TEORI PROBABILITAS Pendekatan Probabilitas Pendekatan klasik Probabilitas klasik

TEORI PROBABILITAS Pendekatan Probabilitas Pendekatan klasik Probabilitas klasik adalah jika probabilitas suatu peristiwa akan terjadi sudah dapat diketahui sebelum dilakukan percobaan. Berapa besarnya probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada pemikiran yang logis tanpa percobaan. P (A) = Peluang terjadinya peristiwa A x = Peristiwa yang menguntungkan n = Jumlah Seluruh peristiwa Menurut pendekatan klasik terjadinya suatu peristiwa (P) adalah rasio antara peristiwa yang menguntungan dengan seluruh peristiwa yang mungkin, dimana semua peristiwa mempunyai kesempatan yang sama. Contoh : Didalam suatu kotak terisi 10 kelerang yang identik kecuali warnanya, dimana dari 10 kelereng tersebut 4 berwarna hijau, sedang 6 sisanya berwarnaa merah. Bila kelereng tersebut diguncang berkali-kali dan secara random (acak) diambil satu kelereng dari dalam kotak, maka :

– Terpilihnya kelereng hijau probabilitasnya adalah : – Probabilitas terpilihnya kelereng merah adalah : • Pendekatan frekuensi relatif didasarkan pada : » Pengamatan frekuensi relatif dari suatu peristiwa dalam percobaan yang dilakukan berulang kali. » Proporsi waktu dari suatu peristiwa dalam jangka panjang bila kondisi stabil. • Pendekatan frekuensi relatif adalah pendekatan yang menggunakan perhitungan frekuensi relatif yang didasarkan pada terjadinya peristiwa masa lalu sebagai suatu peluang.

• Pendekatan ini menunjukkan seringnya sesuatu terjadi pada masa lalu dan digunakan untuk memprediksikan probabilitas bahwa sesuatu tersebut akan terjadi lagi di masa datang. • Contoh I : • Seandainya perusahaan asuransi mengetahui dari data masa lalu bahwa angka kematian adalah 100. 000 orang pertahun, dan 60 orang diantaranya adalah laki-laki yang berusia 40 tahun. • Dengan menggunakan pendekatan ini, maka perusahaan meramalkan peluang kematian laki dari kelompok umur tersebut adalah : • P (A) = = 0, 0006 = 0, 06%

• • • Pendekatan subyektif adalah pendekatan yang didasarkan pada tingkat kepercayaan individu yang membuat dugaan terhadap suatu peluang Tidak semua peristiwa dapat dihitung probabilitas secara teoritis seperti pada pendekatan klasik maupun secara frekuensi relatif (karena pendekatan frekuensi relatif membutuhkan data histories yang cukup banyak). Sebagai contoh, peristiwa Mr, X menjadi direktur suatu perusahaan, peristiwa petinju George Foreman menjadi juara dunia. Untuk menghitung probabilitas peristiwa yang tidak dapat dihitung secara teoritis, digunakan perumusan secara subyektif. Pada pendekatan ini probabilitas dirumuskan berdasarkan keyakinan dan pendangan pribadi terhadap probabilitas suatu peristiwa. Agar dapat merumuskan probabilitas dengan baik, penyusun probabilitas suatu peristiwa harus mempertimbangkan sebanyak mungkin informasi yang relevan dengan peristiwa tersebut.

• Peristiwa, Percobaan dan Ruang Sampel • Dalam teori probabilitas suatu peristiwa (event) adalah hasil (out come) yang mungkin dari suatu kegiatan. • Percobaan atau eksperimen adalah kegiatan yang menghasilkan suatu persitiwa. • Misalnya, dalam pelemparan mata dadu, keluarnya mata dadu 4, 6 atau 1 adalah suatu event (peristiwa), sedang pelemparan itu sendiri merupakan percobaan. • Ruang Sampel (Sampel Space) adalah seluruh hasil yang mungkin diperoleh dari satu percobaan. • Misalnya, dalam pelemparan sebuah mata dadu, ruang sampelnya adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

• Probabilitas Suatu Peristiwa • Bila suatu percobaan dapat menimbulkan sejumlah n hasil yang berbeda serta memiliki kesempatan untuk terwujud yang sama dan bila m dari hasil diatas merupakan peristiwa A, maka probabilitas peristiwa A dapat dirumuskan menjadi : • P (A) = m/n • Bila semua peristiwa yang bukan A dinyatakan dengan tanda Ā, maka : • P (Ā) = 1 – P (A) • Perumusan diatas harus memenuhi ketentuan, • Probabilitas A harus merupakan bilangan yang nonnegatif, yaitu : P (A) 0 • Jumlah probabilitas A ditambah Ā harus sama dengan 1, atau P (A) + P (Ā) = 1

• Asas-Asas Menghitung Probabilitas Peristiwa » Peristiwa Saling Lepas (Mutually Exclusive) • Dua atau lebih peristiwa dikatakan “mutaully exclusive” apabila kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi bersama-sama. Hal ini berarti terjadinya peristiwa yang satu sekaligus menghapuskan kemungkinan terjadinya peristiwa yang lain. • Misalkan peristiwa A adalah mandi dan perintiwa B adalah makan. Peristiwa A dan B tidak dapat terjadi bersama-sama artinya kalau A terjadi yaitu mandi, maka pada saat yang bersamaan tidak mungkin terjadi peristiwa B yaitu makan. • Peluang terjadinya peristiwa A atau B dapat dihitung melalui formulasi berikut : • P (A B) = P (A) + P (B), atau • P (A atau B) = P (A) + P (B)

• • Contoh : Ada 5 calon yang mempunyai kemampuan realtif sama yaitu Ali, Aman, Ani, Amin dan Anang, melamar untuk menjadi staf salah satu perusahaan X, padahal perusahaan tersebut hanya membutuhkan satu staf saja. Bila perusahaan tersebut memutuskan untuk menerima salah satu dari ke 5 calon tersebut, maka » » • • • Berapa peluang Ali akan diterima menjadi staf ? Berapa peluang Aman atau Anang terpilih menjadi staf ? Solusi : P (Ali) = 1/5 P (Aman Anang) = P (Aman) + P (Anang) = 1/5 + 1/5 = 2/5 = 0, 4 Bila ter dapat beberapa peristiwa yang saling lepas A 1, A 2, A 3, …. . , An, maka : P (A 1 A 2 A 3 ……. . An) = P (A 1) + P (A 2) + P (A 3) +…. . , + P (An).

» • • Peristiwa Non-Exclusive Dua atau lebih peristiwa dikatakan “non-exclusive” apabila kedua atau lebih peristiwa itu dapat terjadi secara bersama-sama. Akan tetapi perlu dicatat bahwa kedua peristiwa itu tidak harus selalu muncul bersama. Selanjutnya formula untuk peristiwa non exclusive dapat disajikan sebagai berikut : Peluang terjadinya A Peluang terjadinya B Peluang A dan B terjadi bersama-sama P (A atau B) = P (A) + P (B) - P (AB) atau, P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B) Bila himpunan S yang terdiri dari peristiwa A, B dan C dan bila peristiwa tersebut tidak saling lepas, maka probabilitas A atau B atau C ialah : P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) – P (A B) – P (A C) – P (B C) + P (A B C)

• Bila terdiri dari lebih dari tiga (A, B, C, D) • P (A B C D) = P (A) + P (B) + P (C) + P (D) – P (A B) – P (A C) - P (A D) - P (B C) - P (B D) - P (C D) + P (A B C) + P (A B D) + P (A C D) + P (B C D) - P (A B C D) • Contoh : • Dari satu set kartu bridge diambil secara acak sebuah kartu, berapa peluang yang terambil adalah kartu As atau kartu jantung ? • Penyelesaian : – Peristiwa A adalah terambilnya kartu As, jadi P (A) = 4/52 – Peristiwa B adalah terambilnya kartu jantung, jadi P (B) = 13/52 – Sedangkan peristiwa A dan B adalah terambilnya kartu As jantung, jadi P (A B) = 1/52 • Dengan demikian P (A B) = P (A) + P(B) – P(A B) • = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 0, 33

» • • Peristiwa Independent Suatu peristiwa dikatakan independen jika terjadi atau tidak terjadinya suatu peristiwa tidak mempengaruhi peluang terjadinya peristiwa lain. Probabilitas peristiwa A dan B jika diketahui kedua peristiwa tersebut independen dapat dirumuskan sebagai berikut : P (A B) = P (A) x P (B) Contoh : Sebuah kota kecil memiliki satu unit pemadam kebakaran dan satu ambulance yang tersedian dalam keadaan darurat. Probabilitas bahwa unit pemadam kebakaran akan siap bila diperlukan adalah 0, 98 dan probabilitas bahwa ambulan siap bila dipanggil adalah 0, 92. Dalam peristiwa terbakarnya suatu gedung di kota itu berapa probabilitas keduanya akan siap beroperasi ?

• • Jawab : Dua peristiwa itu merupakan peristiwa independent, artinya kedua peristiwa itu bebas satu sama lain, maka : P (A B) = P (A) x P (B) = 0, 98 x 0, 92 = 0, 906 » • • Peristiwa Dependen atau Bersyarat Jika dua peristiwa terjadi berurutan, kedua peritiwa dikatakan dependen jika peristiwa pertama mempengaruhi peristiwa kedua, Probabilitas peristiwa A dan B, jika diketahui kedua peristiwa ini dependen, dapat dirumuskan sebagai berikut : P (A B) = P (A) x P (B/A)

• Dimana, • P (B/A) adalah probabilitas peristiwa B dengan syarat peristiwa A sudah terjadi, atau • P (B/A) = Contoh : • Bila dari setumpuk akrtu bridge lengkap (52 kartu) diambil 2 helai kartu satu persatu, dan kartu pertama yang terambil tidak dikembalikan. • Hitung probabilitas kartu pertama adalah Heart dan kartu kedua adalah Diamond ? • Solusi : • Seandainya A adalah peristiwa mendapat kartu heart dan B adalah peristiwa mendapat kartu diamond, karena kartu pertama tidak dikembalikan maka peristiwa B, yaitu pengambilan kartu kedua terpengaruh oleh peristiwa A. Pada peristiwa A, ruang sampelnya sebesar 52 (jumlah kartu yang ada), sedangkan pada pengambilan kedua ruang sampelnya hanya 51 karena kartu pertama yang terambil tidak dikembalikan.

P (A B) = P (A) x P (B/A) P (A) = 13/52 P (B/A) = 13/51 P (A B) = 13/52 x 13/51 = 0, 064 Contoh II : Sebuah kotak berisi 10 buah bola, dengan rincian 3 buah bola hitam bergaris, 1 buah bola hitam polos, 2 buah bola putih bergaris dan 4 buah bola putih polos. • Catatan : • • • – – Hitam dilambangkan dengan H Bergaris dilambangkan dengan G Putih dilambangkan dengan P Polos dilambangkan dengan L • Seandainya seseorang mengambil bola hitam dari kotak : » Berapa probabilitas bola tersebut bergaris » Berapa probabilitas bola tersebut polos

• Solusi : • Tabel dibawah ini dibentuk untuk mempermudah penyelesaian : Bergaris Polos Total Hitam 3 1 4 Putih 2 4 6 Total 5 5 10

• • Pertanyaan tersebut dapat diekspresikan dengan simbol P (G/H) atau berapakah probabilitas bersyarat bahwa bola yang terambil bergaris dengan syarat berwarna hitam. P (G/H) = = = 0, 75 Pertanyaan kedua dapat diekspresikan dengan simbol P (L/H) = = = 0, 25 Dalil Bayes Dalil ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya peristiwa x dengan syarat peristiwa y telah terjadi dan probabilitas terjadinya peristiwa y dengan syarat peristiwa x telah terjadi. Teori ini kemudian menjadi dasar membuat rumusan probabilitas bersyarat. Rumus Teorema Bayes adalah :