LESSON 5 AKSIOMA PROBABILITAS NILAI BOBOT ADALAH POSITIF

LESSON 5

AKSIOMA PROBABILITAS • NILAI BOBOT ADALAH POSITIF • PROBABILITAS SEBAGAI RASIO ANTARA KEJADIAN SUB-SET TERHADAP KEJADIAN DALAM SET S, MAKA SELURUH KEJADIAN BILA DIJUMLAHKAN SAMA DENGAN SATU. • PROBABILITAS YANG AKAN TERJADI ADALAH (P) • PROBABILITAS YANG TIDAK AKAN TERJADI ADALAH ( P – 1 )

3 AKSIOMA TEORI DASAR PROBABILITAS 1. 2. 3. PROBABILITAS ADALAH SUATU NILAI/ANGKA ANTARA 0 DAN 1 YANG DIBERIKAN KEPADA MASING-MASING EVENT. JUMLAH HASIL PENAMBAHAN KESELURUHAN PROBABILITAS DARI EVENT-EVENT YANG SALING PILAH DALAM SET S ADALAH 1 PROBABILITAS SUATU EVENT YANG TERDIRI ATAS SEKELOMPOK EVENT YANG SALING PILAH DALAM SUATU SET ADALAH MERUPAKAN HASIL PENJUMLAHAN DARI MASING-MASING PROBABILITAS EVENT TERSEBUT

PROBABILITAS ADALAH APROKSIMASI • PERKIRAAN PROBABILITAS SUATU EVENT DIMASA YANG AKAN DATANG. • DARI SUDUT ESTIMASI EMPIRIS MAKA PROBABILITAS DAPAT DIPANDANG SEBAGAI FREKUENSI TERJADINYA EVENT DALAM JANGKA PANJANG YANG DINYATAKAN DALAM PERSENTASE. • Ex. 4 BOLA PUTIH DAN 6 BOLA MERAH • Ex. P = W(E) E W(S) S = 4 10 0, 4 ATAU 40% • PROBABILITAS DATA HISTORIS = W/n DIMANA W : FREKUENSI DARI SUATU EVENY TERJADI DAN n : JUMLAH KASUS TERJADINYA EVENT TERSEBUT. • BILA n ADALAH TAK TERHINGGA ATAU SANGAT BESAR, MAKA PROBABILITAS EMPIRISNYA AKAN TEPAT ---- THE LAW OF LARGE NUMBER

PERCOBAAN (TRIAL) YANG INDEPENDEN DALAM KASUS INI SAMPEL SPACE DIARTIKAN SEBAGAI SERANGKAIAN PERCOBAAN (SUCCESIVE TRIALS) DAN HASILNYA ADALAH MERUPAKAN AKIBAT YANG DAPAT TERJADI DALAM MASING PERCOBAAN. EX. PROBABILITAS 2 UANG LOGAM MASING-MASING GAMBAR PROBABILITASNYA ¼. BILA MENENTUKAN SATU GAMBAR, MAKA PROBABILITASNYA ADALAH 3/4

RANDOM (ACAK) • EVENT (KEJADIAN) ATAU HASIL (OUTCOME) DIKATAKAN TERJADI SECARA ACAK ATAO RANDOM APABILA MASING-MASING EVENT MEMPUNYAI PROBABILITAS YANG. Ex. KARTU YANG BERJUMLAH 52 BUAH.

EXPECTED VALUE • EXPECTEED VALUE ADALAH MENENTUKAN HASIL-HASIL YANG DIPEROLEH DAN DINILAI BERDASARKAN PROBABILITASNYA KEMUDIAN MENAMBAHKAN HASIL DARI MASING-MASING EVENT TERSEBUT. • Ex. 100 UNIT RUMAH PROBABILITASNYA 37% NILAI Rp. 1000. 000 EXPECTED VALUE = Rp. 370. 000, -

Ex. KEUNTUNGAN PROYEK Rp. 10. 000 DENGAN PROBABILITAS 90% BIAYA TAK TERDUGA 10% BILA TERJADI KERUGIAN PROYEK MAKA EXPECTED VALUE PROYEK TERSEBUT ADALAH HASIL EXPECTED VALUE 90% 4, 000 3, 600, 000 10% (4, 000 ) 400, 000 PROBABLITIAS 3, 200, 000 MAKA BESARNYA PREMI YANG MUNGKIN UNTUK MENUTUP RESIKO KERUGIAN ADALAH Rp. 400. 000

EX. SEORANG KONTRAKTOR MUNGKIN AKAN MENOLAK SUATU PEKERJAAN BILA KEUNTUNGAN Rp. 10. 000 DAN PROBABILITASNYA 90% TAPI BIAYA TAK TERDUGA 10% BILA TERJADI KERUGIAN Rp. 30. 000 MAKA EXPECTED VALUE PROYEK TERSEBUT ADALAH PROBABLILITAS HASIL EXPECTED VALUE 90% 10. 000 9. 000 10% 30. 000 3. 000 6. 000 TETAPI KERUGIAN YANG HARUS DITANGGUNG ADALAH Rp. 30. 000

TAFSIRAN PROBABILITAS • EX. PROBABILITAS AKAN TERBAKARNYA SUATU GUDANG TERTENTU ADALAH 1/10, HAL INI MENUNJUKAN KEMUNGKINAN RELATIF AKAN TERJADINYA PERISTIWA ITU, MAKA PENAFSIRANNYA ADALAH : 1. BAHWA 1/10 DARI SELURUH GUDANG YANG MENGHADAPI RESIKO YANG SAMA DI SELURUH DUNIA DIPERKIRAKAN TERBAKAR. PENAFSIRAN INI DASARNYA PADA HUKUM BILANGAN BESAR (THE LAW OF LARGE NUMBER) 2. JIKA GUDANG TERSEBUT DIHADAPKAN PADA KERUGIAN KEBAKARAN SELAMA SUATU JANGKA WAKTU YANG SANGAT PANJANG, MAKA KEBAKARAN AKAN TERJADI KIRA-KIRA DALAM 1/10 DARI JUMLAH TAHUN EXPOSURE (LAMA WAKTU DALAM 10 TAHUN)

PERISTIWA YANG SALING PILAH (MUTUALLY EXCLUSIVE EVENT) DUA PERISTIWA ATAU LEBIH DIKATAKAN SALING PILAH APABILA TERJADINYA PERISTIWA YANG SATU MENYEBABKAN TIDAK TERJADINYA PERISTIWA YANG LAIN Ex. JIKA A DAN B MERUPAKAN DUA PERISTIWA YANG MUTUALLY EXCLUSIVE MAKA PROBABILITAS TERJADINYA A DAN B DINYATAKAN SEBAGAI BERIKUT : P(A atau B) = P(A) + P(B) TOTAL KERUGIAN TIMBUL AKIBAT TUNTUTAN BERKISAR PADA 0, 10, 000, 100, 000 500, 000, 1000, 000. JIKA MISALKAN PROBABILITAS KERUGIAN 100, 000 ADALAH 1/10 DAN PROBABILITAS KERUGIAN 500. 000 ADALAH 1/20, MAKA PROBABILITAS TERJADINYA KERUGIAN ADALAH 1/10 + 1/20 = 2/20 + 1/20 = 3/20

COMPOUND EVENTS TERJADINYA DUA ATAU LEBIH PERISTIWA TERPISAH SELAMA JANGKA WAKTU YANG SAMA Ex. PROBABILITAS KERUGIAN DUA BUAH GUDANG, GUDANG A DAN GUDANG B JIKA PROBABILITAS TERBAKARNYA GUDANG A = 1/20 DAN GUDANG B = 1/40, MAKA PROBABILITAS KEDUA GUDANG ITU AKAN TERBAKAR ADALAH : (1/20) x (1/40) = 1/800 MAKA PROBABILITAS GABUNGAN ANTARA COMPOUND PROBABILITY DENGAN MUTUALLY EXCLUSIVE PROBABILITY ADALAH : 1. TERBAKARNYA GUDANG A, GUDANG B TIDAK TERBAKAR : (1/20) ( 1 - 1/40) = 39/800 2. TERBAKARNYA GUDANG B, GUDANG A TIDAK TERBAKAR : (1/40) ( 1 - 1/20) = 19/800 3. TIDAK TERJADI KEBAKARAN BAIK A MAUPUN B : ( 1 - 1/20) ( 1 - 1/40) = 741/800 4. TERJADI KEBAKARAN KEDUA GUDANG A DAN B : (1/20) (1/40) = 1/800 JADI HASILNYA JIKA DIJUMLAHKAN : 39/800 + 19/800 + 741/800 + 1/800 = 1

PERISTIWA BERSYARAT (CONDITIONAL OUTCOMES) DUA PERISTIWA YANG TERPISAH, TAPI TIDAK BEBAS. DIMANA BILA SATU PERISTIWA TELAH TERJADI, MAKA PERISTIWA YANG LAIN AKAN TERJADI. Ex. PERISTIWA B AKAN TERJADI, BILA PERISTIWA A TELAH TERJADI. P(A dan B) = P(A) x P(B/A) ATAU P(B dan A) = P(B) x P(A/B) : NOTASI UNTUK PROBABLITAS BERSYARAT JIKA PROBABLITAS TERBAKARNYA GUDANG A: ATAU P(A) = 1/40 DAN PROBABILITAS TERBAKARNYA GUDANG B : P(B) = 1/40 DAN PROBABILITAS BERSYARAT : P(A/B) = 1/3 JIKA SALAH SATU GUDANG TERBAKAR, MAKA PROBABILITAS TERBAKARNYA KEDUA GUDANG ADALAH : 1/40 x 1/3 = 1/120 MAKA TERJADI 3 KEMUNGKINAN : 1. TERBAKARNYA GUDANG A, DAN B TIDAK TERBAKAR : (1/40) (1 - 1/3) = 2/120 2. TERBAKARNYA GUDANG B, DAN A TIDAK TERBAKAR : (1/40) (1 - 1/3) = 2/120 3. TIDAK TERBAKARNYA A MAUPUN B : (1 – 1/120) – 2/120 = 115/120 JIKA DIJUMLAHKAN HASILNYA : 2/120 + 115/120 + 1/120 = 1

PERISTIWA YANG INKLUSIF UNTUK MENGETAHUI TERJADINYA SATU DARI DUA PERISTIWA ATAU LEBIH YANG TIDAK MEMPUNYAI HUBUNGAN SALING PILAH (MUTUALLY EXCLUSIVE) Ex. PERISTIWA A DAN B, MAKA PROBABILITAS TERJADINYA PERISTIWA ITU : P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A atau B) KATA “ATAU” ADALAH INKLUSIF YANG BERARTI A, B ATAU KEDUANYA TERJADI, ATAU PALING SEDIKIT SALAH SATU DARI KEDUANYA TERJADI. PROBABILITAS TERBAKARNYA GUDANG A = 1/40 DAN GUDANG B = 1/40, MAKA PROBABILITAS GUDANG A, ATAU GUDANG B AKAN TERBAKAR DAN P(A/B) = 1/3 ADALAH : 1/40 + 1/40 – 1/40 x 1/40 = 79/1600 ATAU DAPAT DIHITUNG : 1. TERBAKARNYA GUDANG A MAUPUN B : (1/40) = 1/1600 2. TERBAKARNYA GUDANG A, DAN B TIDAK : (1/40) (1 – 1/40) = 39/1600 3. TERBAKARNYA GUDANG B, DAN A TIDAK : (1/40) (1 – 1/40) = 39/1600 JADI JIKA DIJUMLAHKAN HASILNYA : 1/1600 + 39/1600 = 79/1600

UNTUK SITUASI DIMANA PERISTIWA TIDAK INDEPENDEN, MAKA PROBABILITAS SALAH SATU GUDANG AKAN TERBAKAR ADALAH : P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A/B) = 1/40 + 1/40 – 1/40 x 1/3 = 5/120 ATAU DENGAN MENJUMLAHKAN : 1. TERBAKARNYA KEDUA GUDANG : (1/40) (1/3) = 1/120 2. TERBAKARNYA GUDANG A, DAN B TIDAK : (1/40) (1 – 1/3) = 2/120 3. TERBAKARNYA GUDANG B, DAN A TIDAK : (1/40) (1 – 1/3) = 2/120 JIKA DIJUMLAHKAN MAKA : 1/120 + 2/120 = 5/120 Ex. PROBABILITAS TERBAKARNYA TIGA GUDANG A = 1/40, B = 1/40 DAN C = 1/40. MAKA PROBABILITAS GUDANG A ATAU B AKAN TERBAKAR (DENGAN ASUMSI INDEPENDEN) ADALAH : P(A) + P(B) – P (A atau B) : 1/40 + 1/40 – 1/40 x 1/40 = 79/1600 DEMIKIAN JUGA PROBABILITAS A DAN C, DIHITUNG DENGAN CARA YANG SAMA AKAN MENGHASILKAN 79/1600

TOTAL KERUGIAN PER TAHUN Ex. 1. PERUSAHAAN MEMPUNYAI 5 KENDARAAN DENGAN NILAI MASING Rp. 10. 000, 2. MASING-MASING KENDARAAN MUNGKIN MENGALAMI LEBIH DARI SATU TABRAKAN. 3. KERUSAKAN BISA RINGAN BISA JUGA PARAH. DAN SETIAP KENDARAAN YANG RUSAK TIDAK DIOPERASIKAN DAN SEGERA DITUKAR DENGAN YANG LAIN UNTUK MENGURANGI KERUGIAN. TABEL DISTRIBUSI PROBABILITAS KERUGIAN SEBUAH KENDARAAN YANG TERDIRI ATAS 5 KENDARAAN KERUGIAN PER TAHUN 0 500. 000 1. 000 2. 000 5. 000 10. 000 20. 000 PROBABILITAS 0, 606 0, 273 0, 100 0, 015 0, 003 0, 002 0, 001 1, 000 KERUGIAN PER TAHUN 500. 000 1. 000 2. 000 5. 000 10. 000 20. 000 PROBABILITAS 0, 394 0, 121 0, 006 0, 003 0, 001 1, 000

INFOMASI YANGG DIPEROLEH : 1. PROBABILITAS BAHWA PERUSAHAAN AKAN MENANGGUNG SEDIKIT KERUGIAN 2. PROBABILITAS BAHWA KERUGIAN YANG PARAH AKAN TERJADI 3. KERUGIAN RATA-RATA PER TAHUN 4. VARIASI HASIL YANG MUNGKIN * PROBABILITAS BAHWA PERUSAHAAN TIDAK AKAN MENGALAMI KERUGIAN SAMA SEKALI ADALAH 0, 606. JADI PROBABILITAS KERUGIANNYA ADALAH ( 1 – 0, 606 ) = 0, 394 * PROBABILITAS KERUGIAN =/> 5. 000 : 0, 003 + 0, 002 + 0, 001 = 0, 006 * SELANJUTNYAUNTUK BATAS KERUGIAN DAPAT DIHITUNG DENGAN CARA YANG SAMA (LIHAT TABEL PROBABILITAS TOTAL KERUGIAN) * KERUGIAN RATA-RATA : MENGALIKAN JUMLAH KERUGIAN DENGAN PROBABILITASNYA. 0 (0, 606) + 500, 000(0273) + 1, 000(0, 100) + 2, 000(0, 015) 5, 000(0, 003) + 10, 000(0, 002) + 20, 000(0, 001) = Rp. 321. 000,

VARIASI HASIL YANG MUNGKIN 1 2 3 4 5 NILAI (N) NILAI RATA-RATA ( N – n ) (N-n)2 PROB. JUMLAH (3 x 4) DALAM RIBUAN 0 500, 000 1, 000 2, 000 5, 000 10, 000 20, 000 0 – 321, 000 (-321, 000)2 500, 000 – 321, 000 (179, 000)2 1, 000 – 321, 000 (679, 000)2 2, 000 – 321, 000 (1, 679, 000)2 5, 000 – 321, 000 (4, 679, 000)2 10, 000 – 321, 000 (9, 679, 000)2 20, 000 – 321, 000 (19, 679, 000)2 0, 606 0, 273 0, 100 0, 015 0, 003 0, 002 0, 001 DEVIASI STANDAR : 799, 888, 000 = Rp. 894. 000 KOEFISIEN VARIASI : 894. 000 : 321. 000 = 2, 8 RESIKO RELATIF PADA KERUGIAN TERBESAR : 894. 000 : 20. 000 = 0, 04 62, 443 8, 747 46, 104 42, 286 65, 679 187, 366 387, 263

JIKA PROBABILITAS TIDAK DIKETAHUI : (1/k)2 Ex. JIKA RATA-RATA = 321. 000 DAN DEVIASI STANDAR = 894. 000, DAN PROBABILITAS DITAKSIR = 0, 25, MAKA (1/k)2 = 0. 25 MAKA k = 2 MAKA PENYIMPANGAN RATA-RATA ADALAH = 2 x 894. 000 = Rp. 1. 788. 000 DAN OUTCOME AKAN LEBIH KECIL ( 321. 000 – 1. 788. 000 = - 1. 379. 000) ATAU LEBIH BESAR ( 321. 000 + 1. 788. 000 = 2. 109. 000 ) JIKA UNIT BERTAMBAH DARI 5 UNIT MENJADI 20 UNIT, MAKA RATANYA BERTAMBAH 4 KALI YAITU 20 : 5 = 4 ATAU DEVIASI STANDARNYA BERTAMBAH SEBANYAK = 4 = 2 KALI JIKA KENDARAAN BERTAMBAH DARI 5 MENJADI 500 UNIT ATAU 100 KALI, MAKA DEVIASI STANDARNYA = 100 = 10 JADI PERTAMBAHAN 5 MENJADI 20 UNIT KENDARAAN AKAN MENGURANGI RESIKO MENJADI ½ DARI NILAI 5 KENDARAAN, DAN SELANJUTNYA UNTUK MENGURANGI RESIKO DARI 20 KENDARAAN MAKA = 20(2)2 = 80 KENDARAAN

MEMBANGUN DISTRIBUSI PROBABLITIAS DATA HISTORIS : DENGAN MENGAMATI BERULANG KALI BERBAGAI KERUGIAN POTENSIAL YANG TELAH TERJADI SELAMA JANGKA WAKTU LAMA YANG KONDISINYA SERUPA, SEHINGGA DIPEROLEH BERAPA KALI TERJADI KERUGIAN ITU DALAM MASA TERTENTU. Ex. TAHUN LALU KERUGIAN KEBAKARAN Rp. 10. 000, BIAYA REPARASI PADA SAAT SEKARANG 50% LEBIH MAHAL DARI TAHUN LALU, DAN TAHUN DEPAN DIPERKIRAKAN NAIK 10% DARI TAHUN SEKARANG. MAKA KERUGIAN YANG DISESUAIKAN ADALAH : (1. 5) (1. 1) (10. 000) = 16. 500. 000

DISTRIBUSI TEORITIS SUATU DISTRIBUSI YANG BISA DIHARAPKAN TERJADI BERDASARKAN PENGALAMAN SEBELUMNYA ATAU BERDASARKAN PERTIMBANGAN TEORITIS. DISTRIBUSI POISSON DIGUNAKAN UNTUK MEMPERKIRAKAN PROBABILITAS SUATU KERUGIAN TERTENTU SELAMA TAHUN BERIKUTNYA. P(r) = mre-m r !

Ex. DARI 5 KENDARAAN, KIRA-KIRA MENGALAMI 1 KALI TABRAKAN SETIAP 2 TAHUN. JADI RATA-RATANYA ADALAH ½ ATAU 0, 5. BANYAKNYA TABRAKAN 0 1 PROBABILITAS (0, 5)0 e-1/2 = (1) (0. 606) = 0. 606 0 ! 1 (0, 5)1 e-1/2 = (0, 5) (0. 606) = 0. 303 1 ! 1 2 (0, 5)2 e-1/2 = (0, 25) (0. 606) = 0. 0758 2 ! 2 x 1 3 (0, 5)3 e-1/2 = (0, 125) (0. 606) = 0. 0126 3 ! 3 x 2 x 1 4 (0, 5)4 e-1/2 = (0. 0625) (0. 606) = 0. 00158 4 ! 4 x 3 x 2 x 1 5 (0, 5)5 e-1/2 = (0. 03125) (0. 606) = 0. 00026 5 ! 5 x 4 x 3 x 2 x 1