Operations Management OPERATIONS RESEARCH MASALAH PENUGASAN William J

Operations Management OPERATIONS RESEARCH MASALAH PENUGASAN William J. Stevenson 8 th edition

Konsep Tentang Model Penugasan • Model Penugasan adalah suatu model khusus dari model program linier yang serupa dengan model transportasi. • Perbedaannya adalah, dalam model penugasan penawaran pada tiap sumber dan permintaan pada tiap tempat tujuan dibatasi sebanyak satu unit barang saja.

Langkah – Langkah Penyelesaian (1) 1. Membuat suatu tabel biaya Opportuniti ( opportunity cost table ) yakni dengan membuat reduksi baris dan kolom 2. Buat tabel Reduksi baris : dengan cara mengurangkan semua biaya dalam tiap baris dengan biaya terkecil yang ada pada tiap baris tersebut. 3. Buat tabel reduksi kolom : dengan cara mengurangkan semua biaya yang ada pada semua kolom dari tabel reduksi baris dengan biaya terkecil yang ada pada tiap kolomnya

Langkah – Langkah Penyelesaian (2) 4. 5. Buat tabel biaya pengujian : yakni tambahkan garis pada tabel yang sudah direduksi baik secara vertikal maupun secara horisontal dimana terdapat minimal dua angka nol. Untuk mencapai tabel yang optimal, maka jumlah minimal garis = jumlah baris atau kolom, jika belum maka buat tabel pengulangan model penugasan dengan cara kurangkan semua biaya yang tidak dilalui garis dengan biaya yang terkecil yang juga tidak dilalui garis dan untuk semua angka nol pada perpotongan garis harus ditambahkan dengan biaya yane terkecil. Kemudian tarik garis secara vertikal dan horisontal seperti langkah sebelumnya.

Langkah – Langkah Penyelesaian (3) 6. Apabila jumlah minimal garis = jumalah baris atau kolom, maka tabel tersebut sudah opitmal. Maka tentukanlah penugasan berdasarkan sel di mana terdapat angka nol.

Contoh Masalah Penugasan Ada 4 operator komputer, A, B, C, dan D, sedangkan P 1, P 2, P 3, dan P 4 adalah jenis-jenis pekerjaan data entry yang harus dikerjakan. A dapat menyelesaikan P 1, P 2, P 3 dan P 4 berturut-turut dalam 18, 24, 28 dan 32 menit; B dapat menyelesaikan berturut dalam 8, 13, 17, dan 19 menit; C dapat menyelesaikan berturut-turut dalam 10, 15, 19, 22 menit sedangkan D dalam 12, 16, 20, dan 25 menit. Apabila satu orang hanya boleh mengerjakan satu pekerjaan, tentukanlah alokasi kerja agar waktunya minimal. Berapakah total waktu minimal tersebut ?

Persoalan di atas dapat disajikan dalam tabel transportasi sbb: Tabel Awal (tabel 1):

Solusi Optimal A Mengerjakan P 1= 18 menit B Mengerjakan P 4= 19 menit C Mengerjakan P 2= 15 menit D Mengerjakan P 3= 20 menit Atau A Mengerjakan P 1= 18 menit B Mengerjakan P 4= 19 menit C Mengerjakan P 3= 19 menit D Mengerjakan P 2= 16 menit Total Waktu Pengerjaan 72 Menit

MASALAH PENUGASAN (ASSIGMENT PROBLEM) Masalah yang berhubungan dengan penugasan optimal dari bermacam-macam sumber yang produktif atau personalia yang mempunyai tingkat efisiensi yang berbeda-beda untuk tugas-tugas yang berbeda-beda pula

Masalah Minimisasi Contoh : Suatu perusahaan mempunyai 4 pekerjaan yang berbeda untuk diselesaikan oleh 4 karyawan Tabel Matrik biaya Pekerjaan Karyawan I II IV A Rp 15 Rp 20 Rp 18 Rp 22 B 14 16 21 17 C 25 20 23 20 D 17 18 18 16

Langkah-langkah Metode Hungarian 1. Mengubah Matriks biaya menjadi matriks opportunity cost: Caranya: pilih elemen terkecil dari setiap baris, kurangkan pada seluruh elemen baris tersebut Reduced cost matrix Pekerjaan Karyawan I II IV A Rp 0 15 Rp 5 20 3 18 Rp 7 22 Rp B 0 14 2 16 3 17 C 5 25 1 17 0 20 2 18 7 21 3 23 D 2 18 0 20 0 16

2. Reduced-cost matrix terus dikurangi untuk mendapatkan totalopportunity-cost matrix. pilih elemen terkecil dari setiap kolom pada RCM yang tidak mempunyai nilai nol, kurangkan pada seluruh elemen dalam kolom tersebut. Reduced cost matrix Total opportunity cost matrix Pekerjaan Karyawan I II IV A 0 5 31 7 B 0 2 3 C 5 0 75 31 D 1 2 20 0 0

3. Melakukan test optimalisasi dengan menarik sejumlah minimum garis horisontal dan/atau vertikal untuk meliput seluruh elemen bernilai nol Penugasan optimal adalah feasible jika : jumlah garis = jumlah baris atau kolom Test of optimality Pekerjaan I Karyawan II IV A 0 5 1 7 B 0 2 5 3 C 5 0 1 0 D 1 2 0 0

4. Untuk merevisi total-opportunity matrix, pilih elemen terkecil yang belum terliput garis (1) untuk mengurangi seluruh elemen yang belum terliput Tambahkan jumlah yang sama pada seluruh elemen yang mempunyai dua garis yang saling bersilangan Ulangi langkah 3 Revised matrix dan Test of optimality Pekerjaan I II III Karyawan A 0 B C 0 6 5 D 2 1 IV 45 12 10 4 5 7 6 2 3 0 1 0 2 0 0

Melakukan test optimalisasi dengan menarik sejumlah minimum garis horisontal dan/atau vertikal untuk meliput seluruh elemen bernilai nol Karena jumlah garis = jumlah baris atau kolom maka matrik penugasan optimal telah tercapai Revised matrix dan Test of optimality Pekerjaan Karyawan I II IV A 0 B 10 4 5 7 6 2 3 C 0 6 5 45 12 0 1 0 D 2 1 2 0 0

Matrix optimal Pekerjaan Karyawan A B C I II 0 0 6 5 1 III 45 12 0 10 4 5 4 IV 2 1 7 6 2 3 0 0 1 2 0 0 Tabel Matrik biaya Pekerjaan I Karyawan II IV D 3 A Rp 15 Rp 20 Rp 18 Rp 22 B 14 16 21 17 C 25 20 23 20 D 17 18 18 16

Skedul penugasan optimal Skedul penugasan A - III Rp 18 B -I 14 C - II 20 D - IV 16 Rp 68 Karyawan B ditugaskan untuk pekerjaan satu karena baris B hanya mempunyai satu nilai nol

Masalah Maksimisasi Contoh : Suatu perusahaan mempunyai 5 pekerjaan yang berbeda untuk diselesaikan oleh 5 karyawan Tabel Matrik keuntungan Pekerjaan Karyawan I II IV V A Rp 10 Rp 12 Rp 10 Rp 8 Rp 15 B 14 10 9 15 13 C 9 8 7 8 12 D 13 15 8 16 11 E 10 13 14 11 17

Langkah-langkah Metode Hungarian 1. Mengubah Matriks biaya menjadi matriks opportunity-loss: Caranya: pilih elemen terbesar dari setiap baris, kurangkan pada seluruh elemen baris tersebut Opportunity-loss matrix Pekerjaan Karyawan I II IV V B Rp 5 10 1 14 Rp 3 12 5 10 C 3 9 4 8 5 7 4 8 0 12 D 3 13 7 10 1 15 4 13 8 8 3 14 0 16 6 11 5 11 0 17 A E Rp 5 10 Rp 7 8 Rp 0 15 6 9 0 15 2 13

Total Opportunity-loss matrix Pekerjaan Karyawan I II A 2 5 10 Rp 4 3 0 12 Rp 2 B 0 1 14 4 5 10 C 2 0 3 9 D 3 13 2 6 7 10 E III IV V 5 0 10 Rp 7 5 8 Rp 0 15 Rp 2 0 15 2 4 13 4 3 1 8 6 9 3 5 2 0 7 4 2 8 0 12 1 15 0 4 13 3 8 8 5 3 14 0 0 16 5 7 11 0 2 17 6 11

Karena jumlah garis = jumlah baris atau kolom maka matrik penugasan optimal telah tercapai Total Opportunity-loss matrix Pekerjaan Karyawan A B C D E I II 5 4 10 Rp 2 4 0 14 1 0 3 2 9 3 2 13 6 10 7 III 2 3 0 12 Rp 2 4 5 10 4 3 1 8 0 15 1 3 4 13 IV V 5 0 10 Rp 7 5 8 Rp 0 15 Rp 2 6 9 3 5 2 0 7 5 8 8 1 0 3 14 0 15 4 2 8 3 0 16 6 11 2 4 13 5 0 12 5 7 11 2 17 0

SEKIAN

METODE TRANSPORTASI suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber yang menyediakan produk yang sama, ke tempat-tempat yang membutuhkan secara optimal

Metode Stepping-Stone Contoh : • Suatu perusahaan yang mempunyai 3 buah pabrik di W, H, P. Perusahaan menghadapi masalah alokasi hasil produksinya dari pabrik -pabrik tersebut ke gudang-gudang penjualan di A, B, C

Tabel Kapasitas pabrik Pabrik Kapasitas produksi tiap bulan W 90 ton H 60 ton P 50 ton Jumlah 200 ton

Tabel Kebutuhan gudang Gudang Kebutuhan tiap bulan A 50 ton B 110 ton C 40 ton Jumlah 200 ton

Tabel Biaya pengangkutan setiap ton dari pabrik W, H, P, ke gudang A, B, C Biaya tiap ton (dalam ribuan Rp) Dari Ke gudang A Ke gudang B Ke gudang C Pabrik W 20 5 8 Pabrik H 15 20 10 Pabrik P 25 10 19

Penyusunan Tabel Alokasi Aturan jumlah kebutuhan tiap-tiap gudang diletakkan pada baris terakhir 2. kapasitas tiap pabrik pada kolom terakhir 3. biaya pengangkutan diletakkan pada segi empat kecil 1. Ke Dari Pabrik W Pabrik H Pabrik P Kebutuhan Gudang A 20 X 11 15 X 21 25 X 31 50 Gudang B 5 X 12 20 X 22 10 X 32 110 Gudang C 8 X 13 10 X 23 19 X 33 40 Kapasitas Pabrik 90 60 50 200

Penggunaan Linear Programming dalam Metode Transportasi Tabel Alokasi Dari Ke Pabrik W Pabrik H Pabrik P Kebutuhan Gudang A 20 X 11 15 X 21 25 X 31 50 Gudang B 5 X 12 20 X 22 10 X 32 110 Kapasitas Gudang C Pabrik 8 X 13 10 X 23 19 X 33 40 90 60 50 200 Minimumkan Z = 20 XWA + 15 XHA + 25 XPA + 5 XWB + 20 XHB + 10 XPB + 8 XWC + 10 XHC + 19 XPC Batasan XWA + XWB + XWC = 90 XWA + XHA + XPA = 50 XHA + XHB + XHC = 60 XWB + XHB + XPB = 110 XPA + XPB + XPC = 50 XWC + XHC + XPC = 40

Prosedur Alokasi pedoman sudut barat laut (nortwest corner rule). 1. Mulai dari sudut kiri atas dari X 11 dialokasikan sejumlah maksimum produk dengan melihat kapasitas pabrik dan kebutuhan gudang 2. Kemudian setelah itu, bila Xij merupakan kotak terakhir yang dipilih dilanjutkan dengan mengalokasikan pada Xi, j+1 bila i mempunyai kapasitas yang tersisa 3. Bila tidak, alokasikan ke Xi+1, j, dan seterusnya sehingga semua kebutuhan telah terpenuhi

Tabel Alokasi tahap pertama dengan pedoman sudut barat laut Ke Dari Gudang A Pabrik W 20 50 Pabrik 15 H Pabrik 25 P Kebutuhan Gudang 50 Gudang B 40 60 10 110 Kapasitas Gudang C Pabrik 5 8 20 10 10 19 40 40 90 60 50 200

Metode MODI (Modified Distribution) Formulasi Ri + Kj = Cij Ri = nilai baris i Kj = nilai kolom j C ij = biaya pengangkutan dari sumber i ke tujuan j

Metode MODI (Modified Distribution) Langkah Penyelesaian 1. Isilah tabel pertama dari sudut kiri atas ke kanan bawah 2. Menentukan nilai baris dan kolom dengan cara: • • Baris pertama selalu diberi nilai 0 Nilai baris yang lain dan nilai semua kolom ditentukan berdasarkan rumus Ri + Kj = Cij. Nilai baris W = RW = 0 Mencari nilai kolom A: RW + KA = CWA 0 + KA = 20, nilai kolom A = KA = 20 Mencari nilai kolom dan baris yg lain: RW + KB = CWB; 0 + KB = 5; KB = 5 RH + KB = CHB; RH + 5 = 20; RH = 15 RP + KB = CPB; RP + 5 = 10; RP = 5 RP + KC = CPC; 5 + KC = 19; KC = 14

Tabel Pertama RP + KC = CPC; RW + KB = CWB + KA = 20; KA = 20 0 + KB = 5; 5 KB+=K 5 C = 19; KC = 14 Baris pertama = 0 RW + KA = CWA 0 Gudang A = 20 Ke Dari Pabrik W = 0 Pabrik H = 15 Pabrik 20 50 40 RH + KB = CHB RH + 5 = 20; RH = 15 15 RP + KB = CPB RP + 5 = 10; RP = 5 25 P =5 Kebutuhan Gudang B =5 50 Gudang C = 14 Kapasitas Pabrik 5 8 20 10 10 19 60 10 110 FORMULASI Ri + Kj = Cij 40 40 90 60 50 200

3. Menghitung Indeks perbaikan adalah nilai dari segi empat air (segi empat yang kosong). Rumus : Cij - Ri - Kj = indeks perbaikan Tabel Indeks Perbaikan : Segi empat air Cij - Ri - Kj indeks perbaikan HA 15 – 15 - 20 -20 PA 25 – 20 0 WC 8 – 0 – 14 -6 HC 10 – 15 – 14 -19

4. Memilih titik tolak perubahan Segi empat yang merupakan titik tolak perubahan adalah segi empat yang indeksnya bertanda negatif dan angkanya terbesar indeks Segi empat air Cij - Ri - Kj yang memenuhi syarat adalah segi perbaikan empat HA HAdan dipilih 15 sebagai – 15 - 20 segi -20 empat yang akan diisi PA 25 – 20 0 WC 8 – 0 – 14 -6 HC 10 – 15 – 14 -19

5. Memperbaiki alokasi 1. 2. 3. 4. 5. Berikan tanda positif pada � terpilih (HA) Pilihlah 1 � terdekat yang mempunyai isi dan sebaris (HB), Pilihlah 1 � terdekat yang mempunyai isi dan sekolom (WA); berilah tanda negatif keduanya Pilihlah 1 � sebaris atau sekolom dengan 2 � yang bertanda negatif tadi (WB), dan berilah � ini tanda positif Pindahkanlah alokasi dari � yang bertanda negatif ke yang bertanda positif sebanyak isi terkecil dari � yang bertanda positif (50) Jadi � HA kemudian berisi 50, � HB berisi 60 – 50 = 10, �WB berisi 40 + 50 = 90, �WA menjadi tidak berisi

Tabel Perbaikan Pertama Gudang A = 20 Ke Dari Pabrik W = 0 50 20 (-) Pabrik H = 15 15 50 (+) Pabrik 25 P =5 Kebutuhan Gudang B =5 50 40 90 (+) 60 10 (-) 10 110 Gudang C = 14 Kapasitas Pabrik 5 8 20 10 10 19 40 40 90 60 50 200

A) Tabel Pertama Hasil Perubahan Gudang A = 20 Ke Dari Pabrik Gudang B =5 20 Pabrik 15 50 Pabrik 10 25 10 P =5 Kebutuhan Gudang Kapasitas Pabrik 5 8 20 10 10 19 90 W = 0 H = 15 Gudang C = 14 50 40 110 40 Biaya transportasi = 90(5) + 50(15) + 10(20) + 10(10) + 40(19) = 2260 90 60 50 200

6. Ulangi langkah-langkah tersebut mulai langkah nomor 2 sampai diperoleh biaya terendah Tabel Kedua Hasil Perubahan Gudang A = 20 Ke Dari Pabrik Gudang B =5 20 90 W = 0 Pabrik H = 15 15 50 25 P =5 (+) 50 110 Pabrik 8 20 10 10 10 20 Kapasitas 5 10 (-) Pabrik Kebutuhan Gudang 10 Gudang C = 14 40 (+) 19 30 90 60 50 (-) 40 200

B) Tabel Kedua Hasil Perubahan Gudang A = 20 Ke Dari Pabrik Gudang B =5 20 H = 15 P =5 Kebutuhan Gudang 50 Pabrik 8 15 20 10 25 10 90 50 Pabrik Kapasitas 5 W = 0 Pabrik Gudang C = 14 20 110 10 19 30 40 Biaya transportasi = 90(5) + 50(15) + 10(10) + 20(10) + 30(19) = 2070 90 60 50 200

C) Tabel Ketiga Hasil Perubahan Gudang A = 20 Ke Dari Pabrik Gudang B =5 20 W = 0 Pabrik H = 15 5 15 20 25 10 P =5 20 50 (+) 50 110 Kapasitas Pabrik 8 30 90 (+) (-) 50 Pabrik Kebutuhan Gudang 90 60 Gudang C = 14 10 10 19 30 (-) 40 Biaya transportasi = 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1890 60 50 200

D) Tabel Keempat Hasil Perubahan Gudang A = 20 Ke Dari Pabrik Gudang B =5 20 5 60 W = 0 Pabrik H = 15 Gudang C = 14 15 20 25 10 50 Pabrik P =5 Kebutuhan Gudang 50 110 50 Kapasitas Pabrik 8 30 10 10 19 40 90 60 50 200 Tabel Indeks perbaikan Segi empat air Cij - Ri - Kj indeks perbaikan WA 20 – 5 15 HB 20 – 2 – 5 13 PA 25 – 13 7 PC 19 – 5 – 8 6 Tabel D. tidak bisa dioptimalkan lagi, karena indeks perbaikan tidak ada yang negatif

TERIMAKASIH

• Pelajari : TUGAS – Metode Vogel atau Vogel’s Approximation Method (VAM)

Metode Vogel’s Approximation Langkah-langkah nya: 1. Susunlah kebutuhan, kapasitas masing-masing sumber, dan biaya pengangkutan ke dalam matrik 2. Carilah perbedaan dari dua biaya terkecil (dalam nilai absolut), yaitu biaya terkecil dan terkecil kedua untuk tiap baris dan kolom pada matrik (Cij) 3. Pilihlah 1 nilai perbedaan-perbedaan yang terbesar di antara semua nilai perbedaan pada kolom dan baris 4. Isilah pada salah satu segi empat yang termasuk dalam kolom atau baris terpilih, yaitu pada segi empat yang biayanya terendah di antara segi empat lain pada kolom/baris itu. Isiannya sebanyak mungkin yang bisa dilakukan

Tabel 5. 11. Feasible solution mula-mula dari metode VAM Pabrik Gudang A B C W 20 5 8 90 H 15 20 10 60 P 25 50 5 10 110 5 19 40 2 Kebutuhan Perbedaan Kolom Kapasitas Perbedaan baris 50 Pilihan XPB = 50 Hilangkan baris P P mempunyai perbedaan baris/kolom terbesar dan B mempunyai biaya angkut terkecil 3 5 9

Tabel 5. 11. Feasible solution mula-mula dari metode VAM Pabrik Gudang A B C W 20 5 8 90 H 15 20 10 60 50 5 60 15 40 2 Kebutuhan Perbedaan Kolom Kapasitas Perbedaan baris 3 5 Pilihan XWB = 60 Hilangkan kolom B Kebutuhan Gd B menjadi 60 krn telah diisi B mempunyai perbedaan baris/kolom kapasitas P=50 (dihilangkan) terbesar danpabrik W mempunyai biaya angkut terkecil

Tabel 5. 11. Feasible solution mula-mula dari metode VAM Pabrik Gudang A B C W 20 8 30 H 15 10 60 50 5 40 2 Kebutuhan Perbedaan Kolom Kapasitas Pabrik W menjadi 30 krn telah W mempunyai perbedaan baris/kolom diangkut ke pabrik B=60 (dihilangkan) terbesar dan C mempunyai biaya angkut terkecil Kapasitas Perbedaan baris 12 5 Pilihan XWC = 30 Hilangkan baris W

Tabel 5. 11. Feasible solution mula-mula dari metode VAM Gudang A B C 15 10 50 10 Kapasitas Perbedaan baris 60 5 W Pabrik H Kebutuhan Perbedaan Kolom Pilihan XHA = 50 Pilihan XHC = 10 H mempunyai Kebutuhan gudang C menjadi 10 krn perbedaan baris/kolom terbesar dan C mempunyai biaya angkut telah diisi pabrik W=30 (dihilangkan) terkecil

Matrik hasil alokasi dengan metode VAM Ke Dari Gudang A Pabrik 20 W Pabrik H 50 Pabrik P Kebutuhan Gudang 50 Gudang B Gudang C 5 60 15 20 25 10 50 110 Kapasitas Pabrik 8 30 10 10 19 40 90 60 50 200 Setelah terisi semua, maka biaya transportasinya yang harus dibayar adalah 60(Rp 5, -) + 30(Rp 8, -) + 50(Rp 15, -) + 10(Rp 10, -) + 50(Rp 10, -) = Rp 1. 890, -

TERIMAKASIH

end 5/4/2010 Revisi 01 Bahasa Indonesia 57