Matematikos mokymo tikslai matematinis ratingumas vs matematinis samprotavimas

Matematikos mokymo tikslai: matematinis raštingumas vs matematinis samprotavimas Rimas Norvaiša (Vilnius universitetas) Lietuvos matematikų draugijos LXI konferencija 2020 gruodžio 4 d

Pristatymo planas o Įvadas - matematikos mokymo tikslai; o Matematinis raštingumas; o Dešimtainės trupmenos ir jų aritmetika; o Matematinės sąvokos; o Matematinis samprotavimas; o Išvados.

Matematikos mokymo tikslai • Pretekstu šiam pranešimui yra šiais metais vykdomas matematinio ugdymo programos atnaujinimas ir vykusio matematikos brandos egzaminų rezultatai. • Abiem atvejais problema yra mokymo turinio pasirinkimas: • Kokių matematikos mokymo tikslų siekiame? • Parodysime, kad konkretūs turinio pasirinkimai priklauso nuo atsakymo į šį klausimą.

Matematikos mokymo tikslai • Metodologine darbo aplinka yra matematikos mokymo filosofija. • Joje konstatuojama ir aptariama matematikos mokymo tikslų priklausomybė nuo ideologijos ir interesų grupių, t. y. • kaip mokymo tikslai priklauso nuo pasaulėžiūros žmonių, kurie rengia ugdymo programą. • P. Ernest. The philosophy of mathematics education. 1991.

Matematikos mokymo tikslai • Ankstesniame savo darbe bandėme paaiškinti ir pagrįsti, kad Lietuvos švietime dominuoja progresyviosios pedagogikos (angl. progressive pedagogy) ideologija [LMD 60]. • Jos esmė yra mokymo ir mokymosi supriešinimas. • Ši ideologija paaiškina matematinio raštingumo populiarumą tarp mūsų edukologų. • Pranešimo trukmė neleidžia ką nors daugiau pasakyti metodologijos klausimu.

Matematinis raštingumas • Paskutinėje mūsų atnaujintos matematinio ugdymo programos redakcijoje turime tokią matematinio ugdymo tikslo sampratą: • , , Tikslas – sudaryti prielaidas ugdytis matematinį raštingumą, kuris šiame dokumente suprantamas kaip įgytas gebėjimas matematiškai samprotauti, taikyti ir interpretuoti matematiką sprendžiant problemas įvairiuose realiuose, aktualiuose ir mokiniams suprantamuose kontekstuose“. (2020 -11 -19 redakcija) • Klausimas: Kiek atnaujinta programa padeda įgyvendinti šį tikslą?

Matematinis raštingumas • Dabartinėje matematikos didaktikos literatūroje rašoma: • , , Visose šalyse pripažįstama, kad pagrindinis matematikos mokymo bendrojo lavinimo mokykloje tikslas – sudaryti sąlygas mokiniams įgyti matematinio raštingumo žinių, nes dabartinėje visuomenėje tai asmeniui yra taip pat svarbu, kaip teisė į gyvenimą, laisvę, laimę“. (V. Sičiūnienė) • Šios nuostatos prasmė priklauso nuo matematinio raštingumo sampratos.

Ką žinome apie matematinį raštingumą? • Matematinis raštingumas (angl. mathematical literacy) nėra tas pats, kas matematika. • Pavyzdžiui, Pietų Afrikos mokyklose 2006 metais matematinis raštingumas įvestas kaip atskiras dalykas ir alternatyva matematikai, kurio mokomasi 10 -12 klasėse. • Matematinio raštingumo dalyko turinį sudaro matematikos taikymai realiame gyvenime siekiant išugdyti besimokančiojo pasitikėjimą savimi, skaičių jausmą, erdvinį mąstymą, gebėjimą interpretuoti ir kritiškai vertinti kasdienines situacijas, bei spręsti problemas. • Šis dalykas rekomenduojamas mokiniams turintiems silpną matematikos mokymosi patirtį, kompetenciją ir pasitikėjimą.

Ką žinome apie matematinį raštingumą? • Edukologinėje literatūroje rašoma: • , , Matematika yra apibendrinanti, abstrakti, nepriklausoma nuo konteksto ir nuo visuomenės, apolitinė, tiksli, nuspėjama. • Matematinis raštingumas - atvirkščiai: konkretus, realaus konteksto, priklausantis nuo visuomenės, politinis, aproksimuojantis, nenuspėjamas". (J. Dudaitė) • Pavyzdžiui, tarptautinis mokinių pažangumo tyrimas PISA pastaruoju metu pakeitė matematinio raštingumo sampratą ir sekantis tyrimas yra grindžiamas nauju požiūriu. Naujoje sampratoje didesnis vaidmuo skiriamas matematiniam samprotavimui.

Ką žinome apie matematinį raštingumą? • , , Matematinis raštingumas negali būti apibrėžtas matematikos žinių terminais. • Faktiškai matematinis raštingumas apibūdina matematikos žinių paskirtį. • Ši sąvoka yra apie individo pasirengimą naudoti matematikos žinias praktinėje veikloje už matematikos ribų. • Skirtingose šalyse požiūriai į matematinį raštingumą priklauso nuo švietimo tikslų“. (E. Jablonka) • Šio straipsnio tikslams pakanka matematinį raštingumą matyti kaip individo kompetenciją taikyti nebūtinai gilias matematikos žinias.

Ką žinome apie matematinį raštingumą? • Paprastai matematinis raštingumas vertinamas tose šalyse, kuriose dominuoja progresyviosios pedagogikos ideologija. • Mūsų šalis yra viena iš jų. • Šios ideologijos dominavimas paaiškina kodėl švietimo kokybės rodikliu vyriausybės programoje laikomas PISA tyrimo reitingas, o ne, pavyzdžiui, TIMSS reitingas. • Nes pastarasis vertina matematikos dalyko žinių kokybę, o progresyviosios pedagogikos požiūriu gilios dalyko žinios yra atgyvenusi švietimo istorija.

Ką žinome apie matematinį raštingumą? • Lietuvoje matematinis raštingumas ne visada buvo laikomas matematinio ugdymo tikslu. • Dominuojant sovietinei ideologijai buvo rūpinamasi matematinio mąstymo ugdymu, ne tik matematikos taikymais. • Tačiau nesirūpinta matematinio samprotavimo prieinamumu daugumai mokinių. • Toliau šiame pranešime aptariame tokį matematinio samprotavimo variantą, kuris išsaugo esminius matematinės veiklos bruožus ir yra prieinamas daugumai mokinių.

Ką žinome apie matematinį raštingumą? • Visą tai nereiškia, kad matematinio raštingumo tikslą siūlome keisti matematiniu samprotavimu. • Mokyklinės matematikos supratimą sudaro daugelis komponenčių. • Kita vertus, matematinio ugdymo tikslų pasirinkimas priklauso nuo ideologijos ir interesų grupės. • Manome, kad bendrajame ugdyme turėtume kalbėti apie bendrąjį matematinį išsilavinimą.

Bendrasis matematinis išsilavinimas • Toliau bendruoju matematiniu išsilavinimu vadiname tai, kas apima ir matematinį raštingumą, ir matematinio samprotavimo gebėjimą. • Greta pastarųjų bendrajam matematiniam išsilavinimui yra būtina pažintis su matematikos idėjų istorija. • Bendrasis matematinis išsilavinimas turėtų apimti daugumą ideologinių ir interesų grupių tikslų. • Tuo tarpu akademinis matematinis išsilavinimas įgyjamas universitete.

Dešimtainės trupmenos ir jų aritmetika • Šia tema iliustruosime skirtumą tarp orientacijos į matematinį raštingumą ir orientacijos į matematinį samprotavimą. • Vadovėliuose veiksmų su dešimtainėmis trupmenomis taisyklės formuluojamos be paaiškinimo. • Keletas pavyzdžių iš vieno 5 klasės vadovėlio.

Dešimtainės trupmenos ir jų aritmetika • Dešimtainės trupmenos stulpeliu sudedamos taip: • 1. Vienvardžių skyrių skaitmenys rašomi vienas po kito, o kablelis – po kableliu. • 2. Sudedami kaip natūralieji skaičiai. • 3. Kablelis rašomas po kableliu. • Dešimtainė trupmena iš dešimtainės trupmenos dauginama taip: • 1. Dauginama kaip natūralieji skaičiai, nekreipiant dėmesio į kablelius. • 2. Sandaugoje kableliu iš dešinės atskiriama tiek dešimtainių ženklų, kiek jų yra abiejose trupmenose.

Dešimtainės trupmenos ir jų aritmetika • Šių taisyklių aiškinimo ar pagrindimo vadovėlyje nėra. • Yra daug šių taisyklių taikymo pavyzdžių. • Kur problema? • Tarkime turime trupmenas 0. 4 ir 0. 7. • Pagal šias taisykles jų suma yra 1. 1, o sandauga yra 0. 28. • Pirmuoju atveju turime vieną skaitmenį po kablelio, • o antruoju – du skaitmenis. • Paaiškinimo, kodėl toks skirtumas, vadovėlyje nėra.

Dešimtainės trupmenos ir jų aritmetika •

Dešimtainės trupmenos ir jų aritmetika • Pastaruosius veiksmus galima paaiškinti paprastųjų trupmenų sumos ir daugybos operacijų apibrėžtimis naudojant skaičių tiesę. • Tačiau tokia aiškinimo strategija nepritaikoma laikantis požiūrio, kad paprastųjų trupmenų aritmetiką geriau pateikti po dešimtainių, pavyzdžiui, 6 klasėje.

Dešimtainės trupmenos ir jų aritmetika • Vienas įdomus argumentas, kodėl paprastųjų trupmenų aritmetika geriau po dešimtainių trupmenų aritmetikos yra nuoroda į realųjį pasaulį. • Teigiama, kad dešimtainių trupmenų pavyzdžių su realaus pasaulio kontekstu yra daugiau, negu paprastųjų trupmenų. • Šio argumento esmė yra ta, kad iliustravimas realiuoju pasauliu laikomas geriau padedančiu suprasti mokyklinę matematiką, negu matematinis pagrindimas. • Kitas argumentas - mokymo tradicija. Sunku keisti tai, kas įprasta.

Dešimtainės trupmenos ir jų aritmetika • Šis pavyzdys rodo matematinio raštingumo ir matematinio mąstymo svarbos skirtumus. • Šiuo pavyzdžiu noriu iliustruoti ideologinių požiūrių skirtumus vertinant mokyklinės matematikos turinį. • Panašaus pobūdžio pavyzdžių ir argumentų yra daugiau. •

Matematinės sąvokos • Matematikos mokymosi sunkumai ir išskirtinumas glūdi matematiniame mąstyme. • Jis iš esmės skiriasi nuo natūraliai ir be didelių pastangų besivystančio vaiko mąstymo apie realaus pasaulio daiktus ir reiškinius. • Realaus pasaulio daiktų ir reiškinių esmines savybes apibūdinančias sąvokas dažnai įmanoma suvokti ir mąstyti intuityviai, pasitelkiant pojūčius. • Tuo tarpu mokyklinės matematikos sąvokos yra abstrakčios ir vienareikšmės. • Jos tik labai apytikriai paaiškinamos realaus pasaulio daiktais ar reiškiniais. • Pavyzdžiui, dešimtainių trupmenų aiškinimas jų naudojimu realiame pasaulyje nėra pakankamas esminių savybių supratimui.

Matematinės sąvokos • Matematinės sąvokos konstruojamos per kitas matematines sąvokas arba apibrėžiamos įvardinant esminėmis laikomas savybes. • Visos kitos sąvokos savybės gaunamos loginiu samprotavimu iš apibrėžties ir remiantis kitomis sąvokomis bei jų savybėmis. • Matematinių sąvokų ir realaus pasaulio daiktų ir reiškinių sąvokų skirtumai sukelia matematikos mokymo sunkumus. • Neretai supažindinimas su matematine sąvoka baigiamas ne apibrėžtimi, bet aiškinamuoju aprašymu. • Tipiškas tokių sunkumų pavyzdys yra trupmenos sąvoka ir trupmenų aritmetika (Gairės, 2013).

Matematinis samprotavimas • Dėl matematikos abstrakčios prigimties jos mokymasis turėtų būti grindžiamas visišku dalyko aiškumu. • Tai pasiekiama matematiniu samprotavimu. • Subjektyvus prasmės pajautimas nereiškia matematinį pagrįstumą. • Prasmės pajautimas yra matematinės idėjos suvokimas, reiškiantis asmeniniu įsitikinimu grįstą supratimą. • Bass ir Ball (2003) samprotavimu vadina dalykui būdingų praktikų ir normų rinkinį • Jis turi koletyviškumo aspektą skirtingą nuo subjektyvaus pajautimo. • Toks samprotavimas sukuria matematinį pagrįstumą. • Individualus idėjos prasmės pajautimas nėra tas pat, kas samprotavimu įgytas supratimas suvokiamas visiems su kuriais idėja yra kritiškai aptariama.

Matematinis samprotavimas • Įvairioms žmogaus veiklos sritims būdingas disciplinuotas samprotavimas skatina pažinti ir įgalina suprasti. • Toks samprotavimas iš esmės yra kritinis mąstymas ta prasme, kurią jam suteikia neurodidaktika: Jūs mąstote kritiškai, jei • (1) jūsų mąstymas originalus, t. y. nekartojate iš atminties tai, kas buvo nuspręsta anksčiau panašiose situacijose; • (2) jūs mąstote savarankiškai, t. y. nevykdote kieno nors kito pasiūlytus nurodymus; • (3) jūsų mąstymas veiksmingas, t. y. jūs laikotės tam tikrų pripažintų susitarimų, kurie paprastai mąstymą daro efektyviu.

Matematinis samprotavimas • Galima skirti du matematinio samprotavimo būdus. • Vienas jų tarnauja dėsningumų paieškai ir hipotezių kėlimui, vadinamas tyrinėjančiu samprotavimu. • Matematikai panašų dalyką vadina euristiniu samprotavimu. • Kitas samprotavimo būdas tarnauja hipotezių įrodymui; jis vadinamas pagrindžiančiu. • Abu samprotavimo būdai papildo vienas kitą.

Matematinis samprotavimas Sakome, kad mokyklinė matematika grindžiama matematiniu samprotavimu, jei o kiekviena sąvoka yra apibrėžiama; o kiekvienas teiginys yra nedviprasmiškas ir formuluojamas taip, kad būtų aišku, kas yra žinoma ir kas nėra žinoma; o kiekvienas teiginys yra pagrindžiamas logiškai taisyklingu samprotavimu; o kiekviena nauja sąvoka formuojama turimų žinių pagrindu ir yra naujų žinių struktūros dalis; o matematikos žinios turi tikslą ir sprendžia kurią nors problemą.

Matematinis samprotavimas Trupmenų sąvokos apibrėžimo problemos mūsų mokyklinėje matematikoje ir jų sprendimo galimybės svarstytos 2013 metų gairėse. • Kita sunki problema susijusi su teiginių logikos ignoravimu mūsų šiuolaikiniuose mokyklinės matematikos vadovėliuose ir matematinio ugdymo programoje. • Pagrindinė dedukcinio samprotavimo teiginio loginė forma yra materialioji • implikacija , , jei. . . tai. . . ". • Joje atsiribojama nuo visų prasminių ryšių ir atsižvelgiama tik į teiginių teisingumą ir klaidingumą. • Kai kurie materialiosios implikacijos aspektai nėra intuityvūs ir skiriasi nuo samprotavimo kasdieninėje aplinkoje.

Matematinis samprotavimas • Dedukciniam samprotavimui suprasti reikalinga nuosekli ir ilgalaikė praktika. • Tuo tarpu atnaujinamoje pradinio matematinio ugdymo programoje numatomas programavime naudojamos pasirinkimo komandos , , jei. . . tai. . . " nagrinėjimas, siejant ją su logika. • Galime tik spėlioti apie galimas tokio mūsų pasirinkimo pasekmes.

Išvados • Mūsų mokyklinės matematikos turinyje nėra svarbių matematinio samprotavimo elementų. • Pavyzdžiui, trupmenų aritmetika nėra pagrindžiama, nėra teiginių logikos pagrindų. • Ligšiolinėje ir atnaujinamoje matematinio ugdymo programoje orientacija į aukštesnės eilės mąstymo gebėjimų ugdymą yra tik deklaracija.

Išvados • Jei norėtume šią situaciją keisti, tai, • pirma, turėtume pripažinti mūsų matematinio ugdymo turinį esant orientuotu tik į matematinį raštingumą (kaip čia jis suprantamas). • antra, matematinis samprotavimas turėtų būti ugdomas realiai bet ne deklaratyviai. • Toliau išvardijame mokyklinės matematikos turiniui atnaujinti reikalingas konkrečias priemones.

Išvados o Atnaujinti pagrindines sąvokas ir jų hierarchinę struktūrą. o Adaptuoti H. -H. Wu parengtą mokyklinės matematikos turinį mokytojams. o Rengti mokinių samprotavimą skatinančias užduotis ir atitinkamą mokymo metodiką. o Atnaujinti matematikos mokytojus rengiančią studijų programą.

Išvados • Šių priemonių įgyvendinimas paruoštų matematinio ugdymo programos atnaujinimą. • Matematikos mokymo tikslu naujoje programoje galėtų būti bendrasis matematinis išsilavinimas, apimantis matematinį samprotavimą, matematinį raštingumą (kaip matematikos taikymą) ir t. t. .