quations de fermeture des quations fluides dans les
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Équations de fermeture des équations fluides dans les magnétoplasmas non-collisionels • Approche cinétique / Approche fluide • Équations fluides et le problème de leur fermeture • Différentes approches dans la littérature • Nos résultats (Chust & Belmont, Po. P, sous presse 2005) Thomas Chust (CETP/CNRS-UVSQ/IPSL, Vélizy, France) Atelier « Comparaison des théories fluides et cinétique des ondes d'Alfvén à travers l'expérimentation numérique » 7 -10 novembre 2005, CIAS, Observatoire de Meudon
APPROCHE CINÉTIQUE / APPROCHE FLUIDE du système couplé Vlasov-Maxwell CINÉTIQUE solution f[t, r, w] Moments macroscopiques n[t, r, w] et v[t, r, w] Équations de Maxwell Équation de Vlasov Intégration/ w Système fluide solution FLUIDE Deux approches différentes pour résoudre le même problème à partir de la même équation En principe équivalentes mais en pratique …
SOLUTION DE L’ÉQUATION DE VLASOV Équation de Vlasov pour une population (ions ou électrons) : Solution : 1) Solution dépend de l’histoire spatiotemporelle des champs E et B 2) Forme quelconque de f Nombre infini de degrés de liberté trajectoire En pratique, des simplifications sont nécessaires : linéarisation, modèle 1 - ou 2 -D, évolution quasi-statique, nombre limité de particules …
ÉQUATIONS FLUIDES Intégration de Vlasov / w 1) Solution dépend de l’histoire spatiotemporelle des champs E et B Équations exactes En pratique, il faut tronquer le système : une équation de fermeture est nécessaire 2) Système d’équations infini (moments) (généralement à l’ordre Forme quelconque de f , ou )
CONDITIONS POUR UNE FERMETURE Collisionel : Non-collisionel : Forme maxwellienne de f justifiée par la dynamique locale des particules (opérateur de collision dominant dans l’équation de Boltzmann) Nombre fini de degrés de liberté Relation locale entre n, est possible ( and Pas de constrainte locale sur la forme de f Relation fini entre les premiers moments de f est possible seulement si on se limite aux fluctuations qui en première approximation n’impliquent pas tous les degrés de liberté du plasma non-collisionel et ) Possibilité de prédominance de modes “fluides” (relations de dispersion)
PRINCIPALES CARACTÉRISTIQUES DES FERMETURES 1) Hypothèses de symétrie (quelles composantes tensorielles garde-t-on libres? ) 2) Ordre de la fermeture (fermeture au niveau de 3) Nature de la fermeture (quel type d’approximation ? ) , , , etc. ? ) Ces 3 différents aspects du problème sont généralement liés … Exemple: Fermeture « double-adiabatique » CGL : 1) Symétrie gyrotropique 2) Concerne l’ordre 3 3) Annulation du flux de chaleur
APPROCHE DE GRAD-MINTZER À N-MOMENTS Principe: Adoption d’une expression approchée pour la fonction de distribution en fonction des premiers moments macroscopiques avec fonction de distribution de base (“ordre 0”) Maxwelliennne isotrope: Grad (1958), Schunk (1977) Quelconque: Mintzer (1965) Bi-Maxwellienne: Schunk, Barakat, Demars, Blelly … Flux de chaleur non nul : Leblanc & Hubert … en fonction des moments exacts d’ordre m ≤ p + q + r ≤ N-1 1) Choix ad hoc des symétries 2) Fermeture à l’ordre N 3) Approximation dépendant de f 0
APPROCHES LINÉAIRES Principe: Calculs exacts à partir d’une fonction de distribution d’ordre 0 et mise en relation des différents moments après approximation de la fonction de réponse du plasma … Modèles formellement fluides modes miroir, d’interchange … : Belmont & Rezeau (1987), Belmont & Mazelle (1992) Quataerts et al. (2002), Ferrière & André (2002 et après …) Modèles « Landau-fluides » : Hammett, Snyder et co-auteurs (1990 et après …) Passot, Sulem et co-auteurs (2003 et après …)
CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (1) Condition de gyrotropie Simplification au niveau de la forme de f A l'ordre 0, fonction f gyrotrope Pas d'effets de fréquence fini: Hypothèses intuitives : Pas d'effets de rayon de Larmor fini: Pas de résonance cyclotron:
CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (2) … … avec Condition “sls” de gyrotropie : Hypothèse de compacité :
CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (3) (2) Condition d’adiabaticité Condition “sls” de gyrotropie Condition d’adiabaticité :
CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (4) (3) Condition d’adiabaticité || : Fermeture « double-adiabatique » CGL (fermeture “gyrotropique-adiabatique”)
LES LOIS "DOUBLE-ADIABATIQUES" (CGL) Si (variations “temporelles”) Comme négligeable dans les conditions de gyrotropie et d’adiabaticité Ce sont de vraies lois fluides …
LOIS “PHÉNOMÉNOLOGIQUES” Si (variations “spatiales” ou résonance Landau) Divergence du flux parallèle de chaleur n’est plus négligeable Pas de fermeture exacte: modèles “Landau-fluides”, à N-moments, lois isothermique, polytropiques, …
FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (1) ( quelconque) Tout se joue dans la détermination des coefficients … Équations fluides pour une espèce : avec
FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (2) ( quelconque) Pour une fonction de distribution Maxwellienne : (fermeture normale) Directement comparable aux modèles à 16 -moments de Barakat & Schunk (1982) Résultats équivalents à ceux de Ramos (2003) Coefficients constants approche de Grad-Mintzer à 8 -moments Modèles “Landau-fluides”: approximation au plus près de la théorie cinétique linéaire
FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (3) Si fonction de distribution Maxwellienne : (fermeture normale) (variations “spatiales”)
FERMETURE “GYROTROPIQUE" (1) (pas de restriction sur le flux de chaleur) with 1) Expression entière de 2) Partie non-gyrotopique de 3) Partie gyrotropique de (parties gyrotropique et non-gyrotropique) : mise à zéro comme avant: calculée comme avant :
FERMETURE “GYROTROPIQUE" (2) (pas de restriction sur le flux de chaleur) 4) Partie non-gyrotropique de : Résultat pas équivalent aux approches précédentes à l’ordre le plus bas car ici distinction entre gyrotropie et adiabaticité …
UNE FERMETURE “NON-GYROTROPIQUE” ? (avec aucune restriction ? ) Prend en compte les asymétries de f le long de n’importe quel axe (x, y ou z) ? • Les approches à N-moments (ex. Barakat & Schunk, 1982) font implicitement ce genre de fermeture • Récemment, Goswami, Passot et Sulem (2005) ont utilisé explicitement ce genre d’approximation pour tenir compte d’effets correctif dûs aux termes non-gyrotropiques dans les tenseurs de pression et de flux de chaleur. • Ramos (2005) également mais juste formellement Valable seulement pour une approche perturbative ?
CONCLUSION Notion de relation de dispersion existence de modes “fluides” (qualitatifs) En première approximation, la participation d’un nombre infini de modes cinétiques (solutions du système Vlasov-Mawell) doit pouvoir se ramener à un nombre fini de modes “fluides” (solutions du système fluide que l’on cherche) Fermeture des équations fluides approximation des coefficients Pas de coefficients universels même dans le cas quasi-statique ! Condition de gyrotropie condition d’adiabaticité (expansion à deux paramètres: distinguer clairement les échelles temporelles des échelles spatiales)
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