Hydro und Aerodynamik Die Volumenstromdichte Die Kontinuittsgleichung Die

Hydro- und Aerodynamik Die Volumenstromdichte Die Kontinuitätsgleichung Die Bernoulli-Gleichung

So fliegen die Vögel! …und die Flugzeuge

Inhalt • Strömung idealer Flüssigkeiten – Die Volumenstromstärke – Die Kontinuitätsgleichung – Die Gleichung von Daniel Bernoulli • Strömung realer Flüssigkeiten – Laminare Strömung, Newtonsche Gleichung – Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz – Reibungskraft auf eine Kugel: Das Gesetz von Stokes • Die Grenzschicht und die Reynoldssche Zahl, Turbulenz

Ideale Flüssigkeit • Inkompressibel • Keine Reibung – innerhalb des Mediums – zwischen Medium und Wänden • Auch ein Gas kann -in diesem Sinne- eine ideale Flüssigkeit sein

Ideale Strömung • Strömung eines Mediums konstanter Dichte (Inkompressibel) • Strömung ohne Reibungskräfte – innerhalb des Mediums – zwischen dem Medium und den Wänden

Die Volumenstromstärke • Volumen der Flüssigkeit, das in einer Zeiteinheit ein Rohr mit Querschnittsfläche A durchströmt Zeit dt 10 0 5 A ds d. V

Die Volumenstromstärke Einheit 1 m 3/s Volumenstromstärke A 1 m Querschnittsfläche des Rohres v 1 m/s Strömungsgeschwindigkeit Zeit dt A 10 0 ds 5 d. V

Die Kontinuitätsgleichung für ideale Strömungen • Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt • Die Kontinuitätsgleichung besagt: Die Volumenstromstärke ist konstant – unabhängig vom Querschnitt Zeit dt 10 0 5

Die Kontinuitätsgleichung d. V Das in einem Zeitintervall transportierte Volumen ist in beiden Röhren gleich

Die Kontinuitätsgleichung Einheit 1 m 3 In gleichen Zeiten werden gleiche Volumina bewegt Division durch die Zeit 1 m 3/s ergibt die Kontinuitätsgleichung: Die Volumenstromstärke ist 1 m 3/s konstant – unabhängig vom Querschnitt

Der Bernoulli Effekt • Eine ideale Flüssigkeit fließe durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt • Im Bereich des kleineren Querschnitts nimmt die Strömungsgeschwindigkeit zu, der Druck aber ab

Der Bernoulli-Effekt Bei Anstieg der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck

Versuch zur Bernoulli-Gleichung Drucke in Abhängigkeit von der Strömungsgeschwindigkeit einer Flüssigkeit: • Niederer Druck in den Rohren mit kleinem Querschnitt, also hoher Strömungsgeschwindigkeit • Hoher Druck im Rohr mit großem Querschnitt und kleiner Strömungsgeschwindigkeit

Arbeit zur Bewegung eines Volumens d. V des Mediums: Kraft mal Weg Die Wege ds 1 und ds 2 werden in der Zeit dt zurückgelegt

Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen d. V zu versetzen Volumen links Volumen rechts 1 J Kraft mal Weg 1 J Arbeit gegen den Druck A 1 A 2 Die Kraft wird durch Druck mal Fläche ersetzt

Kontinuitätsgleichung beim Übergang Einheit Kontinuitätsgleichung, 1 m 3/s v 1, v 2 unterschiedliche Fließgeschwindigkeiten 1 m 3 Konstante Volumina Zeit dt 10 0 A 1 5 A 2 Das Volumen, das um sich selbst versetzt wird, ist zu beiden Seiten gleich

Arbeit in beiden Rohren, um ein Volumen d. V zu versetzen Volumen links Volumen rechts 1 J 1 J Arbeit gegen den Druck in beiden Rohren A 1 A 2 Zur Beachtung: Das Volumen im kleinerer Rohr bewegt sich schneller

Die „Überraschung“ der Bernoulli Gleichung • Die in einer Zeiteinheit versetzten Volumina sind in beiden Röhren gleich • Aber: Die dazu benötigte Arbeit ist unterschiedlich, wenn sich der Druck in beiden Röhren unterscheidet • Q: Weshalb ist in den Rohren unterschiedliche Arbeit zum Versetzen zu erwarten? • A: Weil die Flüssigkeit beim Übergang in das Rohr mit kleinerem Querschnitt beschleunigt wird

…und um ein Volumen d. V zu beschleunigen Volumen links Volumen rechts 1 J Arbeit gegen den Druck und zur 1 J Beschleunigung 1 J Energieerhaltung d. V Bei Übergang vom großen zum kleinen Rohr wird das Medium beschleunigt

Die Bernoulli-Gleichung 1 J Die Masse wird durch m=ρ·d. V ersetzt 1 Pa Bernoulli Gleichung: Bei Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit fällt der Druck ab p 1, p 2 1 Pa Drucke in beiden Bereichen v 1, v 2 1 m/s Geschwindigkeiten in beiden Bereichen ρ 1 kg/m 3 Dichte des strömenden Mediums

Versuche zum Bernoulli-Effekt • Das hydrodynamische Paradoxon

Eine Anwendung: Druckmessung in bewegten Objekten Barometrischer Luftdruck in ruhender Luft

Anwendung: Druckmessung in Flugzeugen

Druckmessung in Flugzeugen Dynamischer Druck, Pitot. Druck Statischer Druck

Messung des dynamischen und statischen Drucks in einem Gerät: Das Prandtlsche Staurohr Ve Statischer Druck Dynamischer Druck im Staupunkt des Körpers, Pitot-Druck rsu ch

Versuch: Magnus Effekt Unterschiedliche Strömungsgeschwindigkeiten an der Oberfläche! • Druckunterschied an einem in einer Strömung rotierenden Körper • In welcher Richtung wirkt die Kraft?

Versuch: Wasserstrahlpumpe • Die schnell austretenden, versprühenden Wasserteilchen reißen die Luft mit: Die Geschwindigkeit der umgebenden Luft steigt, der Druck fällt

Auftrieb am Flügel • Durch die Form des Flügels ergibt sich ein größerer Weg und deshalb eine höhere Geschwindigkeit an seiner Oberseite • Höherer Druck an der Unterseite Auftrieb

Zusammenfassung • Ideale Flüssigkeiten, ideale Strömung – Bewegung ohne Reibung – Inkompressibel, d. h. überall konstante Dichte • Die Volumenstromstärke – Produkt aus Querschnitt und Fließ-Geschwindigkeit • Die Kontinuitätsgleichung: Erhaltung der Massen bei der Strömung inkompressibler Flüssigkeiten – Die Volumenstromstärken bei Ein- und Austritt sind gleich • „Was reinfließt, fließt auch wieder raus“ • Die Gleichung von Daniel Bernoulli für ideale Strömungen: – In Bereichen großer Strömungsgeschwindigkeit ist der Druck kleiner als in Bereichen kleiner Strömungsgeschwindigkeit

finis So fliegen die Vögel! …und die Flugzeuge