industrielogistik montanuniversitt leoben Operations Research fr Logistik Einfhrung

industrielogistik montanuniversität leoben Operations Research für Logistik Einführung in Matlab® (170. 202) Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND Sommersemester 2010 © Lehrstuhl Industrielogistik 1

industrielogistik montanuniversität leoben Rahmenbedingungen • Übungen: – 80 % Anwesenheit (laut Anwesenheitsliste) – Übungsaufgaben bis zur darauffolgenden Einheit selbstständig lösen • Prüfung: – schriftlich - 22. und 23. Juni 2010 – und mündlich (28. Juni - 30. Juni 2010) – sowohl schriftlicher als auch mündlicher Teil müssen für den erfolgreichen Abschluss der VU positiv sein © Lehrstuhl Industrielogistik 2

industrielogistik montanuniversität leoben Inhalte • Einführung in Matlab® • Markovketten • Warteschlangentheorie © Lehrstuhl Industrielogistik 3

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® I • MATLAB® = „MATrix LABoratorium“ • in Praxis Standardwerkzeug für technisch - wissenschaftliche Berechnungen • bietet für numerische Aufgaben Lösungsmethoden und Methoden zur Visualisierung • moderne Programmiersprache, in welcher eigene Anwendungen entwickelbar © Lehrstuhl Industrielogistik 4

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® II Erste Schritte in Matlab®: • Matlab starten • voreingestellte Oberfläche durch Desktop Layout Default wieder herstellbar • durch Anklicken Fenster aktivierbar • folgende Fenster stehen zur Verfügung: – Command Window – Command History – Workspace – Current Directory © Lehrstuhl Industrielogistik 5

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® III © Lehrstuhl Industrielogistik 6

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® IV • Fenster durch Mausklick aktivieren • >> …. Eingabe kann getätigt werden • Beispiel: >>1+ 2 Eingabe mit return bestätigen • Variable ans (answer) wird der Wert 3 zugewiesen • Inhalte der anderen Fenster verändert © Lehrstuhl Industrielogistik 7

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® IV – Ergänzungen • Workspace: – verwendete Variable ans und einige ihrer Eigenschaften angezeigt – alle im Verlauf der Sitzung verwendeten Variablen hier aufgelistet • Command History: – alle Eingaben des Command Window gespeichert – mit Copy und Paste rückholbar oder ↑ • Current Directory: unverändert © Lehrstuhl Industrielogistik 8

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® V Hilfe in Matlab® - 3 Möglichkeiten: 1. Help - Option in der ersten Menüzeile 2. direkte Hilfe 3. Fragezeichen © Lehrstuhl Industrielogistik 9

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® VI • Strichpunkt: – unterdrückt die Ausgabe • elementare Funktionen: Funktion Mathematik MATLA B Arcustangens Exponentialfunktion Logarithmus naturalis Logarithmus (Basis 10) Logarithmus (Basis 2) arctan(x) ex ln(x) log 10(x) log 2(x) atan(x) exp(x) log 10(x) log 2(x) Beachte: Winkelfunktionen sowohl in Grad (z. B. sind) als auch in Bogenmaß (z. B. sin). Nameder. Ausgabe = Matlab. Funktionsname(Eingabewert) © Lehrstuhl Industrielogistik 10

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® VII • diary: – um Matlab® - Sitzung zu protokollieren – diary Dateiname. m – mit diary off abschließen • save und load: – um Variablen zu speichern und zurückzuholen © Lehrstuhl Industrielogistik 11

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® VIII • Matrizen eingeben und ändern: – wichtigste Datentyp in Matlab® (MATrix LABoratory) – in eckigen Klammern zeilenweise Eingabe – durch Leerzeichen oder Komma getrennt – Zeilenende durch Strichpunkt angegeben © Lehrstuhl Industrielogistik 12

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® IX • Variablen zuweisen: • Matrixelemente überschreiben: • weitere Operationen und spezielle Matrizen: © Lehrstuhl Industrielogistik 13

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® X • einfache Befehle für Matrizen: – transponieren einer Matrix, d. h. Zeilen werden zu Spalten und Spalten zu Zeilen mit ‘ – Typ einer Matrix: Befehl size – Zeilenanzahl einer Matrix: Befehl ZAnz – weitere Befehle: © Lehrstuhl Industrielogistik 14

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XI • Rechnen mit Matrizen: – können addiert, multipliziert, potenziert und mit einem Skalar multipliziert werden – bei Addition: Typen der Matrizen müssen übereinstimmen add. M 1 M 2 = M 1 + M 2 – bei Multiplikation: Spaltenzahl der 1. Matrix = Zeilenanzahl der 2. Matrix mult. M 3 M 4 = M 3 * M 4 – beim Potenzieren (mit einer natürlichen Zahl): Matrix muss quadratisch sein M 1 Quadrat = M 1 ^ 2 M 1 mal 2 = 2 * M 1 © Lehrstuhl Industrielogistik 15

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XII A und C sind nicht vom gleichen Typ. Spaltenanzahl von A ist ungleich der Zeilenanzahl von D. © Lehrstuhl Industrielogistik Anpassung des Typs bei Addition einer Zahl zu Matrix. 16

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XIII • Punktoperationen: – komponentenweise addieren M = M 1. * M 2 – komponentenweise quadrieren – komponentenweise dividieren M = M. ^2 M = 1. / M 1 © Lehrstuhl Industrielogistik 17

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XIV • Vektoren: – sind spezielle Matrizen – Zeilenvektor – Spalten- oder Zeilenvektor kann nicht quadriert werden – Skalarprodukt = Zeilenvektor * Spaltenvektor – Länge eines Vektors © Lehrstuhl Industrielogistik 18

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XV • Funktionen darstellen: Bezeichner = Startwert : Schrittweite : Endwert; © Lehrstuhl Industrielogistik 19

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XVI • Darstellung komplexer Zahlen: – imaginäre Einheit vordefiniert – i als auch j als Bezeichnung verwendbar – Realteil Rt: real (z 1) und Imaginärteil It: imag (z 1) – Betrag Bet: abs (z 1) und Phase Phi: angle(z 1) bzw. atan 2 (It, Rt) – komplexe Zahl in algebraischer Form: Bet * exp (j * Phi) – konjugiert komplexe Zahl: conj (z 1) bzw. z 1‘ © Lehrstuhl Industrielogistik 20

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XVII • Rechnen mit komplexen Zahlen: –+/-/*/: – Ausgabe immer in algebraischer Form • zur Verwendung von i und j: – löschen mit clear i j – Anfangszustand mit ans herstellen © Lehrstuhl Industrielogistik 21

industrielogistik montanuniversität leoben Einführung in Matlab® XVIII • Zahlenformate: – File Preferences Command Window Text display Numeric format oder Numeric display – Standardformat: format short – format long – Leerzeichen unterdrücken mit format compact und aufheben mit format loose © Lehrstuhl Industrielogistik 22

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene I • Wirkungsweise elementarer Funktionen: – skalare Funktionen – Vektorfunktionen – elementare Matrixfunktionen © Lehrstuhl Industrielogistik 23

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene II • skalare Funktionen: – A …beliebige Matrix vom Typ (m, n) mit Elemente aik – f …skalare Funktion log (0) nicht definiert – Matrix f(aik) ist vom Typ (m, n) – alle Funktionen der Analysis: • Potenz- und Wurzelfunktionen Logarithmus einer negativen Zahl kann gebildet werden. • trigonometrische Funktionen und Umkehrfunktionen • Exponentialfunktionen und Logarithmen • Funktionen zum Runden (floor, ceil, fix, round) • Funktionen real, imag, abs und angle • alle Punktoperationen © Lehrstuhl Industrielogistik 24

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene III • Vektorfunktionen: – sum, prod, min, max, mean, median, std, sort, all, any Summe wird spaltenweise berechnet B ist daher ein Zeilenvektor Anwendung von sum auf einen Vektor Ergebnis ist stets eine Zahl, gleichgültig ob es sich um einen Zeilen- oder Spaltenvektor handelt Summe zeilenweise bilden transponierte Matrix berechnen Ergebnis ist stets ein Zeilenvektor © Lehrstuhl Industrielogistik 25

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene IV • Elementare Matrixfunktionen: © Lehrstuhl Industrielogistik 26

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene V • Polynome in Matlab®: – durch Zeilenvektor mit n+1 Elementen dargestellt z. B. p 3(x) = 2 x 3 + x + 4 • Grundrechnungsarten: Beide Polynome müssen bei der Addition vom selben Typ sein. Multiplikation funktioniert nur mit dem Begriff conv. © Lehrstuhl Industrielogistik Polynomdivision mit Rest hat zwei Rückgabewerte q und r q …. ganzrationaler Anteil r …. echt gebrochener rationaler Anteil 27

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene VI • Partialbruchzerlegung: • Polynomwertberechnung: • Nullstellenberechnung bzw. Polynombestimmung: Koeffizienten bzw. Residuen a 1 und a 2 Nullstellen x 1 und x 2 Nullstellenberechnung mit Befehl roots. Polynomwertberechnung z. B. p 3 (2) mit polyval. • Ableitungen: Polynombestimmung z. B. mit Nullstellen x 1 = 1, x 2 = 1 und x 3 = 1. Ableitung mit dem Befehl polyder. © Lehrstuhl Industrielogistik 28

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene VII • Interpolation und Regression: – Polynominterpolation – Splines – Regression © Lehrstuhl Industrielogistik 29

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene VIII • Polynominterpolation: – Polynom minimalen Grades mittels Befehl polyfit(x, y, n) x, y …. Messpaare aus Messreihe n …. Grad – Erzeugung einer Messreihe © Lehrstuhl Industrielogistik 30

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene IX • Splines: mittels Befehl spline – definiert durch: • x, y…Werte der Messpaare • t…Stelle, an denen Spline später skizziert werden soll • s…Rückgabegröße © Lehrstuhl Industrielogistik 31

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene X • Regression: – mittels Funktion polyfit (x, y, Zahl) erzeugbar – lineare Regression: mit polyfit (x, y, 1) © Lehrstuhl Industrielogistik 32

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene XI – kubische Regression: mit polyfit (x, y, 3) © Lehrstuhl Industrielogistik 33

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene XII – exponentielle Regression: • durch Logarithmieren wird Problem linearisiert © Lehrstuhl Industrielogistik 34

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene XIII • Lineare Gleichungssysteme: – Matrix A vom Typ(m, n) – Inhomogenität b ist eine Matrix vom Typ(m, 1) – unbekannter Vektor x mit n Elementen – lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten – lineares Gleichungssystem lösbar, wenn Rang der Matrix A = Rang der erweiterten Matrix [A, b] = Anzahl der Unbekannten, d. h. Spaltenanzahl von A © Lehrstuhl Industrielogistik 35

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene XIV • Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme: für eindeutig lösbare lineare Gleichungssysteme für NICHT eindeutig lösbare lineare Gleichungssysteme, da Spaltenanzahl nicht übereinstimmt © Lehrstuhl Industrielogistik 36

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene XV • Eigenwerte und Eigenvektoren: Berechnung der Diagonalmatrix Eigenwerte einer Matrix A berechenbar mit Befehl eig(A). Berechnung der Dreiecksmatrix © Lehrstuhl Industrielogistik 37

industrielogistik montanuniversität leoben Matlab® für Fortgeschrittene XVI • Rundungsfehler: – Matlab ® ist ein Softwarepaket, dass numerisch arbeitet – Rundungsfehler treten daher auf – Details verwiesener Literatur entnehmen © Lehrstuhl Industrielogistik 38

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® I • Graphen erstellen: mittels Script Files Save and Run © Lehrstuhl Industrielogistik 39

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® II • spezielle Graphen: – parametrisierte Kurven (Lissajou - Figuren) – Kurven in Polarkoordinaten (Archimedische Spirale) – Ortskurve – Zeigerdiagramme – halblogarithmische Darstellungen – Bodediagramme – Balkendiagramme – 3 - dimensionale Diagramme: • Raumkurve, Sattelfläche und Höhenlinien © Lehrstuhl Industrielogistik 40

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® III • parametrisierte Kurven (Lissajou - Figuren): © Lehrstuhl Industrielogistik 41

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® IV • Kurven in Polarkoordinaten (Archimedische Spirale): © Lehrstuhl Industrielogistik 42

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® V • Ortskurven: © Lehrstuhl Industrielogistik 43

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® VI • Zeigerdiagramme: © Lehrstuhl Industrielogistik 44

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® VII • halblogarithmische Darstellungen: – bei Funktionen mit großem Wertebereich – mittels Befehl semilog(x, y) © Lehrstuhl Industrielogistik 45

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® VIII • Bodediagramme: © Lehrstuhl Industrielogistik 46

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® IX • Balkendiagramme: © Lehrstuhl Industrielogistik 47

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® X • 3 - dimensionale Diagramme: Raumkurve © Lehrstuhl Industrielogistik 48

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XI • 3 - dimensionale Diagramme: Sattelfläche © Lehrstuhl Industrielogistik 49

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XII • 3 - dimensionale Diagramme: Höhenlinien © Lehrstuhl Industrielogistik 50

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XIII • graphisch differenzieren: © Lehrstuhl Industrielogistik 51

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XIV • graphisch integrieren: © Lehrstuhl Industrielogistik 52

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XV • Lösen linearer Gleichungssysteme: © Lehrstuhl Industrielogistik 53

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XVI • Erstellen bzw. Arbeiten mit Function Files: – parameterabhängige Dateien – Regelung von Input- und Outputgrößen notwendig function[Aus 1, Aus 2, …. , Ausm]=Funktionsname(Ein 1, Ein 2, …. , Einm) © Lehrstuhl Industrielogistik 54

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XVII • Differentialgleichungen: – erster Ordnung – zweiter Ordnung – Systeme von Differentialgleichungen • Kontrollstrukturen: – konditionale Verzweigungen – Schleifen © Lehrstuhl Industrielogistik 55

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XVIII • Numerische Lösung von Differentialgleichungen: – erster Ordnung: Runge - Kutta - Verfahren © Lehrstuhl Industrielogistik 56

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XIX • Numerische Lösung von Differentialgleichungen: – zweiter Ordnung: © Lehrstuhl Industrielogistik 57

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XX • Numerische Lösung von Differentialgleichungen: – Systeme von Differentialgleichungen: © Lehrstuhl Industrielogistik 58

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XXI • Kontrollstrukturen: – konditionale Verzweigungen: • • • if Bedingung, Anweisungsteil end Zeichen < > <= >= == ~= Klartext kleiner als größer als kleiner oder gleich größer oder gleich ungleich Anweisungsteil: = Anweisung; … Anweisung if Bedingung Anweisungsteil 1 else Anweisungsteil 2 end = … Zuweisung Operator == … Vergleich & | ~ in Matlab ® hat richtige Bedingung Wert 1, eine Klartext und oder nicht falsche Bedingung den Wert 0 • bei Vergleich mit Zeichenketten ‘‘ verwenden und auf Groß- bzw. Kleinschreibung achten © Lehrstuhl Industrielogistik 59

industrielogistik montanuniversität leoben Programmieren in Matlab® XXII • Kontrollstrukturen: – Schleifen: • Laufanweisung: Laufvariable = Anfangswert: [Schrittweite]: Endwert • for Laufanweisung, Anweisungsteil end • bei Bestimmung der Anzahl der Schleifendurchgänge innerhalb des Programms: while Bedingung, Anweisungsteil end © Lehrstuhl Industrielogistik 60

industrielogistik montanuniversität leoben Literaturhinweise zu Matlab® • Grupp, Frieder und Florian(2004): Matlab ® 7 für Ingenieure – Grundlagen und Programmierbeispiele. 3. , überarbeitete Auflage, München, Wien: Oldenbourg Verlag. ISBN: 3 - 486 - 27584 - 4. • Schweizer, Wolfgang (2009): Matlab ® kompakt. 4. , aktualisierte und ergänzte Auflage, München: Oldenbourg Verlag. ISBN: 978 - 3 - 486 - 59193 - 4. © Lehrstuhl Industrielogistik 61

industrielogistik montanuniversität leoben Übungen zu Matlab® I (siehe dazu Übungsunterlagen) © Lehrstuhl Industrielogistik 62

industrielogistik montanuniversität leoben Operations Research für Logistik Markovketten (170. 202) Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND Sommersemester 2010 © Lehrstuhl Industrielogistik 63

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne (nicht absorbierend) Angaben: • 2 Parteien: MSM und GLH • Wähler von GSM bleiben bei t+1 zu 80 % treu, wenn sie zum Zeitpunkt t diese Partei wählen • Wähler von MSM bleiben nur zu 75 % treu • Ausgangszustand laut letzter Wahl: 55 % MSM, 45 % GLH Aufgabenstellung: Speichern Sie die Übergangsmatrix A 0, sowie die Ausgangsverteilung p 0 als Variablen ab! © Lehrstuhl Industrielogistik 64

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne I © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne II • Wieviele Stimmen haben die jeweiligen Parteien bei der nächsten Wahl? – (A 0*A 0)= A 1 – A 1*p 0 • Bzw. wieviele Stimmen haben diese bei der übernächsten Wahl? © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne III • Probieren Sie mit verschiedenen Werten für x, ab welchem x sich die Übergangsmatrizen nicht mehr ändern. – A^x © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne IV • Lösung: Nach 20 Wahlgängen verändern sich die Stimmanteile der beiden Parteien nicht mehr. • Berechnung von A^20 mit anschließender Multiplikation mit den Ausgangsverteilungen • Welche Stimmanteile haben die beiden Parteien MSM und GSM nach 20 Wahlgängen? © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne V • Berechnen der eingependelten Zustände ohne “Suchen” des Gleichgewichtszustandes: – Man sucht jene π, für die gilt: • π1= 0, 75* π1 + 0, 2* π2 • π2= 0, 25* π1 + 0, 8* π2 – Dann ersetzt man eine Gleichung mit: • 1 = π1 + π2 – Und erhält: • π1= 0, 75* π1 + 0, 2* π2 • 1 = π1 + π2 © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne VI • Dieses lineare Gleichungssystem kann man mittels Matlab® auf mehrere Arten lösen, z. B. : – mittels der Funktion Ab – mittels der Funktion rref() Aufgabenstellung: Versuchen Sie mittels dieser zwei Funktionen das zuvor angeführte Gleichungssystem zu lösen! Tipp: - Verwenden Sie die Matlabhilfe, um die zwei Funktionen anwenden zu können. - Achten Sie dabei auf die richtige Eingabe des Gleichungssystems! © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1)Wahlurne VII • Lösung mittels Ab: © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Wahlurne VIII • Lösung mittels rref(): © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL Angaben: • Es existieren 5 Zustände in der Karrierelaufbahn IL: – untere Ebene (u. E) – transient • 0, 8 zu u. E, 0, 15 zu m. E, 0, 05 zu Avh. E (in %) – mittlere Ebene (m. E) – transient • 0, 7 zu m. E, 0, 2 zu h. E, 0, 1 zu Avh. E (in %) – höhere Ebene (h. E) – transient • 0, 95 zu h. E, 0, 05 zu Avd. S (in %) – Abschied vor Erreichen der höheren Ebene (Avh. E) – Abschied von der höheren Ebene - (Spitze) (Avd. S) • beide Abschiede sind absorbierend © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL I 0, 2 m. E h. E 5 u. E 0, 7 0, 0 5 0, 9 0, 8 0, 15 0, 1 Avh. E 0, 0 5 Avh. E © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL II Übergangsmatrix u. E m. E h. E Avd. S u. E 0, 8 0, 15 0 0, 05 0 m. E 0 0, 7 0, 2 0, 1 0 h. E 0 0 0, 95 0 0, 05 Avh. E 0 0 0 1 0 Avd. S 0 0 1 © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL III – Partitionieren der Übergangsmatrix u. E m. E h. E Avd. S u. E 0, 8 0, 15 0 0, 05 0 m. E 0 Q 0, 7 0, 2 0, 1 h. E 0 0 0, 95 0 0, 05 Avh. E 0 0 0 1 0 Avd. S 0 0 1 © Lehrstuhl Industrielogistik R 0

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL IV Aufgabenstellung: • Wie lange befindet man sich in einem der transienten Zustände, wenn man in irgendeinem transienten Zusand startet bzw. wie oft könnte man erwarten, einen transienten Zustand zu erreichen, bevor man zu einem absorbierenden Zustand kommt? – Zu berechnen mittels (I – Q)^(-1). • Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, dass man in einen absorbierenden Zustand kommt? – Zu berechnen mittels (I – Q)^(-1) * R. © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL V © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL VI • D. h. wenn jemand in der u. E eintritt, bleibt er im Schnitt 5 Jahre in diesem Zustand. (In unserem Fall 5 Jahre, da 1 Schritt in einen anderen Zustand = 1 Jahr). • Personen, die in der m. E arbeiten, werden im Schnitt 13, 33 Jahre in der h. E verbringen. © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Laufbahnmöglichkeiten IL VII • Wenn man in der u. E einsteigt, hat man eine 50 % Chance, in die h. E aufzusteigen. • Ist man bereits auf der m. E, so erhöht sich diese Chance auf 2/3. • Man scheidet mit einer Chance von 1/3 von der m. E aus dem System aus, ohne die h. E erreicht zu haben. © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Hausübung 1) I Angaben : • Eine Umfrage ergab, dass zum Zeitpunkt t = 0 40 Prozent der Hörer Sender A hörten und 60 % Sender B. • Aus vorherigen Umfragen ist bekannt, dass die Hörer von Sender A mit einer Wahrscheinlichkeit von 15 % zu Sender B wechseln, während von Sender B 5 % zu Sender A wechseln (pro Woche). Aufgabenstellung: • Stellen Sie diesen Vorgang als Markovkette dar und berechnen Sie folgende Punkte mittels Matlab ® : © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Hausübung 1) II a) Wie hoch ist der Anteil der jeweiligen Hörer von Sender A und B zu den Zeitpunkten t = 1, t = 3 und t = 5? b) Wenn es eine Gesamthörerschaft von 500. 000 Menschen gibt, wieviele Menschen hören in der Woche t = 9 den Sender B? c) Existiert für dieses System ein Gleichgewichtszustand? Wenn ja, wie lauten die Anteile von A und B bzw. nach wievielen Wochen wird dieser Zustand erreicht? © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Hausübung 2) I Angabe: • Eine Fertigungsmaschine produziert je nach Drehzahl eine unterschiedliche Menge von Produkten (Beobachtungsintervall = 1 Woche). Erfahrungswerte zeigen, dass wenn die Anlage mit 1000 U/min läuft, sie zu einer Wahrscheinlichkeit von 0, 1 in der nächsten Woche ausfällt. Zu einer Wahrscheinlichkeit von 0, 2 kann die Leistung von 1000 auf 1200 U/min gesteigert werden. Ausgehend von diesem Zustand, fällt sie jedoch zu 20 % aus. Fährt die Maschine mit 1200 U/min, fällt sie in der nächsten Woche mit einer Wahrscheinlichkeit von 0, 5 wieder auf 1000 U/min zurück. © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Hausübung 2) II Aufgabenstellung: • Stellen Sie diesen Vorgang als Markovkette dar und berechnen Sie folgende Punkte mittels Matlab ® : a) Wieviele Tage dauert es im Schnitt, bis die Anlage ausfällt, wenn sie zum Zeitpunkt t = 0 (Woche 0) im Zustand 1000 U/min produziert? b) Nehmen Sie an, die Anlage kann innerhalb einer Woche repariert werden und prodziert danach wieder mit Drehzahl 1000 U/min. Wie groß ist die Verfügbarkeit der Anlage? Hinweis: Je nach Aufgabenstellung ist der Zustand “Ausfall” einmal als absorbierd, einmal als nicht absorbierend anzunehmen. © Lehrstuhl Industrielogistik

industrielogistik montanuniversität leoben Operations Research für Logistik Warteschlangentheorie (170. 202) Ao. Univ. - Prof. Norbert SEIFTER Dipl. - Ing. Stefanie VOLLAND Sommersemester 2010 © Lehrstuhl Industrielogistik 85

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 1) Tankstelle I Angaben: PKW - Fahrer fahren zur Tankstelle um zu tanken, wenn ihr Tank zu ¼ voll ist. Die Tankstelle hat eine Zapfsäule. Es kommen durchschnittlich 6, 3 Personen pro Stunde zur Tankstelle, wobei diese ihren Tank wieder zur Gänze auffüllen. Um einen PKW abzufertigen, vergehen durchschnittlich 4 Minuten. Die ZAZ (= Zwischenankunftszeiten) und die Bedienzeit sind exponentialverteilt anzunehmen. © Lehrstuhl Industrielogistik 86

industrielogistik Beispiel 1) Tankstelle II montanuniversität leoben Aufgabenstellung: a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee. b) Wieviele Kunden befinden sich durchschnittlich im System und wie lange verbringt ein Kunde durchschnittlich darin? c) Die ÖMV prognostiziert Ölknappheit, was zu einer Veränderung des Systems führt. Die PKW - Fahrer fahren nun schon an die Zapfsäule, wenn sie bereits erst die Hälfte ihres vollen Tanks verbraucht haben. Da sie nun weniger tanken, sinkt die Bedienzeit auf 2 2/3 Minuten. Wie verändern sich dadurch die Größen L und W? © Lehrstuhl Industrielogistik 87

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Kartenschalter I Angaben: Der Eingangsbereich einer Touristenattraktion verfügt über 2 Schalter. Im Durchschnitt betreten 4/3 Personen pro Minute den Bereich. Die durchschnittliche Bedienzeit beträgt 72 Sekunden. ZAZ und Bedienzeit sind exponential verteilt. © Lehrstuhl Industrielogistik 88

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 2) Kartenschalter II Aufgabenstellung: a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee. b) Wie hoch ist der Bruchteil der Zeit, in der einzelner Schalter frei ist? c) Wie hoch ist die durchschnittliche Zeit, die ein Kunde im System verbringt? d) Wie hoch ist die durchschnittliche Anzahl der Touristen im System? © Lehrstuhl Industrielogistik 89

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 3) Callcenter I Angaben: Ein Angestellter nimmt in einem Callcenter die Anrufe entgegen. Es rufen im Schnitt 35 Kunden pro Stunde an, wobei die Abfertigungsdauer bei durchschnittlich 320 Sekunden liegt (ZAZ und Bedienzeit sind exponentialverteilt). Ist die Warteschlangenkapazität von 11 Anrufern erschöpft, legen die neu hinzukommenden Kunden auf. © Lehrstuhl Industrielogistik 90

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 3) Callcenter II Aufgabenstellung: a) Beschreiben Sie dieses System nach Kendall - Lee. b) Wie lange muss ein Anrufer im Schnitt in der Schleife warten und wie lange wartet er bis zur vollständigen Abfertigung seines Anrufs? © Lehrstuhl Industrielogistik 91

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 4) Fertigung I Angaben: In einer Fertigung befinden sich 3 Fertigungsstationen. Im Schnitt kommen von außerhalb des Systems 11 Teile bei der Station A, 16 Teile bei der Station B und 10 Teile bei der Station C an. Die Bedienraten lauten A = 15 Stk/h, B = 28 Stk/h und C = 36 Stk/h (ZAZ und Bedienraten sind exponentialverteilt). Ist ein Teil bei der Station A fertig, geht es zu 50 % aus dem System, der Rest geht weiter zu Station B. Von Station B aus gehen ¼ der Teile aus dem System, während ¾ zu Station C wandern. Von Station C aus gehen ¾ der Teile aus dem System, der Rest geht zu jeweils 50 % an die Stationen A und B. © Lehrstuhl Industrielogistik 92

industrielogistik montanuniversität leoben Beispiel 4) Fertigung II Aufgabenstellung: a) Bestimmen Sie eine Kendall - Lee - Notation für dieses System. b) Welchen Bruchteil der Zeit ist die Station B frei? c) Wieviele Teile sind im Schnitt bei jeder Bedienstation Antworten)? (3 d) Wie hoch ist die durchschnittliche Zeit, die ein Teil im System verbringt? © Lehrstuhl Industrielogistik 93