Hoofdstuk 3 Maatstaven voor ligging en spreiding n

Hoofdstuk 3 Maatstaven voor ligging en spreiding n 3. 1. Centrummaten – Gemiddelden n 3. 2. Kwantielen n 3. 3. De spreidingsmaten

Centrummaten het rekenkundig gemiddelde n de mediaan n de modus n bij niet-gegroepeerde waarnemingen bij gegroepeerde waarnemingen of frequentieverdelingen

Eigenschappen van kengetallen voor frequentieverdelingen a. eenduidig gedefinieerd zijn (ondubbelzinnig) b. alle waarnemingen spelen een rol bij de bepaling van het kengetal c. de interpretatie moet eenvoudig en inzichtelijk zijn d. de kengetallen moeten niet al te gevoelig zijn voor steekproeftoevalligheden, maar een grote steekproefstabiliteit bezitten e. met de kengetallen moeten algebraïsche bewerkingen mogelijk zijn

Het rekenkundig gemiddelde Wat? Het rekenkundig gemiddelde van een reeks waarnemingsresutaten is gelijk aan de som van alle resultaten gedeeld door het aantal waarnemingen (dit is de steekproef- of popultieomvang) Symbool: Formule:

Het rekenkundig gemiddelde: eigenschappen (1) n 1. Vermindert men alle waarnemingen met een zelfde getal, dan wordt ook het rekenkundig gemiddelde verminderd met dat getal men mag op de meetschaal een nieuwe oorsprong invoeren n 2. Vermenigvuldigt men alle resultaten met een zelfde getal, dan wordt ook het rekenkundig gemiddelde met dit getal vermenigvuldigd (idem delen) men mag alle resultaten vereenvoudigen

Het rekenkundig gemiddelde: eigenschappen (2) n 3. De som van de afwijking van alle waarnemingsresultaten opzichte van hun rekenkundig gemiddelde is nul Opm. : het rekenkundig gemiddelde wordt in de statistiek altijd berekend op één rang meer dan de waarnemingsresultaten.

Het gewogen rekenkundig gemiddelde (1) Wat? Als niet aan alle waarnemingen een zelfde belang mag gehecht worden, vermenigvuldigt men elke waarde met een wegingsfactor en bepaalt men pas dan het rekenkundig gemiddelde

Het gewogen rekenkundig gemiddelde (2) Voorbeeld: examenuitslagen student D. V. Vakken Resultaat op 10 studiepunten Economie 5 6 Statistiek 7 3 Recht 9 4 Rekenkundig gemiddelde: Gewogen rek. gemiddelde:

Het rekenkundig gemiddelde van gegroepeerde gegevens Formule: De klassemiddens worden representatief voor elke klasse: alle frequenties worden vermenigvuldigd met de overeenkomende klassemiddens

Centrummaten het rekenkundig gemiddelde n de mediaan n de modus n bij niet-gegroepeerde waarnemingen bij gegroepeerde waarnemingen of frequentieverdelingen

De mediaan (1) Wat? De mediaan van een reeks waarnemingsresultaten is de middelste van de naar grootte gerangschikte resultaten. De mediaan verdeelt een reeks resultaten in twee gelijke groepen: aantal waarden < Me = aantal waarden > Me Symbool: Me Synoniem: midscore

De mediaan (2) n n n bij oneven aantal waarnemingen: Me = middelste van naar grootte gerangschikte bij even aantal waarnemingen: Me = rek. gemiddelde van middelste twee Bij gegroepeerde frequentieverdelingen: n n Me = tweede kwartiel (Q 2) mediaanklasse: zie cumulatief frequentiehistogram

De modus Wat? De modus van een reeks waarnemingsresultaten is de waarneming die het meest voorkomt (= de uitslag met de hoogste frequentie) Symbool: Mo Opmerkingen: n n n hebben alle resultaten in een reeks dezelfde frequentie, dan is er geen modus de modus is de enige centrummaat ook te gebruiken voor kwalitatieve kenmerken unimodale, bimodale, multimodale verdelingen

De modus bij gegroepeerde waarnemingen (1) n n de modale klasse is de klasse met de hoogste frequentie nauwkeuriger: f = frequentie modale klasse fl = frequentie (lagere) voorgaande klasse fh= frequentie (hogere) volgende klasse b = benedengrens modale klasse i = klasse-interval

De modus bij gegroepeerde waarnemingen (2) Grafische bepaling van de modus bij frequentieverdelingen: m od al e kl as s e Mo

Eigenschappen van kengetallen voor frequentieverdelingen a. eenduidig gedefinieerd zijn (ondubbelzinnig) b. alle waarnemingen spelen een rol bij de bepaling van het kengetal c. de interpretatie moet eenvoudig en inzichtelijk zijn d. de kengetallen moeten niet al te gevoelig zijn voor steekproeftoevalligheden, maar een grote steekproefstabiliteit bezitten e. met de kengetallen moeten algebraïsche bewerkingen mogelijk zijn

Keuze van de centrummaten (1) + Rekenkundig voldoet in alle opzichten als gemiddelde centrummaat gevoelig voor uitbijters eign: a, b, c, d, e Mediaan Modus ongevoelig voor kleine steekproefuitbijters stabiliteit algebraïsch weinig mogelijkheden eign: a, b, c snel te bepalen eign: a, c nagenoeg geen positieve eigenschappen

Keuze van de centrummaten (2) De keuze hangt af van: n het meetniveau n de scheefheid van de verdeling n extreme waarden

Keuze centrummaat in functie van het meetniveau ratio Rek. gemidd. Mediaan Modus interval ordinaal nominaal

Keuze van de centrummaten (3) De keuze hangt af van: n het meetniveau n de scheefheid n mogelijke extreme waarden

Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (1 a) n Symmetrische verdelingen normale verdelingen b. v. IQ-scores, de meeste natuurlijke verschijnselen

Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (1 b) n Bimodale symmetrische verdelingen Mo 1 Mo 2

Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (2) n Scheef naar links (negatief scheef) b. v. lichaamsgewicht mannelijke 40 -plussers in België Mo staart

Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (3) n Scheef naar rechts (positief scheef) b. v. belastbaar inkomen Belgische bevolking in € Mo staart

Keuze van de centrummaten (4) De keuze hangt af van: n het meetniveau n de scheefheid n mogelijke extreme waarden

Keuze centrummaat in functie van mogelijke extreme waarden Extreme waarden (= uitbijters): beïnvloeden het gemiddelde de mediaan is hier beter geschikt dan het rekenkundig gemiddelde Voorbeeld: 1 2 2 3 4 5 5 7 9 118 = 15, 6 Me= 4, 5

Hoofdstuk 3 Maatstaven voor ligging en spreiding n 3. 1. Centrummaten – Gemiddelden n 3. 2. Kwantielen n 3. 3. De spreidingsmaten

Kwantielen Wat? Kwantielen verdelen een frequentieverdeling in een aantal gelijke stukken (= stukken met gelijke frequentie) Doel? Kwantielen dienen om een uitkomst te situeren ten opzichte van andere uitkomsten

Kwantielen (2) Soorten kwantielen: n Kwartielen: Q 1, Q 2 , Q 3 verdelen de frequentieverdeling in 4 gelijke intervallen, elk met 25% van de uitkomsten n Decielen: D 1, D 2 , … , D 9 verdelen de frequentieverdeling in 10 gelijke intervallen, elk met 10% van de uitkomsten n Percentielen: P 01, P 02 , … , P 99 verdelen de frequentieverdeling in 100 gelijke intervallen, elk met 1% van de uitkomsten

Kwantielen (3) De interkwartielafstand (IKA) geeft de range aan van de middelste helft van de resultaten. De IKA is ongevoelig voor uitbijters.

Percentiel percentiele rang n percentiel (P) b. v. P 57 = 173, 5 cm 57% van de resultaten zijn kleiner of gelijk aan 173, 5 cm n percentiele rang (p) b. v. p 168 cm = 48, 3% een lengte van 168 cm komt overeen met de 48, 3% kleinste resultaten

5 -getallen-résumé Een frequentieverdeling kan omschreven worden met 5 kengetallen:

Boxplot (boxdiagram) Een boxplot is de grafische voorstelling van het 5 -getallen-résumé: n n n de randen van de box: Q 1 (bodem) Q 3 (deksel) het tussenschot in de box: Me twee « bakkebaarden » : van de box tot aan Xmin en Xmax Doel: een snelle vergelijking van verschillende frequentieverdelingen

Boxplot (5 -getallen-résumé) Xmax Q 3 Me Q 1 Xmin

Vergelijking boxplots

Grafische bepaling van kwantielen 96 percentiel: P 27 = 133 27 percentiele rang: 133 528 P 528 = 96%

Hoofdstuk 3 Maatstaven voor ligging en spreiding n 3. 1. Centrummaten – Gemiddelden n 3. 2. Kwantielen n 3. 3. De spreidingsmaten

Spreiding, dispersie, variatie 3 invalshoeken: n de verschillen tussen de uitkomsten onderling n de range op de meetschaal, waarbinnen een bepaald percentage van het totaal aantal waarnemingen ligt n de verschillen tussen de uitkomsten en de centrummaten

De variatiebreedte of de range (1) Wat? het verschil tussen de uiterste resultaten Voordelen: zeer snel en eenvoudig te bepalen Nadeel: maximaal beïnvloed door uitbijters

De variatiebreedte of de range (2) Bij gegroepeerde gegevens is de range:

De interkwartielafsand (IKA) Beter dan de range: Voordeel: totaal ongevoelig voor uitbijters! Ook: IDA = interdecielafstand (D 9 – D 1)

Spreiding, dispersie, variatie 3 invalshoeken: n de verschillen tussen de uitkomsten onderling n de range op de meetschaal, waarbinnen een bepaald percentage van het totaal aantal waarnemingen ligt n de verschillen tussen de uitkomsten en de centrummaten

Spreiding Algemeen: de afstand tussen een centrummaat C en de waarnemingsresultaten Xi Spreiding: waarin

De gemiddelde absolute afwijking Wat? het gemiddeld verschil tussen elke uitslag en het rekenkundig gemiddelde van alle uitslagen Symbool: Formule: voor gegroepeerde gegevens: Xi mi

De variantie en de standaardafwijking Wat? de variantie van een reeks uitslagen geeft aan in hoeverre deze afwijken van het gemiddelde Symbool: Formule: mi

De standaardafwijking (1) Variantie: wordt uitgedrukt in de tweede macht van de meeteenheid de standaardafwijking is de vierkantswortel uit de variantie de standaardafwijking is de belangrijkste spreidingsmaat in de statistiek

De standaardafwijking (2) Formule: of f i. m i² voor gegroepeerde gegevens: Xi fi. mi

De standaardafwijking (3) De standaardafwijking is de meest gebruikte spreidingsmaat: n normale verdelingen worden gekarakteriseerd door het rekenkundig gemiddelde en de standaardafwijking in een Gauss-curve is de afstand van de buigpunten tot de symmetrieas steeds gelijk aan de standaardafwijking in een normale verdeling ligt steeds een zelfde percentage van de waarnemingen tussen het gemiddelde vermeerderd/verminderd met 1, 2 of 3 keer de standaardafwijking

Normale verdelingen (1) b. v. N(63; 12, 7) % 6 1

Normale verdelingen (2) vlakke normale verdeling spitse normale verdeling

Normale verdelingen (3) 156 164 172 180 188 196 204 cm 150 157 164 171 178 185 192 cm NL B

De variatiecoëfficiënt Wat? Een relatieve spreidingsmaat, onafhankelijk van de meeteenheid, om de spreiding van verschillende steekproeven te vergelijken Symbool: Formule: De standaardafwijking wordt uitgedrukt in verhouding tot het rekenkundig gemiddelde