La fonction TANGENTE quations et graphiques fx tan

La fonction TANGENTE

Équations et graphiques f(x) = tan x (forme générale de BASE) f(x) = a tan [ b ( x – h ) ] + k x = ( h + P ) + Pn où n (forme générale TRANSFORMÉE) (Équation des ASYMPTOTES) 2 Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction), l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet. Exemple : f(x) = - 2 tan [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 a b h k = = -2 3 1 4

f(x) = tan x (forme générale de BASE) x f(x) 0 0 4 3 8 2 - 4 - 3 8 - 2 L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN » 1 5 2, 41 -1 -2, 41 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2 2 -5 3 2 2 5 2 3 7 2

Période f(x) = tan x 5 -7 2 -3 -5 -2 -3 - 2 2 - 2 2 3 2 2 5 2 3 7 2 -5 ü La fonction TANGENTE est une fonction CYCLIQUE. ü PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE. P = |b| ü Il n’y a pas d’AMPLITUDE associée à cette fonction (contrairement aux fonctions sinusoïdales. ) sinusoïdales

Période Asymptote f(x) = tan x x=h– P x=h+ P 2 2 5 -7 2 -3 -5 2 -2 Asymptote -3 - 2 -P P 2 2 - (h, k ) 2 2 -5 ü Les équations des asymptotes sont donc : x = ( h + P ) + Pn où n 2 3 2 2 5 2 3 7 2

Exemple : Représenter graphiquement f(x) = - 2 tan [ 1 ( x + ) ] + 3. 2 4 (h, k) = (- /2 , 3) P = |b| = = 4 | 1/4 | Période = 4 - 2 5 + 2 Période = 4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 - -5 2 3 4 5 6 7

Résolutions d’équations Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1 4

RAPPEL y 1 On sait que : P( ) = ( cos , sin ) tan = sin cos 1 y Donc : tan = y x -1 1 x

Résolutions d’équations Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1 4 0 = - tan 2 (x – ) + 1 4 -1 = - tan 2 (x – ) 4 1 = tan 2 (x – ) 4 tan-1(1) = 2 (x – ) 4 Quel est l’angle dont la valeur « 1 » lorsqu’on effectue « y / x » ? est

Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1 4 0 = - tan 2 (x – ) + 1 4 -1 = - tan 2 (x – ) 4 1 = tan 2 (x – ) 4 tan-1(1) = 2 (x – ) Quel est l’angle dont la valeur « 1 » lorsqu’on effectue « y / x » ? est 4 = 2 (x – ) 4 4 = x– 8 3 = x 1 8 4 et 5 = 2 (x – ) 4 4 5 = x – 8 7 = x 2 8 Période P = |b| = |2| 4 Réponse : x 3 + n où n 8 2 2

En RÉSUMÉ… Avec SIN : 2 = – 1 Avec COS : 2 = 2 – 1 Avec TAN : 2 = + 1

Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan 1 (x – ) + 3 2 0 = -3 tan 1 (x – ) + 3 2 tan-1 ( 3 = tan 1 (x – ) 3 2 3 ) = 1 (x – ) 3 2 Quel est l’angle dont la valeur est « 3» 3 lorsqu’on effectue «y/x» ?

Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan 1 (x – ) + 3 2 0 = -3 tan 1 (x – ) + 3 2 tan-1 ( 3 = tan 1 (x – ) 3 2 2 2 = x – 6 4 = x 1 3 « 3 ) = 1 (x – ) 3 2 = 1 (x – ) 6 Quel est l’angle dont la valeur est et 3» 3 lorsqu’on effectue 7 «y/x» ? = 1 (x – ) 6 2 14 = x– 6 10 = x 2 3 Période P = |b| P = | 1/2 | = 2 Réponse : x 4 + 2 n où n 3

Résolutions d’inéquations Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – 1 ≥ 1 8 5 y = 1 -3 2 - - P = /2 2 -5 8 2 3 2

Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – 1 ≥ 1 8 1 ≤ - tan 2 (x + ) – 1 8 2 ≤ - tan 2 (x + ) 8 -2 ≥ tan 2 (x + ) 8 tan-1(-2) Quel est l’angle dont la valeur ≥ 2 (x + ) « -2 » lorsqu’on effectue « y / x » ? est 8 -1, 1071 ≥ 2 (x + ) et + -1, 1071 ≥ 2 (x + ) 8 -0, 55355 ≥ x + 8 2, 0344 ≥ 2 (x + ) 8 8 -0, 94625 ≥ x 1 1, 01722 ≥ x + 8 0, 6245 ≥ x 2 Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables !

5 y = 1 - 2 2 -0, 94625 - -3 8 2 -5 Période P = |b| |2| = 2 Réponse : x ] -3 + n , -0, 94625 + n ] où n 8 2 2 3 2