Matematinis samprotavimas mokykloje Rimas Norvaia 2018 balandio 23

Matematinis samprotavimas mokykloje Rimas Norvaiša 2018 balandžio 23 d. Ugdymo plėtotės centre

Paskaitos planas • Apie kovo 1 -2 dieną vykusį EBPO organizuotą seminarą 2030 Curriculum Analysis Planning. • Apie ŠMM numatomą ugdymo turinio kaitą. • Apie neigiamuosius skaičius. • Apie trupmenas.

Norint suprasti pasaulį būtina gebėti samprotauti matematiškai • XXI amžiuje gebėjimas pagrįsti matematiškai remiantis žinomais faktais yra kritiškai svarbus, nes jis pritaikomas ne matematiniame kontekste. • Gebėjimas samprotauti matematiškai yra būtinas pagrindžiant savo nuomonę arba analizuojant kitų žmonių nuomones. • Šis gebėjimas ugdomas nepalyginamai sunkiau negu dabartinis procedūrų mokymas mintinai ir jų taikymas spręsti standartinius uždavinius.

Matematinis samprotavimas • kiekviena sąvoka yra apibrėžiama jau turimų žinių pagrindu ir yra naujų žinių struktūros dalimi; • kiekvienas teiginys yra nedviprasmiškas ir formuluojamas taip, kad būtų aišku, kas yra žinoma ir kas nėra žinoma; • kiekvienas teiginys yra pagrindžiamas logiškai taisyklingu samprotavimu; • matematikos žinios yra orientuotos į tikslą ir sprendžia kurią nors problemą; • siekia supratimo, aiškumo, tikslumo ir tuo skiriasi nuo mokymosi, kuriame svarbu tik gebėjimas naudotis standartiniais algoritmais, nesuprantant jų prasmės.

Matematinis samprotavimas remiasi fundamentaliomis sąvokomis-idėjomis • Skaičių sistemos ir jų aritmetika. • Matematika yra abstrakčių objektų ir jų simbolinių išraiškų sistema. • Matematika turi hierarchinę ir loginę struktūrą. • Matematiniai dydžiai susiję funkciniais ryšiais. • Matematinis modeliavimas yra akiniai per kuriuos matome realųjį pasaulį. • Dispersija yra pagrindinė statistikos sąvoka.

2030 Curriculum Analysis Planning • EBPO planuoja 2030 metams parengti pasaulio šalių matematikos turinio programų (curriculum) analizę, kurioje atsispindėtų grynosios matematikos gylis. • Bus tiriamas 1 -8 klasių mokyklinės matematikos turinys. • Tas pats bus daroma su 7 -8 klasių matematikos vadovėliais.

EBPO studija • “Equations and Inequalities: Making Mathematics Accessible to All” publikuota 2016 birželio 20 d. • Šioje studijoje pateikti rezultatai tiriant grynosios ir taikomosios matematikos įtakas mokinių pasiekimams. • Parodysiu tik vieną grafiką. Dabar jis rodomas daug kur.

Matematinis raštingumas ir taikomoji matematika

Taikomosios matematikos indeksas • Mokinių pažintis su taikomąja matematika matuojama jų deklaruota (PISA 2012) patirtimi atitinkamomis matematikos užduotimis, kurios sprendžiamos pamokų metu mokykloje. • Ši patirtis įvertinama indeksu vadinama normuota skale (jos nuliu yra OECD vidurkis, o standartinis nuokrypis lygus vienam). • Analogiškas grafikas grynosios matematikos indeksui yra tiesė.

Lietuvos atvejis • Pažinties su grynąja matematika indekso padidėjimas vienu vienetu, Lietuvos vidutinio moksleivio įvertinimą PISA pasiekimų skalėje padidina 36 taškais. • Pažinties su taikomąja matematika indekso padidėjimas vienu vienetu, Lietuvos vidutinio moksleivio įvertinimą PISA pasiekimų skalėje padidina tik 8 taškais.

Socialinė-ekonominė atskirtis ir (matematinis) švietimas

Kas nauja mums? • Matematinis samprotavimas tampa matematinio raštingumo dalimi. • 2021 metų PISA tyrime 25% užduočių priklausys nuo grynosios matematikos žinių gilumo. • Mokinių pasiekimai šiame tyrime yra tarp strategijos , , Lietuva 2030” pažangos rodiklių. • Norėdama įgyvendinti pažangos strategiją nauja valdžia bus priversta realiai keisti mokyklinės matematikos turinį (ar tikrai? ).

Kodėl keičiamas PISA formatas? • Susikaupė pakankamai svarus pagrindimas to, kad grynoji matematika, net mokyklos lygmenyje, lemia pasiekimus sprendžiant užduotis realaus pasaulio kontekste. • Bendresniu švietimo požiūriu: tai, kas mokoma (curriculum) apsprendžia rezultatus (SIC!). • Pasaulyje PISA tyrimas griežtai kritikuojamas. • PISA panašės į TIMSS, bet abu išliks skirtingi. • PISA naudojama kaip politinė priemonė.

PISA 2021 užduočių pavyzdžiai • Prašymas paaiškinti nurodytų dviejų dviženklių skaičių sandaugą išreikštą trimis skirtingais nestandartiniais būdais. • Kitas pavyzdys. • Remiantis daugiau kaip 100 metų miesto istorija žinoma, jog kas dieną yra vienas šansas iš penkių, kad netoli miesto esančiame miške gyvenantys rudieji lokiai pasirodo žmonėms prie miesto šiukšlyno. Jūsų mobilusis telefonas gavo miesto žinutę, kad lokiai pasirodė vakar. Todėl nusprendėte nebandyti pamatyti lokių sekančias keturias dienas. • Ar toks sprendimas išmintingas; kodėl taip arba kodėl ne? • Kaip planuotumėte kelionės laiką jei norėtumėte pamatyti lokius?

ŠMM planai • Skelbiama, kad , , 2019 metais bus atnaujintas ugdymo turinys ir metodai“. • Tiksliau: , , atskiri mokomieji dalykai bus labiau integruoti, orientuoti į ateities kompetencijas, pritaikyti šiuolaikinei technologinei aplinkai“. • Į kokias ateities kompetencijas mes orientuosimės mokydami matematikos?

Problema • Ar mes pajėgūs gilinti mokyklinės matematikos turinį? • Turinio gilinimas įmanomas pradedant pirmąja klase, ar net ikimokykliniu ugdymu. • Matematinio samprotavimo supratimas reikalingas daugumai vaikų. • Naivu tikėtis, kad vienodai suprantame, kas yra matematinis samprotavimas ir kaip jį ugdyti.

Neigiamųjų skaičių sandauga • • Natūraliųjų skaičių sandaugos perstatymas. 5 x 3 = 3 + 3 + 3 = 15. 3 x 5 = 5 + 5 = 15. Šiame pavyzdyje 5 x 3 = 3 x 5. Pagrindimas: o o o o o o

Neigiamųjų skaičių sandauga • • Sveikųjų skaičių sandaugos perstatymas 5 x (-3) = -3 + -3 = -15. (-3) x 5 = ? = 5 x (-3) = -15. Pagrįsti perstatymą dabar neįmanoma. Matematikoje daroma prielaida (aksioma). Bet kodėl (-3) x (-5) = 15? Galima euristiškai pagrįsti. . . . (Euristinis vs matematinis samprotavimas)

Mokyklinio samprotavimo pvz.

Trupmenų sampratos modeliai •

Trupmenų aritmetika •

Papildoma literatūra • R. Norvaiša. Neigiamieji skaičiai aritmetikoje. • R. Norvaiša. Trupmenos samprata aritmetikoje. • https: //klevas. mif. vu. lt/~rimasn/Mokytojams

Užduotis mokytojams •

3. PISA užduoties pavyzdys • Tamsią ir audringą naktį Gothamo mieste įvyko automobilių susidūrimas, kuriame žuvo žmogus, o kaltininkas pabėgo. Suimtas įtariamas apgadinto raudono sunkvežimio vairuotojas. Įvykio liudininkas teigė, kad susidūrimo kaltininkas iš įvykio vietos pabėgo mėlynu sunkvežimiu. Jums kaip teisėjui žinomi šie faktai: • Liudininkas sako tiesą; • Buvo patikrinti liudininko gebėjimai atpažinti panašiomis sąlygomis raudoną sunkvežimį ir mėlyną sunkvežimį. Mėlyną sunkvežimį teisingai atpažino 8 kartus iš 10 kartų, o raudoną sunkvežimį teisingai atpažino 6 kartus iš 10 kartų. • Kokia tikimybė, kad liudininkas matė mėlyną sunkvežimį kai iš tikro buvo raudonas? • Kokia tikimybė, kad liudininkas matė mėlyną sunkvežimį kai iš tikro buvo mėlynas?

3. PISA užduoties pavyzdys (tęsinys) • Jums žinoma tokia informacija: – Gothamo mieste yra 1000 raudonų sunkvežimių ir 50 mėlynų sunkvežimių. – Įvykio metu kelyje buvo 50% raudonų sunkvežimių ir 80% mėlynų sunkvežimių. – Raudoni sunkvežimiai paprastai yra geriau matomi už mėlynus sunkvežimius. – Visi sunkvežimiai Gothamo mieste yra arba raudoni arba mėlyni. – Įtariamasis pažinojo auką. • Panaudokite tą papildomą informaciją, kuri atrodo jums susijusi. Ką nuspręstumėte apie įtariamąjį kaip teisėjas. Paaiškinkite ir pagrįskite savo išvadas.

4. PISA užduoties pavyzdys • • Dizaineris naudoja kompiuterį sukurti plytelių raštą. Vienetinis kvadratas paveikiamas transformacija f sudaryta iš trijų nuosekliai veikiančių elementarių transformacijų: – Plėtinys su koeficientu 0. 5, po to sukinys 900 kampu prieš laikrodžio rodyklę ir po to postūmis 0. 5 vienetų į dešinę ir 0. 5 vienetų į viršų. – Plėtinys su koeficientu 0. 5, po to atspindys y ašies atžvilgiu ir po to postūmis 0. 5 vienetų į dešinę. – X Gauta forma toliau paveikiama transformacija f. Tai kartojama 20 kartų. Žemiau parodytos figūros yra pradinis kvadratas ir pirmųjų trijų transformacijos f iteracijų rezultatai. • Apibrėžti transformaciją X.

4. PISA užduoties pavyzdys (tęsinys) • Kuri iš toliau nurodytų formų gaunama atlikus 20 iteracijų? Paaiškinti pasirinkimą.