Numerick metody INTEGRL Program tmatu 1 2 3

Numerické metody INTEGRÁL

Program tématu 1. 2. 3. 4. 5. 6. Úvod Obdélníkové metody Lichoběžníková metoda Simpsonovo pravidlo Metoda tří osmin Rombergova metoda

Úvodem 1

Úvodem 2

Úvodem 3 Geometricky se jedná výpočet plochy lichoběžníku, jehož horní stranu tvoří daná funkce f. V další rozebereme případy, kdy f je nahrazena konstantou, přímkou, parabolou, resp. kubickou parabolou. f 1 f 1 f 0 f 0 f 2 x 0 x 1 Lichoběžníková metoda x 0 x 1 x 2 Simpsonovo pravidlo f 3 x 0 x 1 x 2 Pravidlo tří osmin x 3

Levá obdélníková metoda 1

Levá obdélníková metoda 2 šířka h výška f 0 šířka h výška fn-1

Pravá obdélníková metoda 1

Pravá obdélníková metoda 2 šířka h výška f 1 šířka h výška fn

Lichoběžníková metoda 1

Lichoběžníková metoda 2

Simpsonovo pravidlo 1

Simpsonovo pravidlo 2 h Dosadíme-li souřadnice h , 0 , h do rovnice paraboly, musí se funkční hodnoty rovnat tabulkovým f 1 , f 0 , f 1. Vyřešením této soustavy tří rovnic o třech neznámých a , b , c získáme rovnici paraboly.

Simpsonovo pravidlo 2

Tříosminové pravidlo

Příklady 1 0 0 0, 5 1, 75 1 3 1, 5 3, 75 2 4 2, 5 3, 75 3 3 součet: násobitel: integrál = 1 1 1 0 h = I = 0 1, 75 3 3, 75 4 3, 75 0 16, 25 0, 5 8, 125

Příklady 2 0 0 0, 5 1, 75 1 3 1, 5 3, 75 2 4 2, 5 3, 75 3 3 součet: násobitel: integrál = 0 1 1 1 h = I = 0 1, 75 3 3, 75 4 3, 75 3 19, 25 0, 5 9, 625

Příklady 3 0 0 0, 5 1, 75 1 3 1, 5 3, 75 2 4 2, 5 3, 75 3 3 součet: násobitel: integrál = 1 2 2 2 1 h = I = 0 3, 5 6 7, 5 8 7, 5 3 35, 5 0, 25 8, 875

Příklady 4 0 0 0, 5 1, 75 1 3 1, 5 3, 75 2 4 2, 5 3, 75 3 3 součet: násobitel: integrál = 1 4 2 4 1 h = I = 0 7 6 15 8 15 3 54, 0 0, 16667 9, 000

Příklady 5 0 0 0, 5 1, 75 1 3 1, 5 3, 75 2 4 2, 5 3, 75 3 3 součet: násobitel: integrál = 1 3 3 2 3 3 1 h = I = 0 5, 25 9 7, 5 12 11, 25 3 48, 0 0, 1875 9, 000

Příklady 6 V tabulce vidíme porovnání řešení všemi metodami. Tento integrál však lze řešit i analyticky (přesně): I = 9. 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 0 1, 75 3 3, 75 4 3, 75 3 Součty násobitel: Integrál = obd-levá obd-pravá lichob Simpson 3/8 0 0 0 0 1, 75 3, 5 7 5, 25 3 3 6 6 9 3, 75 7, 5 15 7, 5 4 4 8 8 12 3, 75 7, 5 15 11, 25 3 3 16, 25 19, 25 35, 5 54 48 0, 5 0, 25 0, 166667 0, 1875 8, 125000 9, 625000 8, 875000 9, 000000

Přesnost řešení

Rombergova metoda 1

Rombergova metoda 2 s 0 s 1

Rombergova metoda 3 s 2

Rombergova metoda 4 řídící blok v ý p o č e t n í t a b u l k a a 0 b 0, 8 eps 0, 1 n 8 h 0, 1 xi / h 0, 8 0 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 1, 596505 integrální 0, 798253 součty 0, 4 0 0, 580943 1, 596505 0, 2 0 0, 242655 0, 580943 1, 028845 1, 596505 0, 1 0 0, 110333 0, 242655 0, 398911 0, 580944 0, 790439 1, 028846 1, 297295 1, 596505 1, 379197 2, 650698 5, 247675

Rombergova metoda 5 Do následující tabulky přeneseme z té předchozí všechny integrální součty. Jsou ve sloupci S. S T 0 1 2 1, 596505 0 0, 638602 2, 177449 1 0, 551679 0, 522704 3, 448950 2 0, 530140 0, 522960 0, 522977 6, 045928 3 0, 524768 0, 522977 0, 522978 3 chyby 0, 115898 0, 000273 0, 522978 0, 000001 Vývoj řešení pak sledujeme v diagonále (červená čísla). Za současného stavu (pouze 4 kroky) je hodnota integrálu I = 0, 52297 , protože se můžeme zaručit za prvních pět míst za desetinnou čárkou (viz sloupec „chyby“). Splnili jsme tak požadavek zadání.