Otimização Estrutural Nível Paramétrico (Análise): determinação das dimensões ótimas de equipamentos e correntes. Otimização Paramétrica Este Capítulo !

COMO RESOLVER? INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL ÁRVORE DE ESTADOS

Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados Raiz ? A, B A+B P ? ? P, C P+C Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? D, E D+E P+F ? ? A B 1 T x D P C 2 T x P C A 6 M x D D E M x x P F E ? 7 x* x o = 6 x Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico L 10 x* x o = 4 4 P F L 8 x 3 ? L x* x o = 3 D E ? L Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? ? ? A B ? Nível Tecnológico P, F x* x o = 5 Solução Ótima x Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Tema deste Capítulo

Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados Raiz ? Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? D, E D+E P+F ? ? D E 3 M x D P F ? P, F Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico L 10 x* x o = 6 x Solução Ótima Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro.

INÍCIO DO CAPÍTULO 5

ORGANIZAÇÃO DO TEXTO/DISCIPLINA 1 INTRODUÇÃO GERAL À ENGENHARIA DE PROCESSOS ANÁLISE DE PROCESSOS SÍNTESE DE PROCESSOS 6 2 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 3 4 ESTRATÉGIAS AVALIAÇÃO DE CÁLCULO ECONÔMICA SÍNTESE DE PROCESSOS 5 OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA X SÍNTESE DE SISTEMAS DE REATORES 7 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO FINALIDADE DO CAPÍTULO 8 Y SÍNTESE DE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA MÁSSICA Apresentar (a) conceitos básicos de Otimização, (b) o método analítico (c) dois métodos numéricos simples (d) aplicações em processos químicos.

Estudo mais completo de Otimização EQE 002 OTIMIZAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA

Relembrando o Processo Ilustrativo

Fluxograma do Processo Dimensionamento: condições conhecidas + metas de projeto MISTURADOR 14 RESFRIADOR W 14 T*14 W 12 T*12 12 13 Benzeno W 13 T 13 W 15 T 15 CONDENSADOR 10 W 10 T*10 Ar W 11 11 T*11 Água 15 EXTRATOR BOMBA 1 Vd W* 1 x*11 T* 1 f 11 f 31 Alimentação 9 t* W 2 x 12 r* W 12 T*12 W 8 8 A c T*8 Água Benzeno W 5 T* 5 W 3 x 13 5 T 3 f 13 f 23 3 Ae EVAPORADOR Extrato 7 2 T* 2 f 12 f 32 Rafinado W 7 T* 7 Produto 6 4 W 6 T* 6 W 4 Vapor x*14 T 4 f 14 f 24

Dimensionamento W 1 x 11, x 14 T 1, T 2, T 5, T 6, T 7, T 8, T 9, T 10, T 11, T 12, T 14, r, VARIÁVEIS ESPECIFICADAS PAR METROS MODELO FÍSICO G=0 (solução única) W 4, W 6, W 8, W 11, W 14 Vd, Ae, Ac, Ar AVALIAÇÃO INCÓGNITAS ECONÔMICA L

MISTURADOR 14 RESFRIADOR W 14 = 1. 080 kg/h T*14 = 25 o. C 12 CONDENSADOR W 12 = 59. 969 kg/h T*12 = 30 o. C 13 9 W 12 = 228. 101 kg/h T*12 = 30 o. C 10 W 13 = 36. 345 kg/h T 13 = 25 o. C W =36. 345 kg/h Ar = 361 m 2 T* 10 = 80 o. C Ac = 119 m 2 8 W 8 = 228. 101 kg/h T*8 = 15 o. C 10 11 W 11 = 59. 969 kg/h T*11 = 15 o. C Resultado do W 15 = 37. 425 kg/h W 3 = 37. 544 kg/h o T 13 = 25 C Dimensionamento x 13 = 0, 002 EXTRATOR T = 25 o. C 15 Vd = 11. 859 l W* x* = 100. 000 kg/h 11 = 0, 002 1 T*1 = 25 o. C f 11 = 200 kg/h f 31 = 99. 800 kg/h 5 3 BOMBA 1 W 5 = 36. 345 kg/h T*5 = 80 o. C *= 0, 0833 h r* = 0, 60 W 2 = 99. 880 kg/h x 12 = 0, 0008 2 T 2 = 25 o. C f 12 = 80 kg/h f 32 = 99. 800 kg/h Rafinado f 13 = 120 kg/h f 23 = 37. 424 kg/h 3 Ae = 124 m 2 Extrato 7 W 7 = 8. 615 kg/h T*7 = 150 o. C LE = 70. 044 $/a 4 EVAPORADOR W 6 =8. 615 kg/h T*6 = 150 o. C 6 W 4 = 1. 200 kg/h x*14 = 0, 1 T 4 = 80 o. C f 14 = 120 kg/h f 24 = 1. 080 kg/h

Dimensionamento Omitindo r, T 9 e T 12 na lista de Metas de Projeto G>0 Otimização W 1 x 11, x 14 T 1, T 2, T 5, T 6, T 7, T 8, T 10, T 11, T 14, variáveis especificadas MODELO FÍSICO W 4, W 6, W 8, W 11, W 14 Vd, Ae, Ac, Ar incógnitas ? PAR METROS r, T 9, T 12 variáveis de projeto OTIMIZAÇÃO r, T 9, T 12 AVALIAÇÃO ECONÔMICA L

MISTURADOR 14 RESFRIADOR W 14 = 911 kg/h T*14 = 25 o. C 12 CONDENSADOR W 12 = 48. 604 kg/h T*12 = 27 o. C 13 W 9 = 78. 395 kg/h T*9 = 44 o. C 10 W 13 = 24. 670 kg/h T 13 = 25 o. C W 10 =24. 670 kg/h Ar = 238 m 2 T*10 = 80 o. C 11 15 9 Ac = 95 m 2 8 W 8 = 78. 395 kg/h T*8 = 15 o. C W 11 = 48. 604 kg/h T*11 = 15 o. C W 5 = 24. 670 kg/h T*5 = 80 o. C Resultado da Otimização 3 = 25. 682 kg/h (r, T 9, T 12) W x = 0, 004 W 15 = 25. 581 kg/h T 13 = 25 o. C EXTRATOR BOMBA 1 Vd = 10. 742 l W* x* = 100. 000 kg/h 11 = 0, 002 1 T*1 = 25 o. C f 11 = 200 kg/h f 31 = 99. 800 kg/h 5 13 *= 0, 0833 h r = 0, 506 W 2 = 99. 898 kg/h x 12 = 0, 001 2 T 2 = 25 o. C f 12 = 98 kg/h f 32 = 99. 800 kg/h Rafinado T 3 = 25 o. C f 13 = 101 kg/h f 23 = 25. 581 kg/h 3 Ae = 84 m 2 Extrato 7 W 7 = 5. 857 kg/h T*7 = 150 o. C 4 LE = 70. 044 $/a LE = 155. 931 $/a EVAPORADOR W 6 =5. 857 kg/h T*6 = 150 o. C 6 W 4 = 1. 012 kg/h x*14 = 0, 1 T 4 = 80 o. C f 14 = 101 kg/h f 24 = 911 kg/h

Resumo da Análise de Processos Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais 2 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Variáveis Especificadas Parâmetros Físicos MODELO FÍSICO 5 OTIMIZAÇÃO Parâmetros Econômicos Dimensões Calculadas MODELO ECONÔMICO Variáveis de Projeto Lucro OTIMIZAÇÃO

Simular Extrator Dimensionar Extrator Simular Evaporador Dimensionar Condensador Simular Condensador Resolver Problema Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Dimensionar Processo Calcular Lucro Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Otimizar Processo

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5. 1 Conceito de Otimização 5. 2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5. 2. 1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5. 2. 2 Critério 5. 2. 3 Função Objetivo 5. 2. 4 Restrições 5. 2. 5 Região Viável 5. 3 Localização da Solução Ótima 5. 4 Problemas e Métodos de Otimização 5. 5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 7 Dimensionamento por Simulações Sucessivas com Otimização

OTIMIZAÇÃO Palavra com dois significados: Ação de buscar a solução ótima de um problema Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de métodos de busca da solução ótima de um problema

Comentário Todo problema de Otimização encerra um conflito. A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

Na extração de ácido benzoico com benzeno: W kg B/h ? B: benzeno (solvente) Q = 10. 000 kg. A/h A : água x kg. B/kg. A EXTRATOR xo= 0, 02 kg AB/kg A AB: ácido benzóico (soluto) rafinado y kg AB/kg B (extrato) Com o aumento da vazão: 60 50 - buscando aumentar a recuperação de soluto; consequentemente a Receita. R 40 L, R, C 30 $/a 20 C - aumenta-se também o consumo de solvente; consequentemente. o Custo operacional. L=R-C Lo=15, 6 10 0 0 Vazão ótima Lucro máximo 1000 2000 3000 Wo = 1. 973, 6 4000 5000 6000 W kg/h Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui. A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes

ORIGEM DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO Do Capítulo 2: na resolução de qualquer problema: Graus de Liberdade G = V - N - E V : número de variáveis N : número de equações E: número de variáveis especificadas (E = C + M) C = condições conhecidas M = metas de projeto Em problemas de dimensionamento, ocorre uma das três situações: - metas estritamente suficientes G = 0 solução única - metas inconsistentes ou em excesso G 0 solução impossível y y Solução ótima? y paralelas x - metas insuficientes G > 0 infinidade de soluções viáveis coincidentes x x

Exemplo simples dimensionamento de um extrator (cálculo da vazão para um extrator já existente) W kg B/h ? B: benzeno (solvente) Q = 10. 000 kg. A/h A : água EXTRATOR x kg AB/kg A rafinado xo= 0, 02 kg AB/kg A AB: ácido benzóico (soluto) y kg AB/kg B extrato O extrator já existe Pretende-se apenas estabelecer a vazão de benzeno

(a) Dimensionamento: meta x = 0, 01 kg. AB/kg. A W kg B/h ? B: benzeno (solvente) Q = 10. 000 kg. A/h A : água EXTRATOR x = 0, 01 kg. AB/kg. A Modelo 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 rafinado xo= 0, 02 kg AB/kg A AB: ácido benzóico (soluto) y kg AB/kg B extrato Balanço de Informação V = 5, N = 2, C = 2, M = 1 G=0 (solução única) y = 0, 04; W = 2. 500 kg/h y x

(b) Dimensionamento com 2 metas: x = 0, 01 kg. AB/kg. A e y = 0, 03 kg. AB/kg. B W kg B/h ? B: benzeno (solvente) Q = 10. 000 kg. A/h A : água x = 0, 01 kg. AB/kg. A EXTRATOR rafinado xo= 0, 02 kg AB/kg A AB: ácido benzóico (soluto) y = 0, 03 kg AB/kg B extrato Modelo 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Identidade! Balanço de Informação V = 5, N = 2, C = 2, M = 2 G = - 1 (metas em excesso) Metas incompatíveis na (Eq. 2): o valor de y compatível com x = 0, 01 é 0, 04. y solução impossível! paralelas x

(c) Dimensionamento sem metas W kg B/h ? B: benzeno (solvente) Q = 10. 000 kg. A/h A : água EXTRATOR x kg. B/kg. A rafinado xo= 0, 02 kg AB/kg A AB: ácido benzóico (soluto) y kg AB/kg B extrato Modelo 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (infinidade de soluções) Solução ótima? y coincidentes x Insuficiência de metas gera Graus de Liberdade Otimização Este é o problema de interesse neste Capítulo

OTIMIZAÇÃO É UMA SITUAÇÃO ESPECIAL NO DIMENSIONAMENTO QUANDO HÁ INSUFICIÊNCIA DE METAS DE PROJETO GRAUS DE LIBERDADE OTIMIZAÇÃO

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5. 1 Conceito de Otimização 5. 2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5. 2. 1 Variáveis de Decisão 5. 2. 2 Critério 5. 2. 3 Função Objetivo 5. 2. 4 Restrições 5. 2. 5 Região Viável 5. 3 Localização da Solução Ótima 5. 4 Problemas e Métodos de Otimização 5. 5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 7 Dimensionamento por Simulações Sucessivas com Otimização.

5. 2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquer que seja a sua área de aplicação. O conhecimento esses elementos e das suas características é de fundamental importância para a solução do problema 5. 2. 1 Variáveis de Decisão 5. 2. 2 Critério 5. 2. 3 Função Objetivo 5. 2. 4 Restrições 5. 2. 5 Região Viável

5. 2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5. 2. 1 Variáveis de Decisão 5. 2. 2 Critério 5. 2. 3 Função Objetivo 5. 2. 4 Restrições 5. 2. 5 Região Viável

5. 2. 1 Variáveis de Decisão São as variáveis manipuladas durante a busca da solução ótima. Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto. W 1 x 11, x 14 T 1, T 2, T 5, T 6, T 7, T 8, T 10, T 11, T 14, t VARIÁVEIS ESPECIFICADAS W 4, W 6, W 8, W 11, W 14 MODELO FÍSICO r, T 9, T 12 V d, A e, A c, A r AVALIAÇÃO INCÓGNITAS ECONÔMICA L OTIMIZAÇÃO VARIÁVEIS DE PROJETO O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.

A origem e o papel das Variáveis de Projeto

Sejam as 3 equações: x 4 c C=2 x 5 c x 6 m E=3 M=1 x 1 1 2 3 x 2 x 3 x 7 Mas há que se escolher uma solução V=7 N=3 y coincidentes G=V–E–N=7 -3 -3=1 Metas insuficientes, incógnitas em excesso Sistema consistente indeterminado (infinidade de soluções) x

Para se obter uma das soluções, é preciso transformar uma das incógnitas em variável de entrada. x 4 c x 5 c x 1 1 x 2 x 6 m 2 x 3 x 7 p 3 x 7 G=V–E–N=7 -3 -3=1 O projetista tem a liberdade de escolher essa incógnita. Por exemplo: x 7 Que passa a se denominar Variável de Projeto Sem imposições, o projetista também tem a liberdade de escolher o valor da variável de projeto.

A cada valor de x 7 p corresponde uma solução viável x 1, x 2, x 3 e um valor para o Lucro. Se a variável for contínua, haverá uma infinidade de soluções viáveis (indeterminado x 4 c x 5 c x 1 1 x 6 m 2 x 7 p 3 Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Máximo (solução ótima). x 2 500 x 3 400 L Qualquer outro valor atribuído como meta produziria uma solução pior do que a ótima. 300 200 100 0 0, 2 m x 7 0, 4 xp 7 0, 6 0, 8 1, 0

Ou seja, em problemas indeterminados, o projetista tem a oportunidade de apresentar a Solução Ótima ! x 4 c x 5 c x 1 1 x 6 m 2 x 7 p 3 x 2 x 3 y coincidentes x

As variáveis de projeto são escolhidas dentre as não-especificadas. Exemplo: otimização do extrator W kg B/h Q = 10. 000 kg. A/h x kg. B/kg. A rafinado xo= 0, 02 kg AB/kg A y kg AB/kg B extrato Modelo Matemático 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Balanço de Informação W? x? y? V = 5, N = 2, C = 2, G = 1 (candidatas: x, y, W)

A solução ótima independe da variável de projeto escolhida Variável de Projeto: W 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Variável de Projeto: x 1. Q (xo - x) - W y = 0 x 2. y - k x = 0 * o xo* Wo = 1. 972, 3 xo = 0, 01118 yo = 0, 04472 Lo = 15, 6 $/h y W 1 2 60 xo = 0, 01118 yo = 0, 04472 Wo = 1. 972, 3 Lo = 15, 6 $/h y W 1 x 60 40 R L, R, C $/a 40 C L, R, C 30 $/a C 30 20 Lo 20 = 15, 6 10 L=R-C Lo=15, 6 0 10 L xo = 0, 01118 0, 006 0, 008 0, 010 0, 012 0, 014 0, 016 0, 018 0, 020 x kg. AB/kg A 0 x R 50 0 Q* 50 Q* 2 1000 Wo 2000 3000 = 1. 973, 6 4000 5000 6000 W kg/h

Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização Variável de Projeto: W 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 Variável de Projeto: x 1. Q (xo - x) - W y = 0 2. y - k x = 0 xo* y y W 1 2 x Q* Escolha infeliz ! Sequência de cálculo cíclica Otimização com cálculo iterativo Q* x Escolha feliz ! Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y) Sequência de cálculo acíclica: 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada

5. 2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5. 2. 1 Variáveis de Decisão 5. 2. 2 Critério 5. 2. 2 Função Objetivo 5. 2. 3 Restrições 5. 2. 4 Região Viável Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução do problema

5. 2. 2 Critério A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério. O critério mais comum é econômico L 500 400 300 L 200 100 0, 2 0, 4 x 7 o 0, 6 0, 8 Maximização do Lucro 1, 0 C 300 200 0 R 0 L 0, 0 0, 2 0, 4 x 7 o 0, 6 0, 8 1, 0 Minimização do Custo (produção fixa Receita constante)

Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade. A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo um outro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a mais segura. E vice-versa. Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesos diferentes (otimização com objetivos múltiplos)

5. 2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5. 2. 1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5. 2. 2 Critério 5. 2. 3 Função Objetivo 5. 2. 5 Restrições 5. 2. 5 Região Viável

5. 2. 3 Função Objetivo É a expressão matemática do critério de otimização descrita em termos das variáveis físicas do problema. Pode assumir formas das mais simples às mais complexas. A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de otimização. Pode ser classificada quanto à: (a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada, descontínua ou discreta. (b) Modalidade: unimodal, multimodal. (c ) Convexidade: côncava ou convexa.

5. 2. 3 Função Objetivo (a) Continuidade Função Contínua com descontinuidade na derivada Os parâmetros da função dependem da faixa de x A função só existe para valores inteiros de x Função Descontínua Função Discreta

5. 2. 3 Função Objetivo (b) Modalidade Função Unimodal em 1 Dimensão Função Unimodal em 2 Dimensões

5. 2. 3 Função Objetivo (b) Modalidade C, E: máximos locais A: máximo global B, D: mínimos locais F: mínimo global Função Bimodal em 1 Dimensão B: mínimo local F: mínimo global C: ponto de sela Função Bimodal em 2 Dimensões Incerteza quanto ao ótimo global

Funções multimodais

Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções univariáveis podem ser determinadas pelo sinal da segunda derivada da função no ponto extremo. Mas, quando a derivada é complexa. . .

5. 2. 3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) y y[(1 -a) x 1 + a x 2] 0, 5 0, 4 (1 -a) y(x 1) + a y(x 2) limite inferior para 0, 3 o máximo 0, 2 0, 1 0, 0 0 a 1 0, 0 0, 2 x 1 0, 4 0, 6 (1 -a)x 1+ ax 2 0, 8 1, 0 x Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela reta. y[(1 -a) x 1 + a x 2] > (1 -a) y(x 1) + a y(x 2)

5. 2. 3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções univariáveis) y 0, 5 0, 4 0, 3 (1 -a) y(x 1) + a y(x 2) limite superior para o mínimo 0, 2 0, 1 y[(1 -a) x 1 + a x 2] 0, 0 0 a 1 0, 2 x 1 0, 4 (1 -a)x 1+ ax 2 0, 6 x 2 0, 8 x 1, 0 Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta: y[(1 -a) x 1 + a x 2] < (1 -a) y(x 1) + a y(x 2)

5. 2. 3 Função Objetivo (c ) Convexidade (funções multivariáveis) Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aos seus Valores Característicos que são as raízes da sua Equação Característica

Para uma função qualquer de duas variáveis Matriz Hessiana: Equação Característica: 2 – (f 11 + f 22) + (f 11 f 22 – f 12 f 22) = 0 Os Valores Característicos são as raízes desta equação.

Ilustração com Funções Quadráticas (simetria) Assumem formas diversas em função dos valores dos coeficientes

1 , 2 1 > 0 , 2 > 0 1 > 0 , 2 = 0 1 < 0, 2 < 0 1 < 0, 2 = 0 1 > 0 , 2 < 0 H (x) f (x) estritamente convexa positiva definida convexa positiva semi-definida estritamente côncava negativa definida côncava negativa semi-definida ponto de sela indefinida

5. 2. 3 Função Objetivo (b) Modalidade Ponto A: x 1 = -1 : x 2 = 1 : f = 0 1 = 10, 6 : 2 = 3, 4 Ponto B: x 1 = 2 : x 2 = 4 : f = 1. 5 1 = 37 : 2 = 1 Ponto C : x 1 = 0, 6 : x 2 = 1, 4 : f = 3, 3 1 = 7 : 2 = -2, 3 Função Bimodal em 2 Dimensões

Exemplo de Função Não-Quadrática (Lucro de 2 extratores em série)

Dimensionamento de 2 extratores em série W 1 kg B/h ? Q* = 10. 000 kg. A/h xo*= 0, 02 kg AB/kg A alimentação Q = 10. 000 kg. A/h x 1 kg. AB/kg A ? 1 rafinado W 1 kg B/h ? y 1 kg AB/kg B ? extrato Modelo Físico: 1. Q* (xo* - x 1) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q* (x 1 - x 2) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 W 2 kg B/h ? 2 Q = 10. 000 kg. A/h x 2 kg. AB/kg. A ? rafinado W 2 kg B/h ? y 2 kg AB/kg B ? extrato Balanço de Informação: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimização)

Exemplo de Função Não-Quadrática (Lucro de 2 extratores em série) x 1 b - cx 2 - d L = ax 1 x 2

5. 2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 5. 2. 1 Variáveis de Decisão 5. 2. 2 Critério 5. 2. 3 Função Objetivo 5. 2. 4 Restrições 5. 2. 5 Região Viável

5. 2. 3 Restrições São os limites impostos pelas leis naturais às variáveis do processo. Há dois tipos de restrições: (a) restrições de igualdade : h(x) = 0 São as equações do próprio modelo matemático. (b) restrições de desigualdade: g (x) 0 São os limites impostos às Variáveis de Projeto Enunciado Formal de um Problema de Otimização Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projeto s. a. : g(x) 0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade

Enunciado Formal de um Problema de Otimização Min f(x) Função Objetivo x Variável de Projeto s. a. : g(x) 0 Restrições de desigualdade h(x) = 0 Restrições de Igualdade Exemplo: otimização do extrator W kg B/h Q = 10. 000 kg. A/h x kg. B/kg. A rafinado xo= 0, 02 kg AB/kg A y kg AB/kg B extrato Max L(x) = R - C s. a. : g(x) = x - xo 0 h 1 (x) = Q (xo - x) - W y = 0 h 2 (x) = y - k x = 0

A presença de restrições pode alterar a solução de um problema Alterando, é sempre para pior

5. 2. 3 Restrições (a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva) g 2(x) = x 1 0 g 3(x) = x 2 0 Solução Irrestrita: A Solução Restrita : B (pior)

5. 2. 3 Restrições (b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões) 2, 0 1, 5 0, 8 0, 6 0, 4 1. 0 A x 2 1, 0 0, 5 B 0, 0 0, 5 1, 0 g ( x ) = x 2 + x 2 - 0 , 25 0 1 1 2 g 2(x) = x 1 0 g 3(x) = x 2 0 1, 5 2, 0 Solução irrestrita: A Solução restrita : B (pior)

2, 0 1, 5 0, 8 1. 0 A x 2 1, 0 0, 5 0, 0 0, 6 0, 4 B 0, 5 1, 0 x 1 g ( x ) = x 2 + x 2 - 0 , 25 0 1 1 2 g 2(x) = x 1 0 g 3(x) = x 2 0 1, 5 2, 0 Solução irrestrita: A Solução restrita : A

2, 0 0, 4 0, 6 1, 5 0, 8 A 1, 0 x 2 1, 0 g 2 (x) 0, 5 0, 0 g 3(x) = x 1 0 g 4(x) = x 2 0 0, 5 g (x) 1 1, 0 x 1 1, 5 2, 0 Solução irrestrita : A Solução restrita : B (pior)

2, 0 0, 4 0, 6 1, 5 0, 8 A 1, 0 x 2 1, 0 g 2(x) C 0, 5 0, 0 g 3(x) = x 1 0 g 4(x) = x 2 0 g 1(x) 0, 5 1, 0 x 1 1, 5 2, 0 Solução irrestrita: A Solução restrita : C (pior)

2, 0 0, 4 0, 6 1, 5 0, 8 A 1, 0 x 2 1, 0 g 2 (x) 0, 5 0, 0 g 3(x) = x 1 0 g 4(x) = x 2 0 0, 5 g 1 (x) 1, 0 x 1 1, 5 2, 0 Solução irrestrita: A Solução restrita : A

2, 0 0, 4 0, 6 1, 5 0, 8 A 1, 0 x 2 1, 0 g 2 (x) 0, 5 0, 0 g 3(x) = x 1 0 g 4(x) = x 2 0 0, 5 g 1 (x) 1, 0 x 1 1, 5 2, 0 Solução impossível Restrições incompatíveis

5. 2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO São os elementos presentes em qualquer problema de otimização, independentemente da área de aplicação. 5. 2. 1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5. 2. 2 Critério 5. 2. 3 Função Objetivo 5. 2. 4 Restrições 5. 2. 5 Região Viável

5. 2. 4 Região Viável Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima. x 3 Max f(x) s. a. : h(x) = 0 g(x) 0 x 1 x 2 Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x) 0) que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0) Exemplo: encontrar o aluno de maior CR neste piso, nesta sala

5. 2. 4 Região Viável Convexidade 2, 0 1, 5 g (x) 3 g (x) x 1, 0 2 0, 5 0, 0 2 A B g (x) 1 0, 5 1, 0 x 1, 5 2, 0 1 Região Convexa Todos os pontos do segmento de reta que une dois pontos quaisquer também pertencem à Região. A convexidade garante que o ótimo encontrado é o global

5. 2. 4 Região Viável Convexidade 2, 0 g (x) A g (x) = x 2 + (x - 2) 2 - 4 0 2 1 1, 5 x 1, 0 2 g (x) 3 0, 5 g (x) 2 B 0, 0 0, 5 1, 0 x 1 1, 5 2, 0 Região Não - Convexa Nem todos os pontos do segmento de reta que une os pontos A e B pertencem à Região. A não-convexidade não garante a convergência para um ótimo global É o maior desafio da otimização

Restrições podem ser lineares: x 1 – 0, 02 0 x 2 – x 1 0

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5. 1 Conceito de Otimização 5. 2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5. 2. 1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5. 2. 2 Critério 5. 2. 3 Função Objetivo 5. 2. 4 Restrições 5. 2. 5 Região Viável 5. 3 Localização da Solução Ótima 5. 4 Problemas e Métodos de Otimização 5. 5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 7 Dimensionamento por Simulações Sucessivas com Otimização.

5. 3 Localização da Solução Ótima Localização de valores extremos na faixa x 1 x x 2 M global 5 M local 4 f(x) 3 M 2 1 0 local m m global x 1 5 10 x 15 x 20 2 Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo. Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5. 1 Conceito de Otimização 5. 2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5. 2. 1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5. 2. 2 Critério 5. 2. 3 Função Objetivo 5. 2. 4 Restrições 5. 2. 5 Região Viável 5. 3 Localização da Solução Ótima 5. 4 Problemas e Métodos de Otimização 5. 5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 7 Dimensionamento por Simulações Sucessivas com Otimização.

5. 4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podem ser classificados: (a) Quanto ao número de variáveis: - Univariáveis ou Multivariáveis (b) Quanto à presença de restrições: - Irrestritos ou Restritos Os métodos de resolução podem ser classificados: (a) Quanto à natureza: - Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das derivadas da função objetivo. - Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas. (b) Quanto ao tipo de informação utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo. - Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5. 1 Conceito de Otimização 5. 2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5. 2. 1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5. 2. 2 Critério 5. 2. 3 Função Objetivo 5. 2. 4 Restrições 5. 2. 5 Região Viável 5. 3 Localização da Solução Ótima 5. 4 Problemas e Métodos de Otimização 5. 5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 7 Dimensionamento por Simulações Sucessivas com Otimização.

ATENÇÃO PARA O ROTEIRO DA RESOLUÇÃO DO PROBLEMA

5. 5 MÉTODO ANALÍTICO 5. 5. 1 Problemas univariáveis Exemplo: dimensionamento do extrator W kg B/h Q = 10. 000 kg. A/h x kg. B/kg. A rafinado xo= 0, 02 kg AB/kg A y kg AB/kg B extrato Modelo Matemático: Balanço de Informação: 1. Q (xo - x) - W y = 0 V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 2. y - k x = 0 (k = 4) G = 1 (otimização) Avaliação Econômica: L=R-C R = p. AB W y C = p. B W p. AB = 0, 4 $/kg. AB : p. B = 0, 01 $/kg. B

Sequência de Cálculo x y W 1 * * * 2 * * x y W 1 x x o 2 x o Variável de Projeto : x Equações ordenadas 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y Restrições de Igualdade !!!

Função Objetivo: L = R - C = p. AB W y - p. B W Incorporando as Restrições de Igualdade ordenadas à Função Objetivo (viável em problemas simples) x y, 2. y = k x 1. W = Q (xo - x)/y W L L = p. AB W y - p. B W x a = Q (p. AB xo + p. B / k) = 105 b = p. AB Q = 4. 000 c = p. B Q xo / k = 0, 5 L = a - b x - c/x L

L = a - b x - c/x 60 Busca do ponto estacionário: d. L 50 dx = - b+ R c = 0 x 2 40 20 c = 0 , 01118 b Solução completa do problema: yo = 0, 04472 kg AB/kg B; Wo = 1. 972, 3 kg. B/h; Ro = 35, 3 $/h; Co = 19, 7 $/h; Lo = 15, 6 $/h C L, R, C 30 $/a xo = o L = 15, 6 L 10 o x =0, 01118 0 0, 006 0, 008 0, 010 0, 012 0, 014 0, 016 x kg. AB/kg A 0, 018 0, 020 0, 022

COMENTÁRIO: Otimização “solitária” Exemplo: dimensionamento do extrator W kg B/h Q = 10. 000 kg. A/h x kg. B/kg. A rafinado xo= 0, 02 kg AB/kg A y kg AB/kg B extrato Modelo Matemático: Balanço de Informação: 1. Q (xo - x) - W y = 0 V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 2. y - k x = 0 (k = 4) G = 1 (otimização) Avaliação Econômica: L=R-C R = p. AB W y C = p. B W p. AB = 0, 4 $/kg. AB : p. B = 0, 01 $/kg. B

5. 5 MÉTODO ANALÍTICO 5. 5. 2 Problemas multivariáveis Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série W kg. B/h 1 Q = 10. 000 kg. A/h x = 0, 02 kg. AB/kg. A o x kg. AB/kg. A 1 1 y Modelo Matemático 1. Q(xo - x 1) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q(x 1 -x 2) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 W kg. B/h 2 1 kg. AB/kg. B x kg. AB/kg. A 2 2 y 2 kg. AB/kg. B Avaliação Econômica L=R-C R = p. AB (W 1 y 1 + W 2 y 2 ) C = p. B (W 1 + W 2) p. AB = 0, 4 $/kg. AB : p. B = 0, 01 $/kg. B Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)

5. 5 MÉTODO ANALÍTICO 5. 5. 2 Problemas multivariáveis Modelo Matemático 1. Q (xo - x 1) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q(x 1 -x 2) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 1 2 3 4 W 1 x 1 y 1 W 2 x 2 y 2 * * * Ordenação Equações Ordenadas 2. y 1 = k x 1 4. y 2 = k x 2 3. W 2 = Q (x 1 – x 2)/ y 2 1. W 1 = Q (xo - x 1)/ y 1 1 2 3 4 W 1 x 1 y 1 W 2 x 2 y 2 o x x x o Variáveis de Projeto: x 1 e x 2

Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L L=R–C R = p. AB (W 1 y 1 + W 2 y 2 ) C = p. B (W 1 + W 2) 2. y 1 = k x 1 4. y 2 = k x 2 3. W 2 = Q (x 1 – x 2)/ y 2 1. W 1 = Q (xo - x 1)/ y 1 L = a – b/x 1– cx 2 – d x 1/x 2 Buscando o ponto estacionário: L/ x 1 = b/x 12 – d/x 2 = 0 x 1 o = (b 2/cd)1/3 = 0, 01357 L/ x 2 = - c + dx 1/x 22 = 0 x 2 o = (d/b) x 12 = 0, 00921 Solução completa: y 1 o = 0, 05428 kg. AB/kg. B; W 1 o = 1. 184 kg. B/h y 2 o = 0, 03684 kg. AB/kg. B; W 2 o = 1. 184 kg. B/h Co = 23, 68 $/h; Ro = 43, 15 $/h; Lo = 19, 47 $/h

DIMENSIONAMENTO COM G = 0 W 2 kg B/h ? W 1 kg B/h ? Q = 10. 000 kg. A/h x 1 * = 0, 015 kg. AB/kg. A Q* = 10. 000 kg. A/h xo*= 0, 02 kg AB/kg A alimentação Q * = 10. 000 kg. A/h x 2 * = 0, 008 kg. AB/kg A * 1 rafinado 2 W 1 kg B/h y 1 kg AB/kg B ? extrato Modelo Físico 1. Q* (xo* - x 1 *) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 * = 0 3. Q * (x 1 * - x 2 *) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 * = 0 Balanço de Informação V = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (solução única) Lucro = 17, 8 $/h rafinado W 2 kg B/h y 2 kg AB/kg B ? extrato

Dimensionamento: x 1* = 0, 015 e x 2* = 0, 008 0, 020 0, 018 8, 0 0, 016 0 4, 0 2, 0 6, 0 10 0, 014 16 0, 012 X 2 0, 010 19, 5 14 18 17, 8 0, 006 12 0, 004 0, 002 0, 005 0, 010 0, 015 0, 020 X 1 0, 025 0, 030 0, 035

IMPORTANTE A solução ótima para um sistema só pode ser obtida se todos os elementos estiverem presentes durante a resolução do problema Como se cada elemento negociasse com os demais visando o objetivo almejado para o processo (sem “egoísmo”) Exemplo: 2 extratores em série

Durante a solução analítica. . . L=R–C R = p. AB (W 1 y 1 + W 2 y 2 ) C = p. B (W 1 + W 2) 2. y 1 = k x 1 4. y 2 = k x 2 3. W 2 = Q (x 1 – x 2)/ y 2 1. W 1 = Q (xo - x 1)/ y 1 L = a – b/x 1– cx 2 – d x 1/x 2 Buscando o ponto estacionário: L/ x 1 = b/x 12 – d/x 2 = 0 x 1 o = (b 2/cd)1/3 = 0, 01357 L/ x 2 = - c + dx 1/x 22 = 0 x 2 o = (d/b) x 12 = 0, 00921 Solução “negociada”

Cada extrator “negociou” com o outro quanto recuperaria de soluto visando o Lucro Máximo do sistema W 1 = 1. 184 kg. B/h x 1 = 0, 01357 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 2 = 1. 184 kg. B/h 1 x 2 = 0, 00921 kg. AB/kg. A 2 y 1 = 0, 05428 kg. AB/kg. A y 2 = 0, 03824 kg. AB/kg. A Examinando a contribuição de cada estágio à solução ótima Estágio Soluto Rec. kg/h Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 1 2 64, 28 1. 184 13, 87 43, 62 1. 184 5, 61 Total 107, 90 2. 368 19, 48

0, 020 0, 018 8, 0 0, 016 10 0, 014 16 0, 012 X 2 0, 010 0 4, 0 2, 0 6, 0 19, 5 0, 00921 14 18 0, 006 12 0, 004 0, 01357 0, 002 0, 005 0, 010 0, 015 0, 020 X 1 0, 025 0, 030 0, 035

OTIMIZAÇÃO SIMULT NEA x SEQUENCIAL Alternativamente, pode-se pensar em decompor o problema em dois subproblemas univariáveis: (a) otimizar o primeiro estágio (b) utilizar o valor ótimo x 1 o na otimização do segundo.

W W 2 1 * Q * x o 1 W 1 y 1 ( ) L 1 = pab. Q* x*o - x 1 - imposição! x 1 ( ) pb. Q* x*o - x 1 kx 1 * Q 2 * x 1 x 2 W 2 y 2 ( ) L 2 = pab. Q* x 1* - x 2 - ( pb. Q* x 1* - x 2 ) kx 2 c L 1 = a 1 - b 1 x 1 - 1 x 1 c L 2 = a 2 - b 2 x 2 - 2 x 2 p a 1 = Q*(pabx*o + b ) = 105 k b 1 = pab. Q* = 4. . 000 p a 2 = Q*(pabx 1* + b ) = 6972 , k b 2 = pab. Q* = 4000. pb. Q*x*o = 05 c 1 = , k c x 1 o = 1 = 00111803 , b 1 Solução ótima do Estágio 1 Lo 1 = 1556 , $/ a pb. Q*x 1* = 02795 c 2 = , k c xo 2 = 0008359 , b 2 Solução ótima do Estágio 2 Lo 2 = 284 , $/ a

O segundo estágio foi otimizado para x 1 = 0, 01118 imposto pelo primeiro estágio sem “negociação. W 1 = 1. 972 kg. B/h x 2 = 0, 008359 kg. AB/kg. A x 1 = 0, 01118 kg. AB/kg. A Q = 10. 000 kg. A/h xo = 0, 02 kg. AB/kg. A W 2 = 843 kg. B/h 1 2 y 1 = 0, 04472 kg. AB/kg. A y 2 = 0, 03344 kg. AB/kg. A Resultando: Estágio Soluto Rec. kg/h Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 1 2 64, 28 1. 972 15, 56 28, 21 843 2, 84 Total 116, 41 2. 815 18, 40

A busca de x 2 o ficou restrita a x 1 – 0, 01118 = 0 Obviamente, não é a solução ótima

Comparando as duas soluções. . .

Solução Simultânea Estágio Soluto Rec. kg/h Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 1 2 64, 28 1. 184 13, 87 43, 62 1. 184 5, 61 Total 107, 90 2. 368 19, 48 Solução Seqüencial Estágio Soluto Rec. kg/h Solv. Cons. kg/h Lucro $/a 1 2 88, 20 1. 972 15, 56 28, 21 843 2, 84 Total 116, 41 2. 815 18, 40 Na solução seqüencial, o primeiro estágio consome mais solvente e recupera mais soluto. Mas o faz ignorando o segundo estágio que consome menos solvente mas recupera menos soluto. A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea

Problemas Restritos [hi(x) , gi(x)] Método dos Multiplicadores de Lagrange 1. Formar o Lagrangeano do problema: L(x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) - j 2] i : multiplicadores de Lagrange i : variável de folga (distância de um ponto interior à fronteira da restrição; transforma desigualdade em igualdade) 2. Localizar os pontos estacionários do Lagrangeano. 3. Analisar as soluções obtidas à luz das restrições.

Exemplo: Min f(x) = (x 1 – 1)2 + (x 2 – 1)2 s. a. : g 1 (x) = x 12 + x 22 – 0, 25 0 g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0 x 2 curvas de nível da função objetivo 1 0, 5 x 1 1 restrição

Exemplo: Min f (x) = (x 1 – 1)2 + (x 2 – 1)2 s. a. : g 1 (x) = x 12 + x 22 – 0, 25 0 g 2 (x) = x 1 0 g 3 (x) = x 2 0 Formar o Lagrangeano: Considerar apenas g 1(x) e depois eliminar valores negativos de x 1 e x 2 L (x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) - j 2] L (x, , ) = (x 1 – 1)2 + (x 2 – 1)2 + [x 12 + x 22 – 0, 25 - 2]

L (x, , ) = (x 1 – 1)2 + (x 2 – 1)2 + [x 12 + x 22 – 0, 25 - 2] L / x 1 = 2 x 1 – 2 + 2 x 1 = 0 x 1 = 1/(1 + ) L / x 2 = 2 x 2 – 2 + 2 x 2 = 0 x 2 = 1/(1 + ) L / = x 12 + x 22 – 0, 25 - 2 = 0 L / = 2 = 0 (1) (2) (3) (4) A Eq. (4) é satisfeita para: = 0 (solução irrestrita): (1) x 1 = 1 ; (2) x 2 = 1 = 0 (folga zero, fronteira da região): (1) e (2) em (3) x 1 = x 2 = 0, 35 x 2 curvas de nível da função objetivo 1 0, 5 x 1 1 restrição

Resolver os problemas: 5. 1 a 5. 6: já na Lista de Exercícios do site 5. 7 , 5. 8, 5. 14 a 5. 17

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5. 1 Conceito de Otimização 5. 2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5. 2. 1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5. 2. 2 Critério 5. 2. 3 Função Objetivo 5. 2. 4 Restrições 5. 2. 5 Região Viável 5. 3 Localização da Solução Ótima 5. 4 Problemas e Métodos de Otimização 5. 5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 7 Dimensionamento por Simulações Sucessivas com Otimização.

5. 6 MÉTODOS NUMÉRICOS São métodos de busca por tentativas. Os métodos podem ser: - Diretos: orientam as tentativas com base apenas no valor da Função Objetivo. - Indiretos: utilizam, também, o valor da derivada da Função Objetivo. (com mais informação, o número de tentantivas é menor; mas o esforço computacional é maior). Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às seguintes propriedades: - Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço. - Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.

5. 6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5. 6. 1 Problemas Univariáveis Motivação para o uso de métodos numéricos Dimensionamento de um trocador de calor T 4 o C W 1 = 30. 000 kg/h T 2 = 50 o. C T 1 = 100 o. C W 3 kg/h ? T 3= 15 o. C

T 4 o C FLUXOGRAMA W 1 = 30. 000 kg/h T 2 = 50 o. C T 1 = 100 o. C Modelo W 3 kg/h ? T 3= 15 o. C Avaliação Econômica CT = Ccap + Cutil = (8. 500)(5 x 10 -5)W 3 Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)

Modelo Ordenado Avaliação Econômica CT = Ccap + Cutil = (8. 500)(5 x 10 -5)W 3 Variável de Projeto: T 4 Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo

T 4 o C W 1 = 30. 000 kg/h T 2 = 50 o. C T 1 = 100 o. C W 3 kg/h ? T 3= 15 o. C Limites de T 4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65.

MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos. Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a: (a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls) (b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente. Fi Fs Li xi xs Ls Onde posicionar xi e xs? Qual é esta fração?

Esta fração advém da razão dos lados do Retângulo Áureo (aquele esteticamente perfeito, segundo os gregos) Seja um retângulo de lado maior 1 e lado menor 1 A razão dos seus lados é /1 =

Removendo-se um quadrado de lado 1 - 1 sobra um retângulo cuja razão dos lados é (1 - ) /

O Retângulo Áureo é aquele em que razão dos lados do novo retângulo é a mesma do retângulo anterior. 1 - Esta razão é única 1 É a Razão Áurea dos lados de um retângulo

Retângulo Áureo 0, 382 0, 618 1 0, 618 / 1 = 0, 382 / 0, 618 = 0, 618 0, 382 = 0, 6182 Assim, a cada remoção de um quadrado, o lado maior do retângulo fica reduzido a 61, 8% do comprimento anterior.

Retângulo Áureo 0, 382 0, 618 1 0, 618 / 1 = 0, 382 / 0, 618 = 0, 618 0, 382 = 0, 6182 Observa-se que: 0, 618/0, 382 = 1, 618 !!!

1 0, 618 0, 382 0, 236 0, 146 0, 090 Após a remoção de 10 quadrados, o lado maior do retângulo estará reduzido a 0, 61010 = 0, 0081 do comprimento original, ou seja, a menos de 1% do comprimento original.

Esta propriedade inspirou a criação do Método da Seção Áurea de otimização univariável

MÉTODO DA SEÇÃO ÁUREA Em cada iteração, um dos intervalos é eliminado com base no valor da Função Objetivo calculada em apenas dois pontos. Esses pontos (xi e xs) são estrategicamente posicionados de modo a: (a) exibir uma simetria em relação aos limites do intervalo (Li e Ls) (b) eliminar sempre a mesma fração do intervalo vigente. Isto é obtido dividindo o intervalo de busca na razão áurea 0, 618 Fi = L s – Li xi = Li + 0, 382 xs = Ls - 0, 382 Fs 0, 382 Li 0, 382 xi xs Ls

Algoritmo da Seção Áurea ÁUREA Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Convergiu Delta Tolerância

Iniciar Repetir 0, 618 Fi Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto Fs Eliminação de Região Problema de Mínimo Eliminação de Região Problema de Máximo 0, 382 Li xi xi Li xs xi Fs F i 0, 382 0, 618 xs Li Fi Ls xi xs Fs Fs 0, 382 Li Fi xi xs Ls xi xs Fi F s 0, 382 xs Ls Fi Inicialização 0, 382 ’ xi Ls Atualiza Tolerância ? Novo Ponto Fs Li ’ xs Ls ’ Novo = L s – Li xi = Li + 0, 382 xs = Ls - 0, 382 ’ Li xi xs Ls ’ Novo

Iniciar Repetir 0, 618 Fi Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto ’ Eliminação de Região Problema de Máximo 0, 382 0, 618 Li Fi xi xs Ls Atualiza Tolerância ? Novo Ponto Fs Fs 0, 382 Li xi xs Ls xi xs Fi F s 0, 382 xs Ls Fi Inicialização = L s – Li xi = Li + 0, 382 xs = Ls - 0, 382 ’ Li xi xs Ls ’ Novo

Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto ’ Fs Eliminação de Região Problema de Mínimo 0, 382 Li xi xi Li xs xi Fs F i 0, 618 xs Fi Ls Atualiza Tolerância ? Novo Ponto Fs Fs 0, 382 Li Fi xi xs Inicialização 0, 382 ’ Li xi 0, 382 xs Ls ’ Novo = L s – Li xi = Li + 0, 382 xs = Ls - 0, 382 Ls

EXEMPLO Dimensionamento de um trocador de calor T 4 o C W 1 = 30. 000 kg/h T 2 = 50 o. C T 1 = 100 o. C W 3 kg/h ? T 3= 15 o. C Cp 1 = 1, 35 kcal/kg o. C Cp 3 = 1, 00 kcal/kg o. C U = 0, 75 kcal / m 2 o. C

T 4 o C FLUXOGRAMA W 1 = 30. 000 kg/h T 2 = 50 o. C T 1 = 100 o. C Modelo W 3 kg/h ? T 3= 15 o. C Avaliação Econômica CT = Ccap + Cutil = (8. 500)(5 x 10 -5)W 3 Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)

Modelo Ordenado Avaliação Econômica CT = Ccap + Cutil = (8. 500)(5 x 10 -5)W 3 Variável de Projeto: T 4 Incorporando o modelo ordenado à Função Objetivo

T 4 o. C W 1 = 30. 000 kg/h T 2 = 50 o. C T 1 = 100 o. C W 3 kg/h ? T 3= 15 o. C Limites de T 4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65 (T 4 = 1)

PROGRAMA Áurea. bas e Áurea. xls Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto

Iniciar Repetir Eliminar Região 9. 568 Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar 6. 287 5. 339 Colocar Novo Ponto 47, 47 15 2 3 4 79, 93 xs xi Li Li N 67, 53 Li 15 47, 47 67, 53 xi 47, 47 67, 53 79, 93 Fi 9. 568 6. 287 5. 339 100 Ls xs Fs Ls 67, 53 79, 93 6. 287 5. 339 100 100 85 52, 53 32, 47

N 2 3 Li 15 47, 47 67, 53 xi 47, 47 67, 53 79, 93 Fi 9. 568 6. 287 5. 339 xs Fs Ls 67, 53 79, 93 6. 287 5. 339 100 100 85 52, 53 32, 47 Número N de cálculos da Função Objetivo para reduzir o intervalo a uma fração ( / i) do intervalo inicial. Da tabela acima: N = 3 ( / i ) = (32, 47/85) = 0, 382 = 0, 618 N-1 Ln ( / i ) = (N-1) Ln 0, 618 N = 1 + Ln ( / i ) / Ln 0, 618 10% : / i = 0, 10 N = 5, 78 6 1% : / i = 0, 01 N = 5, 78 10, 56 11

ALGORITMO ORIGINAL Iniciar Repetir Eliminar Região Atualizar Delta Se Convergiu Então Finalizar Colocar Novo Ponto ALGORITMO ALTERNATIVO Iniciar Repetir N vezes Eliminar Região Colocar Novo Ponto

VER PROGRAMA AUREA. XLS

Minimização do Custo do Trocador de Calor Resultado do Aurea. xls Li xs Fs xi 2 15, 00 47, 47 6776, 63 67, 53 5073, 83 100, 00 85, 00 3 47, 47 67, 53 5073, 83 79, 93 4510, 13 100, 00 52, 53 4 67, 53 79, 93 4510, 13 87, 60 4293, 36 100, 00 32, 47 5 79, 93 87, 60 4293, 36 92, 33 4222, 96 100, 00 20, 07 6 87, 60 92, 33 4222, 96 95, 26 4224, 39 100, 00 12, 40 92, 33 4222, 96 7, 67 87, 60 T 4 o = 92, 33 o. C Solução: W 3 o = xxx kg/h Ao = xxx m 2 Fi Ls N 95, 26

FUNÇÕES MULTIMODAIS

Busca entre -2 e 3: resulta -1 Busca entre -2 e -1: resulta -1 Estratégia Realizar buscas por intervalos Busca entre -1 e 3: resulta 2 Busca entre -1 e 2: resulta -1 Busca entre 2 e 3: resulta 2 6 2 -2 -2 -1 0 1 2 3 Pode-se, agora, iniciar uma busca por máximos dentro desses intervalos

5. 6. MÉTODOS NUMÉRICOS 5. 6. 2 Problemas Multivariáveis Alguns métodos diretos: - Busca Aleatória - Busca por Malhas - Busca Secionada - Simplex - Hooke & Jeeves Procedimento Geral: (a) seleção de um ponto inicial (base). (b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca. (c ) progressão na direção de busca até decisão em contrário. (d) finalização Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a progressão.

Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão (estamos nas proximidades do ótimo): Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos Explorar, Progredir e Chegou ao Ótimo: ver em seguida

Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Incremento: a busca deve ser grosseira, porém rápida no início e lenta e minuciosa nas proximidades do ótimo. O incremento inicial pode ser 2 vezes a tolerância, ou mais, para ser reduzido à metade à medida que se aproxima do ótimo. Tolerância: o menor intervalo de incerteza admissível para cada variável Base: o centro da região de busca (na falta de maiores informações).

Exploração Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direção (xi) ao redor da Base. Do resultado, depreender a direção provável do ótimo ? + 2 ? - 1 Base + 1 ? - 2 ? A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções tenham sido testadas.

Exploração Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro. S: Sucesso I: Insucesso S + 2 0, 5 0, 4 Sucesso S 0, 3 y Base desnecessário 0, 2 - 2 buscando máximo 0, 1 0, 0 - 1 0, 2 0, 4 x 0, 6 0, 8 1, 0 I

Exploração O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição. S + 2 S - 2 I - 1 Base

Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração

x 2 Direção x 1 Unimodalidade: dispensa + 1 Direção x 2 Unimodalidade: dispensa + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 15 10 Base - 2 18 Sucesso: deslocar a Base Direção provável do ótimo x 1

x 2 Direção provável do ótimo Direção x 1 Unimodalidade: dispensa + 1 18 Sucesso: deslocar a Base Direção x 2 + 2 Sucesso: deslocar a Base - 1 15 10 Base - 2 12 Insucesso: permanecer na Base x 1

Direção x 1 x 2 Unimodalidade: dispensa + 1 Direção x 2 13 Insucesso: permanecer na Base Direção + 2 provável Sucesso: deslocar a Base do ótimo - 1 15 10 Base - 2 12 Insucesso: permanecer na Base x 1

x 2 Direção x 1 Direção x 2 Unimodalidade: dispensa + 2 Sucesso: deslocar a Base 7 - 1 Insucesso: permanecer na Base 10 Base + 1 15 - 2 18 Sucesso: deslocar a Base Direção provável do ótimo x 1

x 2 Direção x 1 Direção provável do ótimo 18 Direção x 2 Sucesso: deslocar a Base + 2 - 1 7 Insucesso: permanecer na Base 10 Base + 1 15 Sucesso: deslocar a Base - 2 12 Insucesso: permanecer na Base x 1

x 2 Direção x 1 Insucesso: 11 permanecer na Base Direção x 2 + 2 7 Insucesso: permanecer na Base - 1 10 Base + 1 - 2 Sucesso: deslocar a Base 15 Direção provável do ótimo Insucesso: 12 permanecer na Base x 1

x 2 Direção x 1 Direção x 2 Unimodalidade: dispensa + 2 - 1 Base 7 10 Insucesso: permanecer na Base- + 1 Insucesso: 8 permanecer na Base 2 15 Sucesso: deslocar a Base Direção provável do ótimo x 1

x 2 Direção provável do ótimo Direção x 1 15 Direção x 2 Sucesso: deslocar a Base + 2 - 1 Insucesso: 7 permanecer na Base 10 + 1 Base 8 Insucesso: permanecer na Base - 2 9 Insucesso: permanecer na Base x 1

x 2 Direção x 1 5 Direção x 2 Insucesso: permanecer na Base + 2 - 1 Insucesso: 7 permanecer na Base 10 + 1 Base 8 Insucesso: permanecer na Base - 2 9 Insucesso: permanecer na Base A Base deve estar próxima do ótimo ! x 1

Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão (proximidade do ótimo): Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos

Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o ótimo? Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias, SIM!: Finalizar Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade. Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos incrementos

x 2 Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos 5 - 1 + 2 7 - 2 + 1 + 2 - 1 10 + 1 Base 8 - 2 9 1 > 1 e 2 > 2 ainda não chegou ao ótimo Reduzir os incrementos 1 = 1 /2 , 2 = 2 /2 x 1

x 2 Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos 5 - 1 + 2 7 - 2 + 1 + 2 - 1 10 + 1 Base 8 - 2 9 1 > 1 e 2 > 2 ainda não chegou ao ótimo Reduzir os incrementos 1 = 1 /2 , 2 = 2 /2 x 1

x 2 - 2 Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar + 1 5 + 2 + 2 7 - 1 10 + 1 8 Base - 2 - 2 9 1 < 1 e 2 < 2 a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo x 1

Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão: (proximidade do ótimo) Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos

Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão Progredir até ocorrer um Insucesso x 2 Sucesso! Mover a Base. Continuar a Progressão 22 + 2 25 + 1 + 2 18 Insucesso! Permanecer na Base (25) Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2. + 1 + 2 10 + 1 15 Resultado da Exploração Base x 1

Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão x 2 Progredir com duplo incremento até ocorrer um Insucesso 22 Insucesso! Permanecer na Base (25) + 2 2 Sucesso! Mover a Base. Continuar a Progressão 25 + 2 1 Exploração a partir da Base (25) com 1 e 2. + 2 2 18 + 2 1 + 2 10 + 1 15 Resultado da Exploração Base x 1

Funções Unimodais O método converge sempre para o único extremo independentemente da base inicial. Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.

Funções Multimodais O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados. (a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais. (b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentes f (x) = (x 12 + x 2 – 11)2 + (x 22 + x 1 – 7)2

Método de Hooke & Jeeves ALGORITMO Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável Escolher uma Base Repetir Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo) Se houve Sucesso em alguma direção Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso Senão: (proximidade do ótimo) Se Chegou ao Ótimo Então: Finalizar Senão: reduzir os incrementos

'HJ 'Executa o Método de Hooke & Jeeves. 18 JUL 90 -23 MAI 96 '--------------------------------------' Programa Principal '--------------------------------------Escolher. Uma. Base DO Explorar. As. Vizinhancas. Da. Base '(Buscando a direção provável do ótimo). IF Houve. Sucesso. Em. Alguma. Direcao THEN Progredir. Ate. Um. Insucesso '(Na direção provável do ótimo). ELSE IF Chegou. Ao. Otimo THEN EXIT DO ELSE Reduzir. Todos. Os. Incrementos END IF LOOP Finalizar

5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA 5. 1 Conceito de Otimização 5. 2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização 5. 2. 1 Variáveis de Decisão (Manipuladas) 5. 2. 2 Critério 5. 2. 3 Função Objetivo 5. 2. 4 Restrições 5. 2. 5 Região Viável 5. 3 Localização da Solução Ótima 5. 4 Problemas e Métodos de Otimização 5. 5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis. 5. 7 Dimensionamento por Simulações Sucessivas com Otimização.

5. 7 Dimensionamento por Simulações Sucessivas com Otimização. EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para simulação. Mas exige um procedimento de otimização: - função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores estipulados como metas - variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos

Exemplo: Extrator W = 3. 750 kg. B/h Normal Q* = 10. 000 kg. A/h o xo*= 0, 02 kg AB/kg A Ts C Q* = 10. 000 kg. A/h solvente x* = 0, 008 kg. AB/kg A To o C T o. C o T C rafinado alimentação T o. C W = 3. 750 kg. B/h extrato y = 0, 032 kg AB/kg B r = 0, 60 W = ? ? ? kg. B/h Q* = 10. 000 kg. A/h o. C T s x *= 0, 02 kg AB/kg A o solvente To o C alimentação T o. C extrato Simulações Sucessivas Q* = 10. 000 kg. A/h x = ? ? ? kg. AB/kg A T o. C rafinado T o. C W = kg. B/h y = kg AB/kg B FO = |x – 0, 008|

Exemplo: Extrator W = ? ? ? kg. B/h Simulações Sucessivas Q* = 10. 000 kg. A/h o. C T s xo*= 0, 02 kg AB/kg A Q* = 10. 000 kg. A/h solvente x = ? ? ? kg. AB/kg A To o C T o. C o T C rafinado alimentação extrato T o. C W = kg. B/h FO = |x – 0, 008| y = kg AB/kg B 1. Q (xo – x) – W y = 0 2. y – k x = 0 x = Q xo / (Q + k W ) Por Seção Áurea, 0 < W < 1. 000 W = 3. 750

Exemplo: Trocador de Calor T 4* = 30 o. C A = 265, 6 T m 2 2 * Normal = 25 o. C W 1* = 30. 000 kg/h T 1* = 80 o. C W 3 = 44. 000 kg/h T 3* = 15 o. C Simulações Sucessivas T 4* = ? ? ? Q T * 2 ? ? ? A ? ? W 1* = 30. 000 kg/h T 1* = 80 o. C W 3 ? ? T 3* = 15 o. C 1. T 2 = T 1 – Q / W 1 Cp 1 2. T 4 = T 3 + Q / W 3 Cp 3 4. =. . . 3. Q – U A = 0 Ciclo!

Exemplo: Trocador de Calor Substituindo 4, 2 e 1 em 3, resulta: a = T 1 – T 3 b = U A [ 1 / W 1 Cp 1 – 1 / W 3 Cp 3] 3’. Q = a (eb – 1) / [ eb / W 1 Cp 1 – 1 / W 3 Cp 3] 1. T 2 = T 1 – Q / W 1 Cp 1 2. T 4 = T 3 + Q / W 3 Cp 3 4. =. . . T 4* = ? ? ? W 1 = 30. 000 kg/h * T 1* = 80 o. C A ? ? T 2* ? ? ? W 3 ? ? T 3* = 15 o. C

Exemplo: Trocador de Calor a = T 1 – T 3 b = U A [ 1 / W 1 Cp 1 – 1 / W 3 Cp 3] 3’. Q = a (eb – 1) / [ eb / W 1 Cp 1 – 1 / W 3 Cp 3] 1. T 2 = T 1 – Q / W 1 Cp 1 2. T 4 = T 3 + Q / W 3 Cp 3 Otimização 4. =. . . T 4* = ? ? ? W 1 = 30. 000 kg/h * T 1* = 80 o. C A ? ? T 2* ? ? ? W 3 ? ? T 3* = 15 o. C Por Hooke&Jeeves 0 < A < 1. 000 0 < W 3 < 100. 000 FO = |T 2 – 25| + |T 4 – 30|