quations de fermeture des quations fluides dans les

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Équations de fermeture des équations fluides dans les magnétoplasmas non-collisionels • Approche cinétique /

Équations de fermeture des équations fluides dans les magnétoplasmas non-collisionels • Approche cinétique / Approche fluide • Équations fluides et le problème de leur fermeture • Différentes approches dans la littérature • Nos résultats (Chust & Belmont, Po. P, sous presse 2005) Thomas Chust (CETP/CNRS-UVSQ/IPSL, Vélizy, France) Atelier « Comparaison des théories fluides et cinétique des ondes d'Alfvén à travers l'expérimentation numérique » 7 -10 novembre 2005, CIAS, Observatoire de Meudon

APPROCHE CINÉTIQUE / APPROCHE FLUIDE du système couplé Vlasov-Maxwell CINÉTIQUE solution f[t, r, w]

APPROCHE CINÉTIQUE / APPROCHE FLUIDE du système couplé Vlasov-Maxwell CINÉTIQUE solution f[t, r, w] Moments macroscopiques n[t, r, w] et v[t, r, w] Équations de Maxwell Équation de Vlasov Intégration/ w Système fluide solution FLUIDE Deux approches différentes pour résoudre le même problème à partir de la même équation En principe équivalentes mais en pratique …

SOLUTION DE L’ÉQUATION DE VLASOV Équation de Vlasov pour une population (ions ou électrons)

SOLUTION DE L’ÉQUATION DE VLASOV Équation de Vlasov pour une population (ions ou électrons) : Solution : 1) Solution dépend de l’histoire spatiotemporelle des champs E et B 2) Forme quelconque de f Nombre infini de degrés de liberté trajectoire En pratique, des simplifications sont nécessaires : linéarisation, modèle 1 - ou 2 -D, évolution quasi-statique, nombre limité de particules …

ÉQUATIONS FLUIDES Intégration de Vlasov / w 1) Solution dépend de l’histoire spatiotemporelle des

ÉQUATIONS FLUIDES Intégration de Vlasov / w 1) Solution dépend de l’histoire spatiotemporelle des champs E et B Équations exactes En pratique, il faut tronquer le système : une équation de fermeture est nécessaire 2) Système d’équations infini (moments) (généralement à l’ordre Forme quelconque de f , ou )

CONDITIONS POUR UNE FERMETURE Collisionel : Non-collisionel : Forme maxwellienne de f justifiée par

CONDITIONS POUR UNE FERMETURE Collisionel : Non-collisionel : Forme maxwellienne de f justifiée par la dynamique locale des particules (opérateur de collision dominant dans l’équation de Boltzmann) Nombre fini de degrés de liberté Relation locale entre n, est possible ( and Pas de constrainte locale sur la forme de f Relation fini entre les premiers moments de f est possible seulement si on se limite aux fluctuations qui en première approximation n’impliquent pas tous les degrés de liberté du plasma non-collisionel et ) Possibilité de prédominance de modes “fluides” (relations de dispersion)

PRINCIPALES CARACTÉRISTIQUES DES FERMETURES 1) Hypothèses de symétrie (quelles composantes tensorielles garde-t-on libres? )

PRINCIPALES CARACTÉRISTIQUES DES FERMETURES 1) Hypothèses de symétrie (quelles composantes tensorielles garde-t-on libres? ) 2) Ordre de la fermeture (fermeture au niveau de 3) Nature de la fermeture (quel type d’approximation ? ) , , , etc. ? ) Ces 3 différents aspects du problème sont généralement liés … Exemple: Fermeture « double-adiabatique » CGL : 1) Symétrie gyrotropique 2) Concerne l’ordre 3 3) Annulation du flux de chaleur

APPROCHE DE GRAD-MINTZER À N-MOMENTS Principe: Adoption d’une expression approchée pour la fonction de

APPROCHE DE GRAD-MINTZER À N-MOMENTS Principe: Adoption d’une expression approchée pour la fonction de distribution en fonction des premiers moments macroscopiques avec fonction de distribution de base (“ordre 0”) Maxwelliennne isotrope: Grad (1958), Schunk (1977) Quelconque: Mintzer (1965) Bi-Maxwellienne: Schunk, Barakat, Demars, Blelly … Flux de chaleur non nul : Leblanc & Hubert … en fonction des moments exacts d’ordre m ≤ p + q + r ≤ N-1 1) Choix ad hoc des symétries 2) Fermeture à l’ordre N 3) Approximation dépendant de f 0

APPROCHES LINÉAIRES Principe: Calculs exacts à partir d’une fonction de distribution d’ordre 0 et

APPROCHES LINÉAIRES Principe: Calculs exacts à partir d’une fonction de distribution d’ordre 0 et mise en relation des différents moments après approximation de la fonction de réponse du plasma … Modèles formellement fluides modes miroir, d’interchange … : Belmont & Rezeau (1987), Belmont & Mazelle (1992) Quataerts et al. (2002), Ferrière & André (2002 et après …) Modèles « Landau-fluides » : Hammett, Snyder et co-auteurs (1990 et après …) Passot, Sulem et co-auteurs (2003 et après …)

CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (1) Condition de gyrotropie Simplification au niveau

CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (1) Condition de gyrotropie Simplification au niveau de la forme de f A l'ordre 0, fonction f gyrotrope Pas d'effets de fréquence fini: Hypothèses intuitives : Pas d'effets de rayon de Larmor fini: Pas de résonance cyclotron:

CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (2) … … avec Condition “sls” de

CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (2) … … avec Condition “sls” de gyrotropie : Hypothèse de compacité :

CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (3) (2) Condition d’adiabaticité Condition “sls” de

CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (3) (2) Condition d’adiabaticité Condition “sls” de gyrotropie Condition d’adiabaticité :

CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (4) (3) Condition d’adiabaticité || : Fermeture

CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (4) (3) Condition d’adiabaticité || : Fermeture « double-adiabatique » CGL (fermeture “gyrotropique-adiabatique”)

LES LOIS "DOUBLE-ADIABATIQUES" (CGL) Si (variations “temporelles”) Comme négligeable dans les conditions de gyrotropie

LES LOIS "DOUBLE-ADIABATIQUES" (CGL) Si (variations “temporelles”) Comme négligeable dans les conditions de gyrotropie et d’adiabaticité Ce sont de vraies lois fluides …

LOIS “PHÉNOMÉNOLOGIQUES” Si (variations “spatiales” ou résonance Landau) Divergence du flux parallèle de chaleur

LOIS “PHÉNOMÉNOLOGIQUES” Si (variations “spatiales” ou résonance Landau) Divergence du flux parallèle de chaleur n’est plus négligeable Pas de fermeture exacte: modèles “Landau-fluides”, à N-moments, lois isothermique, polytropiques, …

FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (1) ( quelconque) Tout se joue dans la détermination des coefficients

FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (1) ( quelconque) Tout se joue dans la détermination des coefficients … Équations fluides pour une espèce : avec

FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (2) ( quelconque) Pour une fonction de distribution Maxwellienne : (fermeture

FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (2) ( quelconque) Pour une fonction de distribution Maxwellienne : (fermeture normale) Directement comparable aux modèles à 16 -moments de Barakat & Schunk (1982) Résultats équivalents à ceux de Ramos (2003) Coefficients constants approche de Grad-Mintzer à 8 -moments Modèles “Landau-fluides”: approximation au plus près de la théorie cinétique linéaire

FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (3) Si fonction de distribution Maxwellienne : (fermeture normale) (variations “spatiales”)

FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (3) Si fonction de distribution Maxwellienne : (fermeture normale) (variations “spatiales”)

FERMETURE “GYROTROPIQUE" (1) (pas de restriction sur le flux de chaleur) with 1) Expression

FERMETURE “GYROTROPIQUE" (1) (pas de restriction sur le flux de chaleur) with 1) Expression entière de 2) Partie non-gyrotopique de 3) Partie gyrotropique de (parties gyrotropique et non-gyrotropique) : mise à zéro comme avant: calculée comme avant :

FERMETURE “GYROTROPIQUE" (2) (pas de restriction sur le flux de chaleur) 4) Partie non-gyrotropique

FERMETURE “GYROTROPIQUE" (2) (pas de restriction sur le flux de chaleur) 4) Partie non-gyrotropique de : Résultat pas équivalent aux approches précédentes à l’ordre le plus bas car ici distinction entre gyrotropie et adiabaticité …

UNE FERMETURE “NON-GYROTROPIQUE” ? (avec aucune restriction ? ) Prend en compte les asymétries

UNE FERMETURE “NON-GYROTROPIQUE” ? (avec aucune restriction ? ) Prend en compte les asymétries de f le long de n’importe quel axe (x, y ou z) ? • Les approches à N-moments (ex. Barakat & Schunk, 1982) font implicitement ce genre de fermeture • Récemment, Goswami, Passot et Sulem (2005) ont utilisé explicitement ce genre d’approximation pour tenir compte d’effets correctif dûs aux termes non-gyrotropiques dans les tenseurs de pression et de flux de chaleur. • Ramos (2005) également mais juste formellement Valable seulement pour une approche perturbative ?

CONCLUSION Notion de relation de dispersion existence de modes “fluides” (qualitatifs) En première approximation,

CONCLUSION Notion de relation de dispersion existence de modes “fluides” (qualitatifs) En première approximation, la participation d’un nombre infini de modes cinétiques (solutions du système Vlasov-Mawell) doit pouvoir se ramener à un nombre fini de modes “fluides” (solutions du système fluide que l’on cherche) Fermeture des équations fluides approximation des coefficients Pas de coefficients universels même dans le cas quasi-statique ! Condition de gyrotropie condition d’adiabaticité (expansion à deux paramètres: distinguer clairement les échelles temporelles des échelles spatiales)