Generacin de Nmeros SeudoAleatorios En la prctica ninguna

Generación de Números Seudo-Aleatorios En la práctica ninguna función produce datos aleatorios verdaderos. Las funciones producen números pseudo-aleatorios. 1

Generación de Números Seudo-Aleatorios Un elemento importante en simulación es tener rutinas que generen variables aleatorias con distribuciones específicas: uniforme, normal, etc. Para ello la base es generar una secuencia de números aleatorios distribuidos uniformemente entre 0 y 1. 2 Y para ello la clave es generar números enteros aleatorios y uniformemente distribuidos en un cierto intervalo de una manera eficiente.

Técnicas para generar números aleatorios La mayoría de los métodos (generadores) comienzan con un número inicial (semilla), a este número se le aplica un determinado procedimiento y así se encuentra el primer número random. Usando este número como entrada, el procedimiento es repetido para lograr un próximo número random. 3

Técnicas para generar números aleatorios Método Del Cuadrado Medio: comienza con un número inicial (semilla). Este número es elevado al cuadrado. Se escogen los dígitos del medio de este nuevo número (según los dígitos que se deseen) y se colocan después del punto decimal. Este número conforma el primer número random. 4 Ejemplo: X 0 = 5497 X 02 = (5497)2 = 30, 217, 009 ===> X 1 = 2170 R 1 = 0. 2170 X 12 = (2170)2 = 04, 708, 900 ===> X 2 = 7089 R 2 = 0. 7089 X 22 = (7089)2 = 50, 253, 921 ===> X 3 = 2539

Operación mod l k mod m es el residuo de hacer la división de k entre m Sea x un entero grande 45 mod 12 = (5+55 x) mod 5 = (5+55 x) mod 11 = 5

Método de la Congruencia Lineal 6

7 El número aleatorio se encuentra de la siguiente manera: R = x / m

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Ejercicio 1 9 Usar Excel para calcular los números aleatorios que se producen para m = 15, a = 12 y c = 0 con las semillas x 0 = 0, hasta 14.

Ejercicio Usar Excel para calcular los números aleatorios que se producen para m = 15, a = 12 y c = 0 con las semillas x 0 = 0, hasta 14. Para x 0 = 1: ¿Cuál es el período, la longitud es del ciclo y la longitud de la cola ? . R: 5, 4, 1. 10

Ejercicio 11 Usar Excel para calcular los números aleatorios que se producen para m = 15, a = 12 y c = 0 con las semillas x 0 = 0, hasta 14.

GCL Multiplicativos Periodo completo = Cuando tiene el máximo periodo posible, m – 1. Los hay con m potencia de 2 (m = 2 k ) que son rápidos pues el residuo en divisiones con potencia de 2 puede hacerse rápidamente. Aunque tienen la desventaja que no son de periodo completo pueden ser suficientes para muchas aplicaciones. 12 Cuando m no es potencia de 2 el generador es menos rápido; se acostumbra elegir un número m que sea primo y la relación entre m y a debe ser especial para que el generador tenga un periodo completo o al menos grande.

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Ejercicio 2 Suponiendo que se utilice el generador de números seudo-aleatorios. y que la semilla se escoge eligiendo al azar un entero entre 1 y 26 − 1 inclusive, determine el promedio de la longitud del periodo y su desviación estándar. 15

Varianza y Desviación Estándar para una muestra de datos. Varianza: Desviación Estándar: 16

Ejercicio 1. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: 2 4 3 5 2 2 0 1 R = Rango 5; Varianza 2. 5536 y Desviación Estándar 1. 5980 2. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: -2 -4 -3 -5 -2 -2 0 -1 R = Rango 5; Varianza 2. 5536 y Desviación Estándar 1. 5980 17 3. Determina el rango, la varianza y la desviación estándar para los siguientes datos: 6 12 9 15 6 6 0 3 R = Rango 15; Varianza 22. 9821 y Desviación Estándar 4. 7940

Ejercicio Frecuentemente se utilizan generadores de números seudoaleatorios en forma encadenada; por ejemplo, el número que sale de xn+1 = (81 ・xn + 121) mod 255 es utilizado por yn+1 = (625 ・ xn+1 + 48) mod 63 18 para producir el número yn+1 que es el que se reporta. Usando la semilla x 0 = 23 y los datos anteriores, determine los primeros 2 números aleatorios generados (y 1 y y 2).

Otro ejercicio Frecuentemente se utilizan generadores de números seudoaleatorios en forma encadenada; por ejemplo, el número que sale de xn+1 = (45 ・xn + 71) mod 127 es utilizado por yn+1 = (125 ・ xn+1 + 11) mod 63 19 para producir el número yn+1 que es el que se reporta. Usando la semilla x 0 = 49 y los datos anteriores, determine los primeros 2 números aleatorios generados (y 1 y y 2).

Probando generadores de números aleatorios Es importante asegurarse de que el generador usado produzca una secuencia suficientemente aleatoria. Para esto se somete el generador a pruebas estadísticas. Si no pasa una prueba, podemos asumir que el generador es malo. Pasar una prueba es una condición necesaria pero no suficiente. Un generador puede pasar una prueba y luego no pasarla si se usa otra semilla u otro segmento del ciclo. 20

¿Cómo sabemos que nuestro generador es bueno? PRUEBAS GRÁFICAS • Gráfica de Serie de Tiempo. • Tablas de frecuencias e histogramas PRUEBA ESTADÍSTICA • Prueba Ji-cuadrada • Usar el ejemplo: xn+1 = (75 ・xn) mod 231 – 1 Con semilla = 1, los primeros 200 números generados. 21

Gráfica de Serie de Tiempo Es importante observar que NO exista ningún patrón o tendencia. 22 xn+1 = (75 ・xn) mod 231 – 1 Con semilla = 1, los primeros 200 números generados

¿Cómo sabemos que nuestro generador es bueno? ¿Cuál de estas series de números parecen venir de un buen generador? 23

Tabla de frecuencias e histograma 24

Números aleatorios entre 0 y 1 f(x) 1, 0 x 1 f(x) = 1 Fun 0, en otro caso ción de d ensi dad de p 1 roba x bilid ad F(x) 0, x < 0 1 F(x) = x, 0 x 1 1, x<1 F un ción d P(X <= x e prob abili ) d ad a c 25 umu lada 1 : x

Números aleatorios entre 0 y 1 * La probabilidad de observar un valor en un particular intervalo es independiente del valor previo observado. * Todo punto en el rango tiene igual probabilidad de ser elegido. * Si el intervalo (0, 1) es dividido en n sub-intervalos de igual longitud, el número esperado de observaciones en cada intervalo es N/n. (N número de observaciones totales). El objetivo de cualquier esquema de generación (generador), es producir una secuencia de números entre 0 y 1 que simule las propiedades ideales de distribución uniforme y de independencia. 26

Prueba estadística Ji-cuadrada Esta es la prueba más comúnmente usada. En general, puede ser usada para cualquier distribución. A partir de un histograma, se comparan las frecuencias observadas con las frecuencias obtenidas de la distribución específica (frecuencias esperadas). 27

Prueba estadística Ji-cuadrada n Hipótesis nula. Ho: no hay diferencia entre frecuencias observadas y esperadas. n Hipótesis alternativa. Ha o H 1 : existe una diferencia entre frecuencias observadas y esperadas. Estadístico de prueba: 28 Si el ajuste es exacto, c 02 es cero, pero por aleatoriedad no lo será. Se puede demostrar que tiene distribución ji-cuadrado con k-1 grados de libertad.

Distribución Ji-cuadrada 29 Ejercicio: Determine el 95º percentil de la distribución ji-cuadrada con 6 grados de libertad.

Prueba estadística Ji-cuadrada Los grados de libertad son iguales a: número de filas - 1 Región de Rechazo: 30 En esta prueba se debe cuidar que las frecuencias esperados sean mayores o iguales a 5.

Prueba estadística Ji-cuadrada Ejercicio 3 Generador: xn+1 = (75 ・xn) mod 231 – 1 Con semilla = 1, los primeros 200 números generados. Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores vienen de una distribución uniforme. Usar nivel de significancia = 0. 05 n Ho: Los valores provienen de una distribución uniforme. n Ha: Los valores NO provienen de una distribución uniforme. 31

Prueba estadística Ji-cuadrada Ejercicio 3 Estadístico de prueba 32

Prueba estadística Ji-cuadrada Ejercicio 3 Región de Rechazo: 33 2. 8 no es mayor que 16. 919, por lo que el estadístico de prueba NO cae en la región de rechazo. Conclusión: Ho NO se rechaza. Los valores generados sí parecen venir de una distribución uniforme

Ejercicio 4 Generador: xn+1 = (57 ・xn) mod 215 – 1 Con semilla = 1, considere los primeros 100 números generados entre 0 y 1. Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores vienen de una distribución uniforme. Usar 10 intervalos. Usar nivel de significancia = 0. 05. 34

Ejercicio 5 Usando el método del cuadrado medio y semilla = 5896, se generaron los primeros 80 números aleatorios. Realizar la prueba estadística jicuadrada para probar si los valores provienen de una distribución uniforme. Usar 8 intervalos y un nivel de significancia = 0. 05. 35

Ejercicio 6 Generador: xn+1 = (57 ・xn) mod 215 – 1 Con semilla = 14, considere los primeros 100 números generados entre 0 y 1. Realizar la prueba estadística ji-cuadrada para probar si los valores vienen de una distribución uniforme. Usar 8 intervalos. Usar nivel de significancia = 0. 05. 36

Generación de variables aleatorias discretas Suponga que un determinado fenómeno aleatorio tiene la siguiente distribución de probabilidad: 37 0 R 0. 3 entonces x = 18 grs. 0. 3 < R 0. 7 entonces x = 19 grs. 0. 7 < R 1 entonces x = 20 grs. Para esto, se necesitan números aleatorios R entre 0 y 1.

Ejercicio 7 Usar el generador: xn+1 = (57 ・xn) mod 215 – 1 Con semilla = 1. a) Generar 100 valores de la distribución: 38 b) Utilizar la prueba ji-cuadrada para decidir si los valores generados realmente parecen tener la distribución de probabilidad anterior (a = 0. 05). c) Usar 20 semillas y observar en cuántos casos la prueba se rechaza.

Números aleatorios con distribución normal En Excel. =NORMINV(RAND(), 500, 50) aleatorio entre 0 y 1 media desv. std. (puedes usar tu propio generador) 39

Ejercicio 8 Usar el generador: xn+1 = (59 ・xn) mod 217 – 1 Con semilla = matrícula menor del equipo. a) Generar 500 valores de la distribución uniforme continua entre 0 y 1 con el generador. b) Usar esos valores para generar 500 números aleatorios de la distribución normal con media 100 y desviación estándar 16 (distribución del puntaje de IQ). c) Utilizar la prueba ji-cuadrada para decidir si los valores generados realmente parecen tener la distribución normal (a = 0. 01). En la tabla de frecuencias, calcular a mano 3 frecuencias esperadas (mostrar procedimiento usando editor de ecuaciones). Escribir conclusión (sí o no se trata de un buen generador de números normales). d) Construir el histograma de frecuencias observadas y el histograma de frecuencias esperadas. 40 e) Usar 20 semillas y observar en cuántos casos la prueba se rechaza. Indicar qué semillas se usaron y cuál fue el valor del estadístico en cada caso.