Gazdasgmatematika 6 szeminrium Maximlis folyam minimlis vgs Maximlis

Maximális folyam probléma A probléma ◦ Hogyan lehet egy adott pontból egy adott pontba

Maximális folyam probléma Fogalmak ◦ Forrás (Source): a kiindulási pont ◦ Nyelő (Sink): a

Élek tulajdonságai Az (i, j) élen átmenő folyam kisebb az él kapacitásánál. Ebben az

A Ford-Fulkerson algoritmus Címkézzük meg a forrást Címkézzük meg a csúcsokat és az éleket

A Ford-Fulkerson algoritmus Folytassuk ezt a címkézési eljárást, amíg a nyelő címkét nem kap,

A Ford-Fulkerson algoritmus ◦ Nem minden él előremenő él, akadnak hátramenőek is. Ekkor vegyük

Feladat – korábbi ZH Adja meg a maximális folyamot! (0) 3 (0) 5 (0)

Feladat – korábbi ZH (0) 3 (0) 5 (0) 1 (0) 7 F (0)

Feladat – korábbi ZH (0) 3 (0) 5 (0) 1 (5) 7 F (0)

Feladat – korábbi ZH (0) 3 (1) 5 (1) 1 (5) 7 F (1)

Feladat – korábbi ZH (1) 3 (2) 5 (1) 1 (5) 7 F (1)

Feladat – korábbi ZH (1) 3 (2) 5 (1) 1 (7) 7 F (3)

Feladat – korábbi ZH (3) 3 (4) 5 (1) 1 (7) 7 F (5)

Feladat – korábbi ZH (3) 3 (4) 5 (1) 1 (7) 7 F (7)

Feladat – korábbi ZH (3) 3 (4) 5 (1) 1 (7) 7 F (8)

Feladat – korábbi ZH Adja meg a maximális folyamot! (3) 3 (4) 5 (1)

Feladat – korábbi ZH Sorolja fel az összes olyan élt, amelyre igaz, hogy az

Feladat – korábbi ZH (1, 4) (3) 3 (4) 5 (1) 1 (7) 7

A vágás definíciója Legyen V’ egy hálózat csúcsainak tetszőleges olyan halmaza, amelyik tartalmazza a

Fontos tétel A maximális folyam értéke = A minimális vágás értéke

Feladat – korábbi ZH Adjon meg egy minimális vágást! (Sorolja fel a vágás éleit!)

Feladat – Winston 7. 3 Adja meg a maximális folyamot! Adjon meg egy minimális

Feladat – Korábbi ZH 4 D 4 1 A 10 2 F 3 E

A kritikus út probléma Critical Path Method (CPM) A probléma ◦ Mekkora az egyes

A kritikus út probléma Feltételek ◦ Az 1 -es csúcs jelzi a projekt kezdetét.

A kritikus út probléma Feltételek ◦ Egy tevékenységet csak egy él reprezentál. ◦ Két

A kritikus út probléma A 1 C 2 B A 1 3 B 2

A kritikus út probléma - fogalmak Tevékenység időtartama – tij Tevékenység előzményei: ◦ Olyan

A kritikus út probléma - fogalmak Késői időzítés (Late Event Time) - LT(i) ◦

A korai időzítés algoritmusa Keressük meg az i csúcsba mutató élek kezdő csúcspontjait. Ezek

Feladat – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját

Megoldás – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját

A késői időzítés algoritmusa Keressük meg azokat a csúcsokat, amelyekbe megy él az i

A kritikus út probléma - fogalmak Tevékenység tűréshatára - TH(i, j) ◦ Az a

A kritikus út probléma - fogalmak Kritikus tevékenység ◦ Egy nulla tűréshatárral rendelkező tevékenységet

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek tűréshatárát! Tevékenységek A B C

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek tűréshatárát! Tevékenységek Él (i, j)

Megoldás – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek tűréshatárát! Tevékenységek Él (i, j)

Feladat – Korábbi ZH Adjon meg egy kritikus utat (az érintett tevékenységek sorozatát! Tevékenységek

A kritikus út probléma - fogalmak Tevékenység mozgáshatára – MH(i, j) ◦ Egy tevékenység

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek mozgáshatárát! Tevékenységek Él (i, j)

Megoldás – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek mozgáshatárát! Tevékenységek Él (i, j)

Feladat (2) – Korábbi ZH 4 J 8 1 A 7 D 4 2

Feladat (2) – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési

Slides: 132

Download presentation

Gazdaságmatematika 6. szeminárium

Maximális folyam, minimális vágás

Maximális folyam

Maximális folyam probléma A probléma ◦ Hogyan lehet egy adott pontból egy adott pontba a lehető legnagyobb mennyiséget eljuttatni? Feltételek ◦ A hálózat minden éle irányított ◦ Mindegyik élnek adott a (nemnegatív) kapacitása

Maximális folyam probléma Fogalmak ◦ Forrás (Source): a kiindulási pont ◦ Nyelő (Sink): a végpont ◦ Előremenő él ◦ Hátramenő él Folyam-megőrzési megkötés ◦ Egy adott pontba ami befolyik az ki is fog folyni (kivéve a forrást és a nyelőt)

Élek tulajdonságai Az (i, j) élen átmenő folyam kisebb az él kapacitásánál. Ebben az esetben az (i, j) élen átmenő folyam növelhető. Jelölje I az ezzel a tulajdonsággal rendelkező élek halmazát. Az (i, j) élen átmenő folyam pozitív. Ebben az esetben az (i, j) élen átmenő folyam csökkenthető. Jelölje R az ezzel a tulajdonsággal rendelkező élek halmazát.

A Ford-Fulkerson algoritmus Címkézzük meg a forrást Címkézzük meg a csúcsokat és az éleket a következő szabályok szerint: ◦ Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (x, y) él az I eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (x, y) élt. (Előremenő él) ◦ Ha az x csúcs már kapott címkét, de az y csúcs még nem, és az (y, x) él az R eleme, akkor címkézzük meg az y csúcsot és az (y, x) élt. (Hátramenő él)

A Ford-Fulkerson algoritmus Folytassuk ezt a címkézési eljárást, amíg a nyelő címkét nem kap, vagy további csúcsokat már nem lehet címkével ellátni Ekkor két eset fordulhat elő: ◦ Minden él előremenő él. Vizsgáljuk meg, hogy az egyes élek mennyivel kapacitásai bővíthetőek. Vegyük ezek minimumát, majd bővítsük vele a folyam minden élét.

A Ford-Fulkerson algoritmus ◦ Nem minden él előremenő él, akadnak hátramenőek is. Ekkor vegyük az előremenő élek bővíthetőségének minimumát és a hátramenő élek csökkenthetőségének minimumát. Válasszuk ezek közül a kisebbet, és bővítsünk ennyivel minden előremenő élt, valamint csökkentsünk ennyivel minden hátramenő élt. Ismételjük az algoritmust. Ha a nyelőt nem tudjuk megcímkézni, akkor a jelenlegi folyam optimális.

Feladat – korábbi ZH Adja meg a maximális folyamot! (0) 3 (0) 5 (0) 1 (0) 7 F (0) 9 (0) 4 2 (0) 4 4 1 NY (0) 1 (0) 5 (0) 6 3 (0) 4 5

Feladat – korábbi ZH (0) 3 (0) 5 (0) 1 (0) 7 F (0) 9 (0) 4 2 (0) 4 4 1 NY (0) 1 (0) 5 (0) 6 3 (0) 4 5

Feladat – korábbi ZH (0) 3 (0) 5 (0) 1 (5) 7 F (0) 9 (0) 4 2 (0) 4 4 1 NY (0) 1 (5) 5 (5) 6 3 (0) 4 5

Feladat – korábbi ZH (0) 3 (1) 5 (1) 1 (5) 7 F (1) 9 (1) 4 2 (0) 4 4 1 NY (0) 1 (5) 5 (5) 6 3 (0) 4 5

Feladat – korábbi ZH (1) 3 (2) 5 (1) 1 (5) 7 F (1) 9 (0) 4 2 (1) 4 (0) 4 4 1 NY (0) 1 (5) 5 (6) 6 3 (1) 4 5

Feladat – korábbi ZH (1) 3 (2) 5 (1) 1 (7) 7 F (3) 9 (2) 4 2 (1) 4 (0) 4 4 1 NY (0) 1 (5) 5 (6) 6 3 (1) 4 5

Feladat – korábbi ZH (3) 3 (4) 5 (1) 1 (7) 7 F (5) 9 (2) 4 2 (1) 4 (0) 4 4 1 NY (0) 1 (5) 5 (6) 6 3 (1) 4 5

Feladat – korábbi ZH (3) 3 (4) 5 (1) 1 (7) 7 F (7) 9 (4) 4 2 (1) 4 (2) 4 4 1 NY (0) 1 (3) 5 (6) 6 3 (3) 4 5

Feladat – korábbi ZH (3) 3 (4) 5 (1) 1 (7) 7 F (8) 9 (4) 4 2 (1) 4 (3) 4 4 1 NY (1) 1 (3) 5 (6) 6 3 (4) 4 5

Feladat – korábbi ZH Adja meg a maximális folyamot! (3) 3 (4) 5 (1) 1 (7) 7 F (8) 9 (4) 4 2 (1) 4 (3) 4 4 1 NY (1) 1 (3) 5 (6) 6 3 (4) 4 14 5

Feladat – korábbi ZH Sorolja fel az összes olyan élt, amelyre igaz, hogy az adott él kapacitását növelve, ugyanakkor a többi él kapacitását változatlanul hagyva, a maximális folyam értéke növekszik!

Feladat – korábbi ZH (1, 4) (3) 3 (4) 5 (1) 1 (7) 7 F (8) 9 (4) 4 2 (1) 4 (3) 4 4 1 NY (1) 1 (3) 5 (6) 6 3 (4) 4 5

Minimális vágás

A vágás definíciója Legyen V’ egy hálózat csúcsainak tetszőleges olyan halmaza, amelyik tartalmazza a nyelőt, de nem tartalmazza a forrást. Ekkor a hálózat olyan (i, j) éleinek halmaza, amelyek i kezdőpontja nem V’-beli, a j végpontja viszont V’-beli egy vágás a hálózatban. Egy vágás kapacitása alatt a vágást alkotó élek kapacitásainak összegét értjük.

Fontos tétel A maximális folyam értéke = A minimális vágás értéke

Feladat – korábbi ZH Adjon meg egy minimális vágást! (Sorolja fel a vágás éleit!) 1 (4) 5 (1) 1 (7) 7 F (3) 3 (8) 9 (4) 4 2 (1) 4 (3) 4 4 NY (1) 1 (3) 5 (6) 6 3 (4) 4 5

Feladat – Winston 7. 3 Adja meg a maximális folyamot! Adjon meg egy minimális vágást! 1 (0) 2 (0) 7 F (0) 8 (0) 3 (0) 2 2 NY (0) 2 (0) 5 3

Kritikus út

Feladat – Korábbi ZH 4 D 4 1 A 10 2 F 3 E 4 B 5 G 2 5 6 0 H 5 C 2 3 I 1 7

A kritikus út probléma Critical Path Method (CPM) A probléma ◦ Mekkora az egyes események bekövetkezésének legkorábbi és legkésőbbi időpontja? ◦ Mennyi idő alatt fejeződhet be a projekt? ◦ Melyik tevékenységeknek kell mindenképpen időben elkezdődniük és melyik tevékenységek csúszhatnak?

A kritikus út probléma Feltételek ◦ Az 1 -es csúcs jelzi a projekt kezdetét. Az előzmény nélküli tevékenységeket az 1 -es csúcsból kiinduló élekkel jelenítjük meg. ◦ A hálózat tartalmazza a befejezés csúcsot. ◦ A számozás úgy történik, hogy egy tevékenység végét mutató csúcs száma mindig nagyobb, mint a kezdetét mutató csúcsé.

A kritikus út probléma Feltételek ◦ Egy tevékenységet csak egy él reprezentál. ◦ Két csúcs között legfeljebb egy él mehet.

A kritikus út probléma A 1 C 2 B A 1 3 B 2 C Fiktív tevékenység, időtartama: 0

A kritikus út probléma - fogalmak Tevékenység időtartama – tij Tevékenység előzményei: ◦ Olyan tevékenységek, amelyeknek be kell fejeződniük ahhoz, hogy az adott tevékenység elkezdődhessen. Korai időzítés (Early Event Time) - ET(i) ◦ Az a legkorábbi időpont, amikor a csúcshoz tartozó esemény bekövetkezhet. (számítása a projekt kezdeténél kezdődik)

A kritikus út probléma - fogalmak Késői időzítés (Late Event Time) - LT(i) ◦ Az a legkésőbbi időpont, amikor a csúcshoz tartozó esemény bekövetkezhet anélkül, hogy a projekt befejezését késleltetné. (számítása a projekt befejezésénél kezdődik)

A korai időzítés algoritmusa Keressük meg az i csúcsba mutató élek kezdő csúcspontjait. Ezek az események az i esemény közvetlen előzményei. Az i esemény mindegyik közvetlen előzményének ET értékéhez adjuk hozzá az előzményből az i-be vezető élhez tartozó tevékenység időtartamát. ET(i) egyenlő az előző lépésben számított értékek maximumával.

Feladat – Korábbi ZH 4 D 4 1 A 10 2 F 3 E 4 B 5 G 2 5 6 0 H 5 C 2 3 I 1 7

Feladat – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 2 3 4 5 6 7

Feladat – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 2 3 4 5 6 7 0

Feladat – Korábbi ZH 4 D 4 1 A 10 2 F 3 E 4 B 5 G 2 5 6 0 H 5 C 2 3 I 1 7

Feladat – Korábbi ZH 4 D 4 1 A 10 2 F 3 E 4 B 5 G 2 5 6 0 H 5 C 2 3 0 + 10 = 10 I 1 7

Feladat – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 0 2 10 3 4 5 6 7

Feladat – Korábbi ZH 4 D 4 1 A 10 2 F 3 E 4 B 5 G 2 5 6 0 H 5 C 2 3 I 1 7

Megoldás – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 0 2 10 3 12 4 14 5 18 6 20 7 21

A késői időzítés algoritmusa Keressük meg azokat a csúcsokat, amelyekbe megy él az i csúcsból. Ezek az események az i esemény közvetlen követői (utódai). Az i esemény mindegyik közvetlen utódjának LT értékéből vonjuk le az iből az utódba vezető élhez tartozó tevékenység időtartamát. LT(i) egyenlő az előző lépésben számított értékek minimumával.

Feladat – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 0 2 10 3 12 4 14 5 18 6 20 7 21 21

Feladat – Korábbi ZH 4 D 4 1 A 10 2 F 3 E 4 B 5 G 2 5 6 0 H 5 C 2 3 I 1 7

Feladat – Korábbi ZH 4 D 4 1 A 10 2 F 3 E 4 B 5 G 2 5 6 0 H 5 C 2 3 21 – 1 = 20 I 1 7

Feladat – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 0 2 10 3 12 4 14 5 18 6 20 20 7 21 21

Feladat – Korábbi ZH 4 D 4 1 A 10 2 F 3 E 4 B 5 G 2 5 6 0 H 5 C 2 3 I 1 7

Megoldás – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját a táblázat kitöltésével! Események ET LT 1 0 0 2 10 10 3 12 15 4 14 14 5 18 18 6 20 20 7 21 21

A kritikus út probléma - fogalmak Tevékenység tűréshatára - TH(i, j) ◦ Az a szám, amennyivel a tevékenység elkezdése a legkorábbi kezdési időpontjától eltolódhat anélkül, hogy a projekt befejezése késedelmet szenvedne. (Feltétel: a többi tevékenység nem csúszik. ) TH(i, j) = LT(j) – ET(i) – tij

A kritikus út probléma - fogalmak Kritikus tevékenység ◦ Egy nulla tűréshatárral rendelkező tevékenységet kritikus tevékenységnek nevezünk. Kritikus út ◦ Egy csupa kritikus tevékenységből álló, a kezdés csúcsból a befejezés csúcsba vezető utat kritikus útnak hívunk.

Feladat – Korábbi ZH 4 D 4 1 A 10 2 F 3 E 4 B 5 G 2 5 6 0 H 5 C 2 3 I 1 7

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek tűréshatárát! Tevékenységek A B C D E F G H I Él (i, j) TH(i, j)

Feladat – Korábbi ZH 4 D 4 1 A 10 2 F 3 E 4 B 5 G 2 5 6 0 H 5 C 2 3 I 1 7

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek tűréshatárát! Tevékenységek Él (i, j) A (1, 2) B (2, 5) C (2, 3) D (2, 4) E (4, 5) F (4, 6) G (5, 6) H (3, 6) I (6, 7) TH(i, j)

Feladat – Korábbi ZH 4 D 4 1 A 10 2 F 3 E 4 B 5 G 2 5 6 0 H 5 C 2 3 I 1 7

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek tűréshatárát! Tevékenységek Él (i, j) A (1, 2) B (2, 5) C (2, 3) D (2, 4) E (4, 5) F (4, 6) G (5, 6) H (3, 6) I (6, 7) TH(i, j) 18 -14 -4=0

Megoldás – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek tűréshatárát! Tevékenységek Él (i, j) TH(i, j) A (1, 2) 10 -0 -10=0 B (2, 5) 18 -10 -5=1 C (2, 3) 15 -10 -2=3 D (2, 4) 14 -10 -4=0 E (4, 5) 18 -14 -4=0 F (4, 6) 20 -14 -3=3 G (5, 6) 20 -18 -2=0 H (3, 6) 20 -12 -5=3 I (6, 7) 21 -20 -1=0

Feladat – Korábbi ZH Adjon meg egy kritikus utat (az érintett tevékenységek sorozatát! Tevékenységek Él (i, j) TH(i, j) A (1, 2) 10 -0 -10=0 B (2, 5) 18 -10 -5=1 D (2, 4) 14 -10 -4=0 E (4, 5) 18 -14 -4=0 F (4, 6) 20 -14 -3=3 G (5, 6) 20 -18 -2=0 H (3, 6) 20 -12 -5=3 I (6, 7) 21 -20 -1=0 C Kritikus út: (2, 3)A, D, E, G, I 15 -10 -2=3

A kritikus út probléma - fogalmak Tevékenység mozgáshatára – MH(i, j) ◦ Egy tevékenység mozgáshatára az a szám, amennyivel a tevékenység elkezdése (vagy időtartama) elhúzódhat anélkül, hogy ezzel bármelyik későbbi tevékenység kezdési időpontja a legkorábbi kezdési időpontjánál későbbre tolódna. MH(i, j) = ET(j) – ET(i) – tij

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek mozgáshatárát! Tevékenységek Él (i, j) A (1, 2) B (2, 5) C (2, 3) D (2, 4) E (4, 5) F (4, 6) G (5, 6) H (3, 6) I (6, 7) MH(i, j)

Feladat – Korábbi ZH 4 D 4 1 A 10 2 F 3 E 4 B 5 G 2 5 6 0 H 5 C 2 3 I 1 7

Feladat – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek mozgáshatárát! Tevékenységek Él (i, j) A (1, 2) B (2, 5) C (2, 3) D (2, 4) E (4, 5) F (4, 6) G (5, 6) H (3, 6) I (6, 7) MH(i, j) 18 -14 -4=0

Megoldás – Korábbi ZH Adja meg az egyes tevékenységek mozgáshatárát! Tevékenységek Él (i, j) MH(i, j) A (1, 2) 10 -0 -10=0 B (2, 5) 18 -10 -5=3 C (2, 3) 12 -10 -2=0 D (2, 4) 14 -10 -4=0 E (4, 5) 18 -14 -4=0 F (4, 6) 20 -14 -3=3 G (5, 6) 20 -18 -2=0 H (3, 6) 20 -15 -5=0 I (6, 7) 21 -20 -1=0

Feladat (2) – Korábbi ZH 4 J 8 1 A 7 D 4 2 F 3 E 4 B 7 G 2 5 6 0 H 5 C 4 3 I 1 7

Feladat (2) – Korábbi ZH Határozza meg az egyes események legkorábbi és legkésőbbi bekövetkezési időpontját! Adjon meg egy kritikus utat (az érintett tevékenységek sorozatát)! Mekkora a H tevékenység tűréshatára? Mekkora a H tevékenység mozgáshatára?