Meccanica 12 11 aprile 2011 Urti Conservazione della

Meccanica 12 11 aprile 2011 Urti Conservazione della quantita` di moto e teorema dell’impulso Energia cinetica Urti elastici e anelastici Urto con corpi vincolati

Urto • È un’interazione tra due (o più) corpi che avviene in un intervallo di tempo “piccolo” • Abbastanza piccolo affinché l’azione di eventuali forze esterne al sistema dei due corpi sia trascurabile rispetto all’azione delle forze interne • Durante l’urto si sviluppano forze interne di durata Dt molto breve ma che possono assumere intensità molto elevate • Queste sono dette forze impulsive 2

Tipologia • • Urti in una, due, tre dimensioni Urti fra punti materiali e corpi estesi Urti fra corpi estesi 3

Definizioni • Distinguiamo due stati: quello iniziale prima dell’urto e quello finale dopo l’urto • Ci interessa correlare i valori che le grandezze assumono negli stati iniziale e finale • Non ci occuperemo invece di quel che accade durante l’urto 4

Definizioni • Diciamo m 1 e m 2 le masse dei due corpi • Diciamo v 1 i , v 2 i le velocità dei due corpi nello stato iniziale e v 1 f , v 2 f nello stato finale Stato iniziale m 1 v 1 i v 2 i m 2 Urto v 1 f tempo Stato finale v 2 f 5

Conservazione della QM • In assenza di forze esterne, la QM del sistema dei due corpi si deve conservare • Riarrangiando, troviamo la variazione di QM di ciascun corpo 6

Teorema dell’impulso • Cioè la variazione di QM del primo corpo è uguale e contraria a quella del secondo • Ciò si può anche esprimere col th. dell’impulso tenuto conto che le forze di interazione sono uguali e contrarie 7

Sistema del CM • Fintanto che si possono trascurare le forze esterne agenti sul sistema dei due corpi, la velocità del CM è costante • Mediante una trasformazione di Galileo possiamo metterci in un sistema inerziale in cui la velocità del CM è nulla • Tale sistema è, ovviamente, il sistema del CM • La relazione tra le velocità espresse nel sistema iniziale e nel sistema del CM è • In questo sistema la QM di moto è sempre nulla 8

Conservazione della QM • Si può assumere che la QM si conservi anche in presenza di forze esterne, a patto che queste non siano impulsive e quindi siano abbastanza deboli per non cambiare sostanzialmente la QM del sistema nell’intervallo di tempo in cui avviene l’urto • Nel limite ideale di durata infinitesima dell’urto qualunque forza non impulsiva dà contributo nullo alla QM 9

Conservazione della QM • Questo si può vedere usando il teorema del valor medio applicato alle forze esterne • Se Fex (e quindi <Fex>) rimane limitata, per Dt infinitesimo l’impulso diventa infinitesimo 10

Riassunto • Nell’urto avviene uno scambio di QM tra i due corpi che costituiscono il sistema, dovuto alle forze interne che agiscono fra loro • La QM del sistema si conserva, cioè la QM dello stato iniziale è uguale alla QM dello stato finale 11

Energia meccanica, cinetica • Generalmente l’energia meccanica non si conserva in un urto • Tutto dipende dal fatto se le forze interne sono conservative oppure no • Lo stesso vale per l’energia cinetica, che in generale non si conserva in un urto • Useremo il th. di König dell’energia cinetica 12

Urti anelastici • Un urto è più o meno anelastico a misura di quanta energia cinetica K viene persa • Un urto è elastico se K si conserva • È totalmente anelastico se la perdita di K è massima • Per sapere quando questo accade ci si pone nel sistema del CM e si richiede che l’energia cinetica dopo l’urto sia nulla (i due corpi rimangono attaccati formando un unico corpo) urto totalmente anelastico 13

Urti anelastici • Nei casi intermedi possiamo definire il coefficiente di restituzione • Il caso elastico corrisponde a e=1 • Il caso totalmente anelastico a e=0 14

Urto totalmente anelastico fra due corpi • Stato iniziale • Dalla definizione di CM possiamo anche scrivere • Stato finale: i due corpi si attaccano insieme • Quindi • Poiché agiscono solo forze interne, la QM si conserva, ne segue 15

Urto totalmente anelastico fra due corpi • Confrontiamo l’energia cinetica nello stato iniziale: • e nello stato finale • La perdita di energia cinetica è pari a 16

Urto elastico in 1 -D • Consideriamo il semplice caso di urto in 1 -D, cioè tale per cui le velocità, iniziali e finali, sono tutte lungo una sola direzione (urto centrale) • Applichiamo la conservazione della QM • e la conservazione dell’energia cinetica 17

Urto elastico in 1 -D • Le due eqq. costituiscono un sistema in due incognite, che è possibile risolvere con i metodi noti; otteniamo 18

Urto elastico in 2 -D • Se l’urto non e` centrale i principi di conservazione non bastano a risolvere il problema • Abbiamo tre eqq. ma quattro incognite: p 1 i i p 2 f f f p 2 i q pi pf p 1 f 19

Urto con corpi vincolati • Se c’è un vincolo che tiene fermo un punto del corpo, durante l’urto si genera una forza vincolare impulsiva (esterna) e quindi la QM non si conserva • Il vincolo agirà con una risultante di forze F e di momenti , i cui effetti, nell’intervallo di tempo dell’urto, sono l’impulso e l’impulso angolare 20

Urto con corpi vincolati • L’impulso è uguale alla variazione di quantità di moto • L’impulso angolare è uguale alla variazione di momento angolare 21

Momento angolare • Se agiscono solo forze interne al sistema dei due corpi, il MA si conserva • Il MA si conserva anche rispetto ad un polo fisso in un sistema inerziale o rispetto al CM se il momento delle forze esterne rispetto a quel polo è nullo 22