Expresiones Regulares Curso de Compiladores Preparado por Manuel

Expresiones Regulares Curso de Compiladores Preparado por Manuel E. Bermúdez, Ph. D. Associate Professor University of Florida

Expresiones Regulares • Una descripción compacta y fácil de leer de un lenguaje regular. • Usamos operadores para denotar constructores de lenguajes, y construir lenguajes complejos a partir de lenguajes “atómicos” sencillos.

Expresiones Regulares Definición: Una expresión regular sobre un alfabeto Σ se define recursivamente: 1. 2. 3. 4. 5. 6. ø denota el lenguaje ø ε denota el lenguaje {ε} a denota el lenguaje {a}, para todo a Σ. (P + Q) denota L(P) U L(Q), donde P, Q son e. r. ’s. (PQ) denota L(P)·L(Q), donde P, Q son e. r. ’s. P* denota L(P)*, donde P is una e. r. Para evitar paréntesis excesivos, asumimos asociatividad izquierda, con la siguiente precedencia (de mayor prioridad a menor prioridad): *, ·, +

Expresiones Regulares Ejemplos: (O + 1)*: una hilera de O’s y 1’s. (O + 1)*1: una hilera de O’s y 1’s, que termina en 1. 1*O 1*: una hilera de 1’s con un O insertado. Letter (Letter + Digit)*: un identificador. Digit*: un entero. Quote Char* Quote: una hilera. † # Char* Eoln: un comentario. † {Char*}: otro comentario. † † Assumiendo que Char no contiene ‘Quote’, eoln, o ‘}’.

Expresiones Regulares Conversión de gramática lineal derecha a expresión regular Ejemplo: S → a. S → b. R →ε R → a. S ¿ Qué significa S → a. S ? L(S) {a}·L(S) S → b. R significa L(S) {b}·L(R) S → ε significa L(S) {ε}

Expresiones Regulares Juntas (las tres opciones de S) significan que L(S) = {a}·L(S) + {b}·L(R) + {ε} o bien, S = a. S + b. R + ε Similarmente, R → a. S significa que R = a. S. Entonces, S = a. S + b. R + ε R = a. S Sistema de ecuaciones simultáneas, en la cual las variables son los no-terminals.

Expresiones Regulares Solución del sistema de ecuaciones simultáneas. S = a. S + b. R + ε R = a. S Sustituimos R = a. S: S = a. S + ba. S + ε = (a + ba) S + ε Pregunta: ¿ Qué hacemos con ecuaciones de la forma X = X + β ?

Expresiones Regulares Respuesta: β L(x), así que αβ L(x), αααβ L(x), … y entonces, α*β = L(x). En nuestro caso, S = (a + ba) S + ε = (a + ba)*

Expresiones Regulares Algoritmo 5: Gramática Lineal Derecha → Expresión Regular 1. A = α 1 + α 2 + … + αn si A → α 1 → α 2. . . → αn

Expresiones Regulares 2. Si la ecuación es de la forma X = α, donde X no aparece in α, se reemplaza toda ocurrencia de X con α en todas las demás ecuaciones, y se elimina la ecuación X = α. Si la ecuación es de la forma X = αX + β, donde X no occurre en α o en β, se reemplaza la ecuación con X = α*β. Nota: Se puede necesitar manipulación algebraica para obtener la forma X = αX + β. Importante: La concatenación no es conmutativa!!

Expresiones Regulares Ejemplo: S→a → b. U → b. R R → aba. U →U U → a. S →b S = a + b. U + b. R R = aba. U + U = (aba + ε) U U = a. S + b Sustituimos R: S = a + b. U + b(aba + ε) U U = a. S + b

Expresiones Regulares Sustituimos U: S = a + b(a. S + b) + b(aba + ε)(a. S + b) = a + ba. S + bb + babaa. S + babab + ba. S + bb repetidas = (ba + babaa)S + (a + bb + babab) Y entonces, S = (ba + babaa)*(a + bb + babab)

Lenguajes Regulares Resumiendo: Listo RGR RGL Algoritmos 1, 2 Algoritmos 3, 4 Pronto DFA Mínimo Algoritmo 5 RE NFA DFA

Expresiones Regulares Algoritmo 6 (Versión 1): Expresión Regular → FSA (Autómata Finito no-determinístico) Se construye el FSA recursivamente, según la estructura de la expresión regular. Cada FSA tiene un estado inicial, y uno final. Conversiones: 1 2 para ø

Expresiones Regulares 1 • ε • ó a P P 2 para a 2 para P + Q ε 1 ε • para ε 1 • ε Q ε 1 P ε Q ε 2 para P· Q

Expresiones Regulares 1 ε ε ε P 2 para P* ε Ejemplo: (b (aba + ε) a)* 1 3 5 b a b 2 (b (aba + ε) a)* 4 (b (aba + ε) a)* 6 (b (aba + ε) a)*

Expresiones Regulares 7 10 3 a 4 a a ε 8 (b (aba + ε) a)* 9 (b (aba + ε) a)* 11 (b (aba + ε) a)* 5 b 8 a 6 ε 7 (b (aba + ε) a)*

Expresiones Regulares ε 3 ε 9 12 a ε 4 13 ε b 2 b 5 ε 8 ε 6 (b (aba + ε) a)* 7 a 1 (b (aba + ε) a)* ε ε 12 ε 3 a 9 ε 4 ε 13 ε 5 b 8 a 6 ε 7

Expresiones Regulares b 2 1 (b (aba + ε) a) * ε ε 12 ε 11 3 a 9 ε a 10 4 ε 13 ε ε 5 b 8 a 6 ε 7

Expresiones Regulares (b (aba + ε) a)* 14 ε ε ε 15 1 b ε 11 ε 9 a 10 2 ε ε 13 ε 12 ε 3 a ε ε 8 4 5 a 7 ε 6

Expresiones Regulares Algoritmo 6 (Versión 2): Expresión Regular → FSA (Autómata Finito no-determinístico) Punto de inicio: E

Expresiones Regulares Reglas de conversión: a a* ε ε ab a b a+b a b

Expresiones Regulares Algoritmo 6 versión 1: • Construye FSA de abajo hacia arriba • Bueno para máquinas • Malo para seres humanos Algoritmo 6 versión 2: • Construye FSA de arriba hacia abajo • Malo para máquinas • Bueno para seres humanos

Expresiones Regulares Ejemplo (Versión 2): (a + b)* (aa + bb) (a + b)* aa + bb ε ε aa ε a+b a b bb ε a a b b

Expresiones Regulares Ejemplo (Versión 2): ba(a + b)* ab a ε ε b a b

Lenguajes Regulares Resumiendo: Listo RGR RGL Algoritmos 1, 2 Algoritmos 3, 4 Pronto DFA Mínimo Algoritmo 5 RE Algoritmo 6 NFA DFA

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s) Definición: Un FSA determinístico se define igual que uno no-determinístico, excepto que δ: Q x Σ → Q, en lugar de δ: Q x Σ U {ε} → 2 Q Así, ε y a a son impossibles.

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s) Cada transición de un DFA consume un símbolo. Afortunadamente, los DFA’s tiene el mismo poder (de reconocimiento) que los NFA’s. Teorema: Para cada NFA existe un DFA equivalente (i. e. que acepta el mismo lenguaje).

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s) Algoritmo 7: Conversión de NFA a DFA: • Se “simulan” las transiciones del NFA, con el DFA. • El estado inicial del DFA es el estado inicial del NFA (digamos, S), junto con todos los estados alcanzables (con ε) desde S. • Cada estado del DFA es un subconjunto de los estados del NFA. • Estados nuevos en el DFA se construyen calculando el conjunto de estados alcanzables desde estados del NFA, para cada símbolo. • Los estados finales del DFA son los que contienen al menos un estado final del NFA.

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s) Ejemplo: ε a*b + ba* a ε 2 3 b a 1 b 4 ε 5 6 ε NFA

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s) a Entrada Estado 123 23 456 6 56 a 23 23 56 --56 DFA: b 456 6 ------a 123 b ε ε 2 1 b ε 4 a 23 456 b a 3 b a ε 6 56 a

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s) En general, si el NFA tiene N estados, el DFA puede tener hasta 2 N estados. ε Ejemplo: ba (a + b)* ab 0 b 1 a 2 ε ε a 4 5 ε 8 3 ε 6 7 b NFA ε ε ε 11 b 10 a 9

ε 0 b 1 a NFA 2 ε ε 3 4 5 ε 8 ε 6 11 Estado 0 1 234689 34568910 34678911 a a --234689 34568910 b ε b 7 ε ε a 10 9 b 1 --34678911 346789

Autómatas de Estado Finito Determinísticos (DFA’s) DFA 0 b 1 a a a 34568910 b a 346789 234689 b b a 34678911 b

Lenguajes Regulares Resumiendo: Listo RGR RGL Algoritmos 1, 2 Algoritmos 3, 4 Pronto DFA Mínimo Algoritmo 5 RE Algoritmo 6 NFA Algoritmo 7 DFA

Minimización de Estados Teorema: Dado un DFA M, existe un DFA M’ equivalente que es mínimo, i. e. no existe ningún otro DFA equivalente con menos estados que M’. Definición: Una partición de un conjunto S es un conjunto de subconjuntos de S, tal que cada elemento de S aparece en uno (y solo uno) de esos subconjuntos.

Minimización de Estados Ejemplo: S = {1, 2, 3, 4, 5} Π 1 = { {1, 2, 3, 4}, {5} } Π 2 = { {1, 2, 3, }, {4}, {5} } Π 3 = { {1, 3}, {2}, {4}, {5} } Nota: Π 2 es un refinamiento de Π 1 , y Π 3 es un refinamiento de Π 2.

Minimización de Estados Algorithmo 8 (Minimización de un DFA): 1. Eliminar las transiciones indefinidas introduciendo el estado TRAMPA, desde el cual no se llega un estado final. 2. Particionar los estados en dos grupos (finales y nofinales). 3. Completar la tabla de estados, especificando las transiciones de cada grupo a otros. Refinar la partición: se desprenden los grupos con transiciones distintas. 4. Repetir el paso 3 hasta no haber más refinamientos. 5. Determinar los estados finales.

Minimización de Estados a Ejemplo: a 1 Π 0 = { {1, 2, 3, 4}, {5} } Estado 1 2 3 4 5 a 1234 1234 2 4 a a b b 1234 5 1234 b b 3 b a 5 b Se desprende {4} de la partición {1, 2, 3, 4}

Minimización de Estados a Π 1 = { {1, 2, 3}, {4}, {5} } 1 Estado 1 2 3 4 5 a 123 123 123 b 123 4 123 5 123 a b 2 4 a a b 3 Se desprende {2} de la partición {1, 2, 3} b b a 5

Minimización de Estados a 2 a Π 2 = { {1, 3}, {2}, {4}, {5} } Estado 1 3 2 4 5 a 2 2 2 b 13 13 4 5 13 1 b 4 a a b 3 b 5 b 13 b 5 a a b No más refinamientos DFA Mínimo a 2 a b 4

Lenguajes Regulares Resumiendo: RGR RGL Algoritmos 1, 2 Algoritmos 3, 4 Algoritmo 8 Algoritmo 5 RE DFA Mínimo Algoritmo 6 Listo ! NFA Algoritmo 7 DFA

Resumen de Lenguajes Regulares • La clase más pequeña de la jerarquía de Chomsky. • Apropiada para el análisis léxico. • Cuatro representaciones: RGR, RGL, ER y FSA. • Las cuatro son equivalentes (algoritmos de transformación). • Diversas ventajas y desventajas entre las cuatro representaciones, para el diseñador, el implementador, y el usuario de un lenguaje. • Los FSA se pueden hacer determinísticos y mínimos.